A级 基础巩固
一、选择题
1．已知α，β为锐角，sin α＝35，tan(β－α)＝13，则tan β＝( )
A.139 B.913 C．3 D.13
解析：因为sin α＝35，α为锐角，
所以cos α＝1－sin2α＝45.
所以tan α＝sin αcos α＝34，
所以tan β＝tan [(β－α)＋α]＝tan （β－α）＋tan α1－tan （β－α）?tan α＝139.
答案：A
2.3sin5π12－cos5π12的值是( )
A.2 B.22 C．－2 D．sin7π12
解析：3sin 5π12－cos 5π12
＝2sin5π12 cos π6－cos 5π12sinπ6
＝2sin5π12－π6
＝2sin π4＝2.
答案：A
3．在△ABC中，若sin(B＋C)＝2sin Bcos C，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：因为sin(B＋C)＝2sin Bcos C，
所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，
即sin Bcos C－cos Bsin C＝0，所以sin(B－C)＝0，
所以B＝C，所以△ABC是等腰三角形．
答案：D
4．化简cos 15°cos 45°－sin 15°?sin 45°的值为( )
A．－12 B.32 C.12 D．－32
解析：根据两角和的余弦公式可得，cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°＝cos(15°＋45°)＝cos 60°＝12.
答案：C
5．函数f(x)＝sin x－cosx＋π6的值域为( )
A．[－2，2] B．[－3，3]
C．[－1，1] D.－32，32
解析：因为f(x)＝sin x－cosx＋π6＝sin x－32cos x＋12sin x＝32sin x－32cos x＝3sinx－π6，
所以f(x)的值域为[－3，3 ]．
答案：B
二、填空题
6．已知tan α＝－2，tan(α＋β )＝17，则tan β的值为______．
解析：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan（α＋β ）－tan α1＋tan（α＋β ）tan α＝17－（－2）1＋17×（－2）＝3.
答案：3
7．计算1－tan 15°3＋tan 60°tan 15°＝________．
解析：原式＝tan 45°－tan 15°3（1＋tan 45°?tan 15°）＝13tan(45°－15°)＝13.
答案：13
8．已知cosα－π6＝1213π6＜α＜π2，则cos α＝________．
解析：由于0＜α－π6＜π3，且cosα－π6＝1213，
所以sinα－π6＝513.
所以cos α＝cos α－π6＋π6
＝cosα－π6cosπ6－sinα－π6sinπ6
＝1213×32－513×12＝123－526.
答案：123－526
三、解答题
9．已知sinπ4－α＝－12，sinπ4＋β＝32，其中π4＜α＜π2，π4＜β＜π2，求角α＋β的值．
解：因为π4＜α＜π2，所以－π4＜π4－α＜0.
因为π4＜β ＜π2，所以π2＜π4＋β＜3π4.
由已知可得cosπ4－α＝32，cosπ4＋β＝－12，
则cos(α＋β )＝cosπ4＋β－π4－α
＝cosπ4＋βcosπ4－α＋sin π4＋βsinπ4－α
＝－12×32＋32×－12＝－32.
因为π2＜α＋β ＜π.所以α＋β＝5π6.
10．设方程12x2－πx－12π＝0的两根分别为α，β，求cos α?cos β－3sin αcos β－3cos αsin β－sin αsin β的值．
解：由题意知α＋β＝π12，
故原式＝cos(α＋β )－3sin(α＋β )
＝2sinπ6－（α＋β ）
＝2sin π12
＝2sinπ4－π6
＝2sinπ4cosπ6－cos π4sin π6
＝222×32－22×12＝6－22.
B级 能力提升
1．已知3sin x－3cos x＝23sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ的值是( )
A．－π6 B.π6 C．－5π6 D.5π6
解析：因为3sin x－3cos x
＝23(sin x?32－cos x?12)
＝23sin( x＋φ)，
所以cos φ＝32，sin φ＝－12.
又因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6.
答案：A
2．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan αtan β＝________．
解析：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝15，①
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35.②
由①＋②，得2cos αcos β＝45，
即cos αcos β＝25.
由②－①，得2sin αsin β＝25，即sin αsin β＝15.
所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝12.
答案：12
3．在△ABC中，三个内角分别为A，B，C.已知sinA＋π6＝2cos A.
(1)求角A的值；
(2)若B∈0，π3，且cos(A－B)＝45，求sin B.
解：(1)由sinA＋π6＝2cos A，得32sin A＋12cos A＝2cos A，即sin A＝3cos A，
因为A∈(0，π)，且cos A≠0，
所以tan A＝3，所以A＝π3.
(2)因为B∈0，π3，cos(A－B)＝45，
所以A－B＝π3－B∈0，π3.
因为sin2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，
所以sin( A－B)＝35，
所以sin B＝sin [A－(A－B)]＝sin Acos (A－B)－cos A?sin (A－B)＝43－310.
课件31张PPT。第三章 三角恒等变换
