A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝3sin 2x＋cos 2x的最小正周期为( )
A.π2 B.2π3 C．π D．2π
解析：因为y＝3sin 2x＋cos 2x
＝232sin 2x＋12cos 2x
＝2sin2x＋π6，
所以最小正周期为T＝2πω＝2π2＝π.
答案：C
2．若函数f(x)＝－sin2 x＋12(x∈R)，则f(x)是( )
A．最小正周期为π2的奇函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析：f(x)＝－1－cos 2x2＋12＝12cos 2x.
答案：D
3．已知cosx－π6＝－33，则cos x＋cosx－π3的值是( )
A．－233 B．±233 C．－1 D．±1
解析：cos x＋cosx－π3＝cos x＋12cos x＋32sin x＝32cos x＋32sin x＝332cos x＋12sin x＝3cos(x－π6)＝－1.
答案：C
4．函数f(x)＝12(1＋cos 2x)?sin2x(x∈R)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π2的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为π2的偶函数
解析：注意到sin2x＝12(1－cos 2x)，因此f(x)＝14(1＋cos 2x)?(1－cos 2x)＝14(1－cos22x)＝14sin22x＝18(1－cos 4x)，即f(x)＝18(1－cos 4x)，所以f(x)的最小正周期为2π4＝π2，又f(－x)＝18(1－cos 4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为π2的偶函数．
答案：D
5．若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x，0≤x＜π2，则f(x)的最大值是( )
A．1 B．2 C.3＋1 D.3＋2
解析：f(x)＝(1＋3tan x)cos x
＝1＋3 sin xcos xcos x
＝3sin x＋cos x
＝2sinx＋π6.
因为0≤x＜π2，所以π6≤x＋π6＜23π，
所以当x＋π6＝π2时，f(x)取到最大值2.
答案：B
二、填空题
6．已知α为第二象限角，sin α＝35，则tan 2α＝________．
解析：由sin α＝35，且α为第二象限角得，
cos α＝－1－sin2α＝－45，
所以tan α＝sin αcos α＝－34，tan 2α＝2tan α1－tan2α＝－247.
答案：－247
7．若3sin x－3cos x＝23sin(x＋φ)，φ∈(－π，π)，则φ＝________．
解析：因为3sin x－3cos x＝23(32sin x－12cos x)＝23sinx－π6，
因为φ∈(－π，π)，所以φ＝－π6.
答案：－π6
8.1sin π18－3cos π18＝________．
解析：原式＝cos π18－3sin π18sin π18cos π18
＝212cos π18－32sin π1812sin π9
＝4sin π9sin π9＝4.
答案：4
三、解答题
9．已知cos θ＝－725，θ∈(π，2π)，求sin θ2＋cos θ2的值．
解：因为θ∈(π，2π)，所以θ2∈π2，π，
所以sin θ2＝1－cos θ2＝45，cos θ2＝－1＋cos θ2＝－35，所以sin θ2＋cos θ2＝15.
10．在△ABC中，cos A＋cos B＝sin C，求证：△ABC是直角三角形．
证明：在△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以sin C＝sin(A＋B)＝cos A＋cos B，
利用和差化积公式，得
cos A＋cos B＝2cosA＋B2cosA－B2，
又因为sin(A＋B)＝2sinA＋B2cosA＋B2，
所以2sinA＋B2cosA＋B2＝2cosA＋B2cosA－B2，
显然cosA＋B2≠0，故sinA＋B2＝cosA－B2，
两边平方，得sin2A＋B2＝cos2A－B2，
即1－cos（A＋B）2＝1＋cos（A－B）2，
所以cos(A＋B)＋cos(A－B)＝0，所以2cos Acos B＝0，
即cos A＝0或cos B＝0.
因为A，B是三角形的内角，所以A，B中必有一个为直角，
所以△ABC是直角三角形．
B级 能力提升
1．(2016?山东卷)函数f(x)＝(3sin x＋cos x)(3cos x－sin x)的最小正周期是( )
A.π2 B．π C.3π2 D．2π
解析：法一 因为f(x)＝(3sin x＋cos x)(3cos x－sin x)
＝4(32sin x＋12cos x)(32cos x－12sin x)
＝4sinx＋π6cosx＋π6
＝2sin2x＋π3，
所以T＝2π2＝π.
法二 因为f(x)＝(3sin x＋cos x)(3cos x－sin x)
＝3sin xcos x＋3cos2x－3sin2x－sin xcos x
＝sin 2x＋3cos 2x
＝2sin2x＋π3，
所以T＝2π2＝π.
答案：B
2．已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω>0)，x∈R.若函数f(x)在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数f(x)的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为________．
解析：由已知得f(x)＝2sinωx＋π4，
令2kπ－π2≤ωx＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，
由ω>0，得2kπ－34πω≤x≤2kπ＋π4ω，k∈Z，
当k＝0时，得f(x)的一个单调递增区间为－3π4ω，π4ω，
所以(－ω，ω)?－3π4ω，π4ω，所以－3π4ω≤－ω，π4ω≥ω，
解得0<ω≤π2，
又函数f(x)的图象关于直线x＝ω对称，
所以ω2＋π4＝kπ＋π2，k∈Z，解得ω2＝kπ＋π4，k∈Z，
又0<ω≤π2，所以ω＝π2.
答案：π2
3．已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间0，π2上的最大值和最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π4＋1，
所以函数f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.
(2)由(1)的计算结果知，f(x)＝2sin2x＋π4＋1.
当x∈0，π2时，2x＋π4∈π4，5π4，
由正弦函数y＝sin x在π4，5π4上的图象知，
当2x＋π4＝π2，即x＝π8时，f(x)取得最大值2＋1；
当2x＋π4＝5π4，即x＝π2时，f(x)取得最小值0.
综上，f(x)在0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.
课件35张PPT。第三章 三角恒等变换
