高中数学选修2-1课件：2.4.1抛物线及其标准方程 (共25张PPT)

(共25张PPT)
高二数学 选修2-1 第二章 曲线与方程
课题
2.4.1抛物线及其
标准方程
2.4.1抛物线及其标准方程
实例引入
复习回顾：
我们知道,椭圆、双曲线的有共同的几何特征：
都可以看作是：在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹.
(2) 当e＞1时，是双曲线;
(1)当0(其中定点不在定直线上)
那么,当e=1时，它又是什么曲线 ？
复习回顾
如图，点 是定点， 是不经过点 的定直线。 是 上任意一点，过点 作 ，线段FH的垂直平分线m交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？
提出问题：

几何画板观察
m
提出问题
问题探究：
当e=1时，即|MF|=|MH| ，点M的轨迹是什么？
可以发现,点M随着H运动的过程中,始终有|MF|=|MH|,即点M与点F和定直线l的距离相等.点M生成的轨迹是曲线C的形状.(如图)
我们把这样的一条曲线叫做抛物线.
问题探究
在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
点F叫抛物线的焦点,
直线l 叫抛物线的准线
d 为 M 到 l 的距离
准线
焦点
d
一、抛物线的定义:
抛物线定义
二、标准方程的推导
标准方程的推导
l
解法二：以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy.
两边平方,整理得
M(x,y)
F
二、标准方程的推导
依题意得
这就是所求的轨迹方程.
标准方程的推导
三、标准方程
把方程 y2 = 2px (p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中 p 为正常数,表示焦点在 x 轴正半轴上.
且 p的几何意义是:
想一想: 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 ？
方案(1)
方案(2)
方案(3)
方案(4)
焦点到准线的距离
标准方程
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
y2=2px
(p>0)
P的意义:抛物线的焦点到准线的距离
方程的特点:
(1)左边是二次式,
(2)右边是一次式;
决定了焦点的
位置.
四．四种抛物线的对比
四种抛物线的对比





抛物线的标准方程的不同形式与图形、焦点坐标、准线方程的对应关系是有规律的，这个规律是什么？
学习总结
第一:一次项的变量如为x(或y),则x轴
(或y轴)为抛物线的对称轴,焦点就
在对称轴上.
第二:一次项的系数的正负决定了开口
方向.
规律总结
P66思考：
当a>0时与当a<0时，结论都为：
你能说明二次函数 的图像为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程。
二次函数图象
例1
（1）已知抛物线的标准方程是 y 2 = 6 x ，求它的焦点坐标及准线方程
（2）已知抛物线的焦点坐标是 F（0，－2），求抛物线的标准方程
（3）已知抛物线的准线方程为 x = 1 ，求抛物线的标准方程
x 2 =－8 y
y 2 =－4 x
看图
看图
课堂练习：
1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是F(3，0)；
（3）焦点到准线的距离是2。
y2 =12x
y2 =x
y2 =4x、 y2 = -4x、x2 =4y 或 x2 = -4y
2、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)y2 = 20x (2)x2= y (3)2y2 +5x =0 (4)x2 +8y =0
（5，0）
x=-5
（0，-2）
y=2
课堂练习
焦点坐标 准线方程
(1)
(2)
(3)
(4)
例2：一种卫星接收天线的轴截面如下图所示。卫星
波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接
收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天线
的径口（直径）为4.8m，深度为0.5m。建立
适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐
标。
例2
F
解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合。
设抛物线的标准方程是 ，由已知条件
可得，点A的坐标是(0.5,2.4),代入方程，得
所以，所求抛物线的标准
方程是 ，
焦点的坐标是 .
例2的解答过程
思考:已知抛物线的焦点在 x 轴上，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5，求抛物线的标准方程.
用定义转化条件,数形结合,思维妙!
思考: 一般情况?
探索思考
思考:M是抛物线y2 = 2px（p＞0）上一点，若点
M 的横坐标为x0，则点M到焦点的距离是

————————————
这就是抛物线的焦半径公式!
思考得出焦半径公式
4.标准方程中p前面的正负号决定抛物线的开口方向．
1.抛物线的定义:
2.抛物线的标准方程有四种不同的形式:
每一对焦点和准线对应一种形式.
3.p的几何意义是:
焦 点 到 准 线 的 距 离
学习小结
课本P73——习题2.4A组1T、2T.
作业
课本P67——练习1T、2T 、3T
返回
解：（2）因为焦点在 y 轴的负半轴上，并且
= 2，p = 4 ，所以所求抛物线的标准方程是 x2 =－8y .
例1（2）的答案
返回
解：（3）因为准线方程是 x = 1，所以 p =2 ，且焦点在 x 轴的负半轴上，所以所求抛物线的标准方程是 y2 =－4x .
例1（3）的答案