湘教版七年级数学上册教案3.4 一元一次方程模型的应用（含3课时）

3.4一元一次方程模型的应用（第1课时）
【教学目标】
知识与技能
掌握一元一次方程解简单应用题的方法和步骤，并能解答一元一次方程的和、差、倍分问题的简单应用题.
过程与方法
通过列方程解应用题，提高分析问题、解决问题的能力.
情感态度
理解和体会数学建模思想在实际问题中的应用，形成用数学知识解决问题的意识.
教学重点
找出等量关系，列出方程.
教学难点
找出等量关系，列出方程.
【教学过程】
一、情景导入，初步认知
1.在小学算术中，我们学习了用算术方法解决实际问题的有关知识，那么，一个实际问题能否应用一元一次方程来解决，若能解决，怎样解?用一元一次方程解应用题与用算术方法解应用题相比较有什么优越性?
某数的3倍减2等于它与4的和，求某数.(用算术方法解由学生回答)
解:(4+2)÷(3-1)=3
答:某数为3.
如果设某数为x，根据题意，其数学表达式为3x-2=x+4
此式恰是关于x的一元一次方程.解得x=3.
上述两种解法，很明显算术方法不易思考，而应用设未知数，列出方程并通过解一元一次方程求得应用题的解有化难为易之感，这就是我们学习运用一元一次方程解应用题的目的之一.
我们知道方程是一个含有未知数的等式，而等式表示了一个相等的关系.
对于任何一个应用题中所提供的条件应首先找出一个相等的关系，然后
将这个相等的关系表示成方程.
下面我们通过实例来说明怎样寻找一个相等的关系和把这个相等关系转化为方程的方法和步骤.
【教学说明】　采用提问的形式，提高了学生的学习兴趣和动力.再通过算术方法与方程解决实际问题的方法对比，让学生明白方程的优越性.
二、思考探究，获取新知
1.探究:某湿地公园举行观鸟活动，其门票价格如下，全价票为20元/人，半价票为10元/人.该公园共售出1 200张门票，得总票款为20 000元，问：全价票和半价票分别售出多少张?
(1)在此问题中，有何等量关系?
全价票款+半价票款=总票款.
(2)怎样设未知数?
设售出全价票x张，则售出半价票(1 200-x)张.
(3)根据等量关系列出方程，并求解.
x·20+(1 200-x)·10=20 000
解得:x=800
所以半价票为1 200-800=400(张)
即全价票售出800张，半价票售出400张.
【教学说明】　让学生体会找相等关系是列方程的关键所在.
2.根据上面的解题过程，你能总结出一元一次方程解实际问题的一般步骤吗?
【归纳结论】　一元一次方程解实际问题的一般步骤为:
【教学说明】　培养学生观察、概括及语言表达能力.
三、运用新知，深化理解
1.教材P98例1.
2.某工厂的产值连续增长，去年的是前年的1.5倍，今年的是去年的2倍，这三年的总产值为550万元，前年的产值是多少?
解:设前年的产值为x，则去年的产值为1.5x，今年的产值为2×1.5x，则x+1.5x+2×1.5x=550，解得x=100.
答:前年的产值为100万元.
3.某面粉仓库存放的面粉运出15%后，还剩余42 500 kg，这个仓库原来有多少面粉?
分析:题中给出的已知量为仓库中存放的面粉运出15%；仓库中还剩余
42 500 kg.未知量为仓库中原来有多少面粉.
已知量与未知量之间的一个相等关系:原来质量-运出质量=剩余质量
设原来有x千克面粉，运出15%x千克，还剩余42 500千克.
解:设原来有x千克面粉，那么运出了15%x千克，根据题意，得
x-15%·x=42 500
即x-x=42 500　x=42 500
解得x=50 000.
经检验，符合题意.
答:原来有50 000千克面粉.
4.某车间有28名工人，生产特种螺栓和螺母，一个螺栓的两头均套上一个螺母配成一套，每人每天平均生产螺栓12个或螺母18个，问：多少工人生产螺栓，多少工人生产螺母，才能使一天所生产的螺栓和螺母正好配套?
解:设x名工人生产螺栓，(28-x)名工人生产螺母，列方程得2×12x=18(28-x).
解得x=12.
生产螺母的人数为28-x=16.
答:12名工人生产螺栓，16名工人生产螺母，才能使一天所生产的螺栓和螺母正好配套.
5.蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿，现在有蜻蜓、蜘蛛若干只，它们共有270条腿，且蜻蜓的只数比蜘蛛的2倍少5，问：蜘蛛、蜻蜓分别有多少只?
解:设有蜘蛛x只，蜻蜓有(2x-5)只，
则8x+6(2x-5)=270，
解方程得x=15，2x-5=25.
答:蜘蛛有15只，蜻蜓有25只.
6.在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人.现在另调20人去支援，使在甲处的人数为在乙处的人数的2倍，应分别调往甲、乙两处多少人?
分析:(1)审题:从外处共调20人去支援.若设调往甲处的是x人，则调往乙处的是多少人?一处增加x人，另一处便增加(20-x)人.看下表:
调动前
调动后
甲处
27人
(27+x)人
乙处
19人
[19+(20-x)]
(2)找等量关系:
调人后甲处人数=调人后乙处人数的2倍.
解:设应该调往甲处x人，则调往乙处的人数就是20-x.根据题意，得
27+x=2[19+(20-x)].
解方程得x=17.
20-x=20-17=3.
经检验，符合题意.
答:应调往甲处17人，调往乙处3人.
7.整理一批图书，如果由一个人单独做要用30h，现先安排一部分人用1h整理，随后又增加6人和他们一起又做了2h，恰好完成整理工作.假设每个人的工作效率相同，那么先安排整理的人员有多少?
解:设先安排整理的人员有x人，依题意，得+=1
解得x=6.
经检验，符合题意.
答:先安排整理的人员有6人.
【教学说明】　通过练习，巩固本节课所学的内容.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，再以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
【课后作业】
布置作业:教材“习题3.4”中第4、7、8题.
3.4一元一次方程模型的应用（第2课时）
【教学目标】
知识与技能
学会用方程表示实际问题中的数量关系和变化规律.
过程与方法
通过探索实际问题，培养学生应用数学的意识，体会数学的价值.
情感态度
培养学生观察、分析、推理能力，渗透建模思想、方程思想、分类讨论思想.
教学重点
正确地分析出应用题中的已知数、未知数.
教学难点
能够准确地找出应用题的等量关系.
【教学过程】
一、情景导入，初步认知
某超市把一种羊毛衫按进价提高50%标价，再按8折(标价的80%)出售，这样该超市每卖出一件羊毛衫就可盈利80元.这种羊毛衫的进价是多少元?如果按6折出售，该超市还盈利吗?为什么?
【教学说明】　通过学生进行实际调查，激发学生的学习兴趣，使每一名学生都成为知识的探索者、创新者，渗透方程思想、建模思想，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.
二、思考探究，获取新知
1.探究:某商店将某型号彩电按标价的八折出售，则此时每台彩电的利润率是5%，已知该型号彩电的进价为每台4 000元，求该型号彩电的标价.
(1)在此问题中，有何等量关系?
售价-进价=利润.
(2)怎样设未知数?
设彩电标价为每台x元，则售价为0.8x元.
(3)根据等量关系列出方程，并求解.
0.8x-4 000=4 000×5%
解得:x=5 250
即:彩电的标价为每台5 250元.
2.交流讨论:在销售问题中进价、售价、利润、利润率的关系式有哪些?
【归纳结论】　销售问题中的等量关系式有:
①商品利润=商品售价-商品进价
②商品售价=商品标价×折扣数
③×100%=商品利润率
④商品售价=商品进价×(1+利润率)
3.2011年10月1日，杨明将一笔钱存入某银行，定期3年，年利率是5%，若到期后取出，他可得到本息和23 000元，求杨明存入的本金是多少元.
(1)引导学生分析、解决问题.
(2)在存款问题中有哪些等量关系式?
【归纳结论】　存款问题中的等量关系式有:
①利息=本金×年利率×年数
②本息和=本金+利息
【教学说明】　明确解决销售问题的关键是利用销售问题的公式，寻找问题中隐藏的相等关系.在平时的学习生活中，要好好把握各种问题的数量关系，可以作为一种知识的储备!
三、运用新知，深化理解
1.昨天陈管杰的妈妈到华冠花了69元买了一件衣服，这件衣服是按标价的3折出售的，这件衣服的标价是多少元?
解:设这件羊毛衫的标价是x元，根据题意，得0.3x=69.
解得x=230
答:这件衣服的标价是230元.
2.商场出售某种文具，每件可盈利2元，为了支援山区，现在按原售价的7折出售给一个山区学校，结果每件仍盈利0.2元.问:该文具每件的进价是多少元?
基本关系式:进价=标价×折数-利润
解:设该文具每件的进价是x元.
根据题意得x=0.7 (x+2)-0.2.
解得x=4.
答:该文具每件的进价是4元.
3.某商品的进价是200元，标价为400元，商店要求利润率不低于25%的价格出售，求:售货员最低可以打几折出售此商品?
解:设打x折出售此商品.
400x-200=200×25%
则x=0.625.
答:售货员最低可以打6.25折出售此商品.
4.某企业存入银行甲、乙两种不同性质的存款20万元.甲种存款的年利率为5.5%，乙种存款的年利率为4.5%，该企业一年可获利9500元，求甲、乙两种存款分别是多少元?
解:设甲种存款为x元，依题意，得
5.5%x+(200 000-x)×4.5%=9 500，
解得:x=50 000，
乙存款:200 000-50 000=150 000(元).
答:甲存款50 000元，乙存款150 000元.
5.儿童节期间，文具商店搞促销活动，同时购买一个书包和一个文具盒可以打8折，能比标价省13.2元.已知书包标价比文具盒标价的3倍少6元，那么书包和文具盒的标价分别是多少元?
解:设一个文具盒标价为x元，则一个书包标价为(3x-6)元，依题意，得
(1-80%)(x+3x-6)=13.2
解此方程，得x=18，
经检验，符合题意.
3x-6=48(元)
答:书包和文具盒的标价分别是48元/个，18元/个.
6.某商店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个亏本20%，另一个盈利60%.请你计算一下，在这次买卖中，这家商店是赚还是赔?若赚，共赚了多少元?若赔，赔了多少元?
解:设一个价钱为x元，另一个价钱为y元，
依题意得:
x(1+60%)=64，
y(1-20%)=64，
所以x=40，y=80，
则64×2-(x+y)=128-120=8.
故盈利8元.
答:在这次买卖中，这家商店是赚了，共赚了8元.
7.随着科学技术的发展，电脑价格不断下降，某一品牌电脑，每台先降价m元，后连续两次降价，每次降价25%，现售价为n元，那么该电脑原来每台售价是多少元?
解:设原来的售价是x元.
根据等式列方程得:(1-25%)2(x-m)=n，
解得x=n+m，
答:原来每台的售价是(n+m)元.
【教学说明】　通过练习提高学生思维的广度；培养学生的发散思维和创新精神.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，再以小组为单位派代表进行总结，教师作以补充.
【课后作业】
布置作业:教材“习题3.4”中第1、2题.
3.4一元一次方程模型的应用(第3课时)
【教学目标】
知识与技能
进一步体会运用方程解决问题的关键是寻找等量关系，提高分析问题、解决问题的能力.
过程与方法
通过自主探究与小组合作交流，能合理清晰地表达自己的思维过程，掌握根据具体问题中的数量关系，列出方程，感悟方程是刻画现实世界的一个有效模型，训练学生运用新知识解决实际问题的能力.
情感态度
进一步体会数学中的化归思想，引导学生关注生活实际，建立数学应用意识，热爱数学.
教学重点
利用线形示意图分析行程问题中的数量关系.
教学难点
找出问题中的等量关系.
【教学过程】
一、情景导入，初步认知
在行程问题中，最基本的等量关系式是什么?
【教学说明】　为本节课的教学做准备.
二、思考探究，获取新知
1.探究:星期天早晨，小斌和小强分别骑自行车从家里出发去参观雷锋纪念馆，已知他俩的家到纪念馆的路程相等，小斌每小时骑10km，他在上午10时到达；小强每小时骑15km，他在上午9时30分到达，求他们的家到雷锋纪念馆的路程.
【教学说明】　引导学生分析题意，找出题目中的等量关系式，并列出方程解答.
2.讨论:在行程问题中还存在什么样的等量关系式?
【归纳结论】　相遇问题的基本关系:各路程之和=总路程.追及问题的基本关系:追及者的路程-被追者的路程=相距的路程.
3.探究:为鼓励居民节约用水，某市出台了新的家庭用水收费标准，规定:所交水费分标准内水费与超标部分水费两部分，其中标准内水费为1.96元/t，超标部分水费为2.94元/t，某家庭6月份用水12t，需缴水费27.44元.求该市规定的家庭月标准用水量.
本问题首先要分析所缴的水费27.44元中是否有超标部分，因为1.96×12=23.52(元)，小于27.44元，所以含有超标部分的水费，则等量关系式为:
月标准内水费+超标部分水费=该月所缴的水费
设月标准用水量为x t，根据等量关系，得
1.96x+(12-x)×2.94=27.44
解得:x=8
所以，该市家庭月标准用水量是8吨.
【教学说明】　分段型一元一次方程的应用是指同一个未知量在不同的范围内的限制条件不同的一类应用题.解决这类问题时，我们先要确定所给的数据所处的分段，再根据它的分段合理地解决.
4.班委会决定，由小敏、小聪两人负责选购圆珠笔、钢笔共22支，送给山区学校的同学.他们去了商场，看到圆珠笔每支5元，钢笔每支6元.
(1)若他们购买圆珠笔、钢笔刚好用去120元，则圆珠笔、钢笔分别买了多少支?
(2)若购圆珠笔可按9折付款，钢笔可按8折付款，在所需费用不超过100元的前提下，请你写出一种选购方案.
解:(1)设圆珠笔买了x支，则钢笔买了(22-x)支，根据题意得:
5x+6(22-x)=120，
解得:x=12.
所以22-x=22-12=10.
答:圆珠笔、钢笔分别买了12支、10支.
(2)是一道方案设计题，也是一道开放型题，答案不唯一，根据题意，圆珠笔的单价为×5=4.5(元)；钢笔的单价为×6=4.8(元)，由于圆珠笔的单价小而钢笔的单价大，因此尽量圆珠笔多买些.
①当买圆珠笔19支，钢笔3支时，
19×4.5+3×4.8=99.9(元)<100(元)满足条件；
②当买圆珠笔20支，钢笔2支时，
20×4.5+2×4.8=99.6(元)<100(元)满足条件；
③当买圆珠笔21支，钢笔1支时，
21×4.5+1×4.8=99.3(元)<100(元)满足条件.
故有三种方案，圆珠笔19支，钢笔3支或圆珠笔20支，钢笔2支或圆珠笔21支，钢笔1支.
【教学说明】　这一层次及时鼓励学生通过观察、分析、小组讨论，找出其中的等量关系，并尝试用文字语言表述出来，有利于提高学生的分析问题能力和语言表达能力.
三、运用新知，深化理解
1.教材P101例3、P103例4.
2.某城市出租车起步价为8元(3km以内)，以后每千米2元(不足1km按1km算)，某人乘出租车花费20元，那么他大概行驶了多远?
解:设这个人大概行驶了x km，根据题意得:
8+2(x-3)=20
解得:x=9
答:这个人大概行驶9 km.
3.甲、乙两列火车的长为144m和180m，甲车比乙车每秒多行4m.两列火车相向而行，从相遇到全部错开需9s，问：两车的速度分别是多少?
解:设乙车每秒行驶x m，则甲车每秒行驶(x+4) m，
根据题意得:9(x+x+4)=144+180，
整理得:2x=32，
解得:x=16，x+4=20.
答:甲车每秒行驶20m，乙车每秒行驶16m.
4.甲、乙两地的路程为360千米，一列快车从乙站开出，每小时行72千米；一列慢车从甲站开出，每小时行48千米.
(1)若两列火车同时开出，相向而行，经过多长时间两车相遇?
(2)若快车先开25分钟，两车相向而行，慢车行驶了多长时间两车相遇?
解:(1)设两车同时开出相向而行，经过x小时两车相遇，即72x+48x=360，
解得:x=3，
答:经过3小时两车相遇.
(2)设慢车行驶y小时两车相遇.
根据题意有:48y+72(y+)=360，
解得y=.
答:慢车行驶了小时两车相遇.
5.某城市按以下规定收取每月煤气费，用气量如果不超过60m3，按每立方米0.8元收费；如果超过60m3，超过部分按每立方米1.2元收费.已知某用户10月份的煤气费平均每立方米为0.88元，求该用户10月份应缴的煤气费是多少元.
解:由10月份的煤气费平均每立方米为0.88元，可得10月份用气量一定超过60 m3，
设10月份用了煤气x立方米，由题意得:
60×0.8+(x-60)×1.2=0.88×x，
解得:x=75，
则所缴的电费为75×0.88=66(元).
答:10月份应缴的煤气费是66元.
6.某水果批发市场香蕉的价格如下表:
购买的香蕉数
(千克)
不超过
20千克
20千克以上但
不超过40千克
40千克
以上
每千克的价格
6元
5元
4元
张强两次共购买香蕉50千克(第二次多于第一次)，共付出264元，请问：张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克?
分析:由于张强两次共购买香蕉50千克(第二次多于第一次)，因此第二次购买香蕉多于25千克，第一次少于25千克.因为50千克香蕉共付264元，其平均价格为5.28元，所以第一次购买香蕉的价格必然为6元/千克，即少于20千克，第二次购买的香蕉价格可能是5元，也可能是4元.我们分两种情况讨论即可.
解:(1)当第一次购买香蕉少于20千克，第二次购买香蕉20千克以上但不超过40千克时，设第一次购买x千克香蕉，则第二次购买(50-x)千克香蕉，根据题意，得:
6x+5(50-x)=264
解得:x=14
50-14=36(千克)
(2)当第一次购买香蕉少于20千克，第二次购买香蕉超过40千克时，设第一次购买x千克香蕉，则第二次购买(50-x)千克香蕉，根据题意，得:
6x+4(50-x)=264
解得:x=32(不符合题意)
答:第一次购买14千克香蕉，第二次购买36千克香蕉.
7.某移动通信公司开设了两种业务:一是“全球通”，使用者先缴纳50元月租费，然后每通话1分钟再付通话费0.40元；二是“快捷通”，使用者不缴纳月租费，每通话1分钟付通话费0.60元.
(1)小明的爸爸一个月的通话时间约为200分钟，你认为他应选择哪种通讯业务，可使费用较少?请说明理由.
(2)当每月通话时间为多少分钟时，两种通讯业务缴纳的费用一样?
解:(1)他应选择快捷通业务；
使用全球通业务需要50+0.4×200=130(元)，
使用快捷通业务需要0.6×200=120(元)，
120元<130元，所以他应选择快捷通业务.
(2)设当每月通话时间为x分钟时，两种通讯业务缴纳的费用一样.
50+0.4x=0.6x，
解得x=250.
所以当每月通话时间为250分钟时，两种通讯业务缴纳的费用一样.
8.某地的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1 000元，经粗加工后销售，每吨利润4 000元，经精加工后销售，每吨利润7 000元.当地一家公司现有这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是:如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但每天两种方式不能同时进行.受季节等条件的限制，必须用15天时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕.为此，公司研制了三种方案:
方案一:将蔬菜全部进行粗加工；
方案二:尽可能地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接出售；
方案三:将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天完成.
如果你是公司经理，你会选择哪一种方案，说说理由.
解:方案一:4 000×140=560 000(元)；
方案二:15×6×7 000+(140-15×6)×1 000=680 000(元)；
方案三:设精加工x吨，则+=15；
解得:x=60，
7 000×60+4 000×(140-60)=740 000(元)；
答:选择第三种方案.
【教学说明】　通过练习，检测学生的掌握情况；教师做适当地提示.
四、师生互动、课堂小结
先小组内交流收获和感想，再以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
【课后作业】
布置作业:教材“习题3.4”中第5、6、7题.