§2.2.2 椭圆及其简单几何性质(2)
学习目标
1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；
2．椭圆与直线的关系．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P46~ P48，文P40~ P41找出疑惑之处）
复习1： 椭圆的
焦点坐标是（ ）（ ） ；
长轴长 、短轴长 ；
离心率 ．
复习2：直线与圆的位置关系有哪几种？如何判定？
二、新课导学
※ 学习探究
问题1：想想生活中哪些地方会有椭圆的应用呢？
问题2：椭圆与直线有几种位置关系？又是如何确定？
反思：点与椭圆的位置如何判定？
※ 典型例题
例1 一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上，由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点，已知，，，试建立适当的坐标系，求截口所在椭圆的方程．
变式：若图形的开口向上，则方程是什么？
小结：①先化为标准方程，找出 ，求出；
②注意焦点所在坐标轴．
（理）例2 已知椭圆，直线：
。椭圆上是否存在一点，它到直线的距离最小？最小距离是多少？
变式：最大距离是多少？
动手试试
练1已知地球运行的轨道是长半轴长
，离心率的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，求地球到太阳的最大和最小距离．
练2．经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求的长．
三、总结提升
※ 学习小结
1 ．椭圆在生活中的运用；
2 ．椭圆与直线的位置关系：
相交、相切、相离（用判定）．
※ 知识拓展
直线与椭圆相交，得到弦，
弦长
其中为直线的斜率，是两交点坐标．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．设是椭圆 ，到两焦点的距离之差为，则是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
2．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）．
A. B. C. D.
3．已知椭圆的左、右焦点分别为，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到轴的距离为（ ）．
A. B. 3 C. D.
4．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为 ．
5．椭圆的焦点分别是和，过原点作直线与椭圆相交于两点，若的面积是，则直线的方程式是 ．
课后作业
求下列直线与椭圆的交点坐标．
2．若椭圆，一组平行直线的斜率是
⑴这组直线何时与椭圆相交？
⑵当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点是否在一直线上？
第2章 2.2.2 第2课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )
A．－
C．－2解析： 由点A在椭圆内部得＋<1
∴－答案： A
2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
解析： 直线y＝kx－k＋1恒过定点(1,1)．
又∵＋<1，∴点(1,1)在椭圆＋＝1内部．
∴直线y＝kx－k＋1与椭圆相交．故选B.
答案： B
3．已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )
A．3 B．2
C．2 D．4
解析： 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)．
由
得(a2＋3b2)y2＋8b2y＋16b2－a2b2＝0，
由题意得Δ＝(8b2)2－4(a2＋3b2)(16b2－a2b2)＝0
且a2－b2＝4，可得a2＝7，∴2a＝2.
答案： C
4．过椭圆＋＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB的长为( )
A．5 B．6
C. D．7
解析： 椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k＝1，
∴直线AB的方程为y＝x－4，
由得9x2＋25(x－4)2＝225，
由弦长公式易求|AB|＝.
答案： C
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
解析： 椭圆的右焦点为F(1,0)，
∴lAB：y＝2x－2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得3x2－5x＝0，
∴x＝0或x＝，
∴A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝|OF|(|yB|＋|yA|)＝×1×＝.
答案：
6．若倾斜角为的直线交椭圆＋y2＝1于A，B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________________．
解析： 设中点坐标为(x，y)，直线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程得5x2＋8bx＋4(b2－1)＝0，
则得x＋4y＝0.
由Δ>0得－故－答案： x＋4y＝0
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P是该椭圆上的一个动点，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，求·的最大值与最小值．
解析： (1)＋y2＝1.
(2)设P(x，y)，由(1)知F1(－，0)，F2(，0)，
则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2＋y2－3
＝x2＋(1－)－3＝x2－2，
∵x∈[－2,2]，
∴当x＝0时，即点P为椭圆短轴端点时，·有最小值－2；
当x＝±2，即点P为椭圆长轴端点时，·有最大值1.
8．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60°，F1到直线l的距离为2.
(1)求椭圆C的焦距；
(2)如果＝2，求椭圆C的方程．
解析： (1)设椭圆C的焦距为2c，由已知可得F1到直线l的距离c＝2，故c＝2.
所以椭圆C的焦距为4.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由题意知y1<0，y2>0，
直线l的方程为y＝(x－2)．
联立，得(3a2＋b2)y2＋4b2y－3b4＝0.
解得y1＝，y2＝.
因为＝2，所以－y1＝2y2.
即＝2·，得a＝3.
而a2－b2＝4，所以b＝.
故椭圆C的方程为＋＝1.
?尖子生题库?☆☆☆
9．(10分)如图，椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的离心率为，x轴
被曲线C2：y＝x2－b截得的线段长等于C1的长半轴长．
(1)求C1，C2的方程．
(2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E.
证明：MD⊥ME.
解析： 由题意知e＝＝，从而a＝2b.
又2＝a，所以a＝2，b＝1.
故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，y＝x2－1.
(2)证明：由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y＝kx.
由得x2－kx－1＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，于是x1＋x2＝k，x1x2＝－1.
又点M的坐标为(0，－1)，
所以kMA·kMB＝·＝
＝＝＝－1.
故MA⊥MB，即MD⊥ME.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知椭圆＋＝1上的焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝( )
A．2 B．4
C．4 D．8
【解析】 由题可得a＝2.如图，设F1为椭圆的下焦点，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接AF1，BF1，CF，FD.由椭圆的对称性可知， 四边形AFDF1为平行四边形，
∴|AF1|＝|FD|，同理可得|BF1|＝|CF|，∴|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|AF|＋|BF|＋|BF1|＋|AF1|＝4a＝8，故选D.
【答案】 D
2．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1，3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(－3，0) D．(1，3)
【解析】 由
消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
若直线与椭圆有两个公共点，
则
解得
由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.综上可知，m>1且m≠3，故选B.
【答案】 B
3．若点P(a，1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
A.
B.∪
C.
D.
【解析】 因为点P在椭圆＋＝1的外部，所以＋＞1，解得a＞或a＜－，故选B.
【答案】 B
4．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A. B.
C. D.
【解析】 联立方程组可得
得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，
y0＝1－x0＝1－＝.
∴kOP＝＝＝.故选A.
【答案】 A
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝( )
A. B．2
C. D．3
【解析】 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1，0)．
由＝3，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×＋＝1.
解得n2＝1，
∴||＝＝＝.
【答案】 A
二、填空题
6．若直线x－y－m＝0与椭圆＋y2＝1有且仅有一个公共点，则m＝________.
【解析】 将直线方程代入椭圆方程，消去x，得到10y2＋2my＋m2－9＝0，
令Δ＝0，解得m＝±.
【答案】 ±
7．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
【解析】 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，
由消去y，得3x2－4x＝0.
∴A(0，－1)，B.
∴|AB|＝，
∴|F1A|＋|F1B|＝4a－|AB|＝4－＝.
【答案】
8．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
【解析】 由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组
解得A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.
【答案】
三、解答题
9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
【解】 (1)由题意得消去y，整理得：
5x2＋2mx＋m2－1＝0.
∵直线与椭圆有公共点，
∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，
∴－≤m≤.
(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由(1)得
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝.
∵－≤m≤，
∴0≤m2≤，
∴当m＝0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0.
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2，0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
【解】 (1)由题意得
解得b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝
＝
＝，
又因为点A(2，0)到直线y＝k(x－1)的距离
d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，
由＝，
化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.
[能力提升]
1．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则·的值等于( )
A．0 B．2
C．4 D．－2
【解析】 由题意得c＝＝，
又S四边形PF1QF2＝2S△PF1F2＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，
所以当h＝b＝1时，S四边形PF1QF2取最大值，
此时∠F1PF2＝120°.
所以·＝||·||·cos 120°＝2×2×＝－2.
故选D.
【答案】 D
2．过椭圆＋＝1内一点P (2，－1)的弦恰好被P点平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A．5x－3y＋13＝0 B．5x＋3y＋13＝0
C．5x－3y－13＝0 D．5x＋3y－13＝0
【解析】 设弦的两端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立方程组
两式作差可得：
5(x1＋x2)(x1－x2)＝－6(y1＋y2)(y1－y2)， ①
又弦的中点为(2，－1)，
可得x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2， ②
将②代入①式可得k＝＝，
故直线的方程为y＋1＝(x－2)，
化为一般式为5x－3y－13＝0，故选C.
【答案】 C
3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为________.
【解析】 法一 设直线l的方程为y＝x＋t，
由消去y，得
＋(x＋t)2＝1，
整理得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.
∵Δ＝64t2－80(t2－1)>0，
∴－设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
则x1＋x2＝－，x1·x2＝.
∴|AB|＝
＝
＝.
当t＝0时，|AB|为最大，即|AB|max＝.
法二 根据椭圆的对称性，当直线斜率固定时，直线过原点时截椭圆所得弦长最长，将y＝x代入＋y2＝1得交点坐标为A和B，
故|AB|＝.
【答案】
4．(2013·天津高考)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．
【解】 (1)设F(－c，0)，由＝，知a＝c.
过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，
代入椭圆方程有＋＝1，
解得y＝±，于是＝，
解得b＝，
又a2－c2＝b2，从而a＝，c＝1，
所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，
由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，
由方程组消去y，
整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.
可得x1＋x2＝－，x1x2＝.
因为A(－，0)，B(，0)，
所以·＋·
＝(x1＋，y1)·(－x2，－y2)＋(x2＋，y2)·(－x1，－y1)
＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)
＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2
＝6＋.
由已知得6＋＝8，
解得k＝±.
课件20张PPT。2.2.2椭圆的简单几何性质（2）1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率是 .知识巩固A1MB2OF2yx2. 如图F2是椭圆的右焦点，MF2垂
直于x轴，且B2A1∥MO,求其离心率.1.对于椭圆的原始方程,
变形后得到 ,
再变形为 .
这个方程的几何意义如何？新知探究OxyF椭圆上的点M(x，y)到焦点F(c，0)的距
离与它到直线 的距离之比等于离心率.新知探究若点F是定直线l外一定点，动点M到点F的距离与它到直线l的距离之比等于常数e(0＜e＜1)，则点M的轨迹是椭圆.新知探究动画
直线 叫做椭圆相应于焦点F2(c，0)的准线，相应于焦点F1(－c，0)的准线方程是新知探究椭圆 的准线方程是新知探究椭圆的一个焦点到它相应准线的距离是新知探究对于椭圆 椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值和最小值分别是最大值为a，最小值为b.新知探究椭圆上一点M(x0，y0)到左焦点F1(－c，0) 和右焦点F2(c，0)的距离分别是|MF1|＝a＋ex0|MF2|＝a－ex0新知探究N 椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫做椭圆的焦半径，上述结果就是椭圆的焦半径公式.|MF1|＝a＋ex0|MF2|＝a－ex0新知探究 椭圆 的焦半径公式是 |MF|＝a±ey0 新知探究 点M在椭圆上运动，当点M在什么位置时，∠F1MF2为最大？ 点M为短轴的端点. 新知探究 例1 若椭圆 上一点P到
椭圆左准线的距离为10，求点P到椭
圆右焦点的距离.12 典型例题 例2 已知椭圆的两条准线方程为
y＝±9，离心率为 ，求此椭圆的标准方程.典型例题 例3 已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，点P为直线x＝3与椭圆的一个交点，若点P到椭圆两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆的方程.典型例题例4 已知点M与点F(4，0)的距离和它
到直线l： 的距离之比等于 ，
求点M的轨迹方程. 典型例题变式：求 的最小值
练习：已知F1 、F2椭圆的左右焦点，椭
圆上存在点M使得MF1⊥MF2,求椭圆的
离心率的范围.
2.2.2 椭圆的简单几何性质
课时目标 1.掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质.2.明确标准方程中a，b以及c，e的几何意义，a、b、c、e之间的相互关系.3.能利用椭圆的几何性质解决椭圆的简单问题．
1．椭圆的简单几何性质
焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准
方程
范围
顶点
轴长
短轴长＝____，长轴长＝____
焦点
焦距
对称性
对称轴是______，对称中心是______
离心率
2.直线与椭圆
直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1 (a>b>0)的位置关系：
直线与椭圆相切?有______组实数解，即Δ______0.直线与椭圆相交?有______组实数解，即Δ______0，直线与椭圆相离?________实数解，即Δ______0.
一、选择题
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5,3， B．10,6，
C．5,3， D．10,6，
2．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
3．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率为，则m等于( )
A. B. C. D.
4．如图所示，A、B、C分别
为椭圆＋＝1 (a>b>0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为( )
A. B．1－
C.－1 D.
5．若直线mx＋ny＝4与圆O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数为( )
A．至多一个 B．2
C．1 D．0
A．(0,1) B.
C. D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过点P(－5,4)，则椭圆的方程为______________．
8．直线x＋2y－2＝0经过椭圆＋＝1 (a>b>0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率等于______．
9．椭圆E：＋＝1内有一点P(2,1)，则经过P并且以P为中点的弦所在直线方程为____________．
三、解答题
10.
如图，已知P是椭圆＋＝1 (a>b>0)上且位于第一象限的一点，F是椭圆的右焦点，O是椭圆中心，B是椭圆的上顶点，H是直线x＝－ (c是椭圆的半焦距)与x轴的交点，若PF⊥OF，HB∥OP，试求椭圆的离心率e.
11．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
能力提升
12．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
13．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F1(－，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A的坐标是.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．
1．椭圆的范围实质就是椭圆上点的横坐标和纵坐标的取值范围，在求解一些存在性和判断性问题中有着重要的应用．
2．椭圆既是一个轴对称图形，又是一个中心对称图形．椭圆的对称性在解决直线与椭圆的位置关系以及一些有关面积的计算问题时，往往能起到化繁为简的作用．
3．椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，通过解方程或不等式可以求得离心率的值或范围．
4．在与椭圆有关的求轨迹方程的问题中要注意挖掘几何中的等量关系．
2.2.2 椭圆的简单几何性质
知识梳理
1.
焦点的
位置
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准
方程
＋＝1
＋＝1
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
顶点
(±a,0)，(0，±b)
(±b,0)，(0，±a)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
2c＝2
对称性
对称轴是坐标轴，对称中心是原点
离心率
e＝，02.一 ＝ 二 > 没有 <
作业设计
1．B [先将椭圆方程化为标准形式：＋＝1，
其中b＝3，a＝5，c＝4.]
2．A 3.B
4．A [由(a＋c)2＝a2＋2b2＋c2，
∵b2＝a2－c2，∴c2＋ac－a2＝0，
∵e＝，∴e2＋e－1＝0，∴e＝.]
5．B [∵>2，∴<4.
∴点P(m，n)在椭圆＋＝1的内部，
∴过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1有两个交点．]
∴M点轨迹方程为x2＋y2＝c2，其中F1F2为直径，
由题意知椭圆上的点在圆x2＋y2＝c2外部，
设点P为椭圆上任意一点，则|OP|>c恒成立，
由椭圆性质知|OP|≥b，其中b为椭圆短半轴长，
∴b>c，∴c22c2，
∴2<，∴e＝<.又∵07.＋＝1
解析 设椭圆的方程为＋＝1 (a>b>0)，
将点(－5,4)代入得＋＝1，
又离心率e＝＝，即e2＝＝＝，
解之得a2＝45，b2＝36，故椭圆的方程为＋＝1.
8.
解析 由题意知椭圆的焦点在x轴上，又直线x＋2y－2＝0与x轴、y轴的交点分别为(2,0)、(0,1)，它们分别是椭圆的焦点与顶点，所以b＝1，c＝2，从而a＝，e＝＝.
9．x＋2y－4＝0
解析 设弦的两个端点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则，
两式相减，得＋＝0.
又x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，kMN＝，
∴kMN＝－，由点斜式可得弦所在直线的方程为
y＝－(x－2)＋1，即x＋2y－4＝0.
10．解 依题意知H，F(c,0)，B(0，b)．
设P(xP，yP)，且xP＝c，代入到椭圆的方程，
得yP＝.∴P.
∵HB∥OP，∴kHB＝kOP，即＝.∴ab＝c2.
∴e＝＝，∴e2＝＝e－2－1.
∴e4＋e2－1＝0.∵011．解 (1)由得5x2＋2mx＋m2－1＝0.
因为直线与椭圆有公共点，
所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0.
解得－≤m≤.
(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)、B(x2，y2)，
由(1)知，5x2＋2mx＋m2－1＝0，
由根与系数的关系得x1＋x2＝－，
x1x2＝(m2－1)．
设弦长为d，且y1－y2＝(x1＋m)－(x2＋m)＝x1－x2，
∴d＝＝
＝
＝
＝.
∴当m＝0时，d最大，此时直线方程为y＝x.
12．B [由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2，
∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac.
∴3a2－2ac－5c2＝0.∴5c2＋2ac－3a2＝0.
∴5e2＋2e－3＝0.∴e＝或e＝－1(舍去)．]
13．解 (1)∵a＝2，c＝，∴b＝＝1.
∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐标公式，
得 ∴
又∵＋y＝1，∴＋2＝1
即为中点M的轨迹方程．
课件54张PPT。2.2 椭 圆
2.2.2 椭圆的简单几何性质
第二课时 直线与椭圆的位置关系自主学习 新知突破1．进一步熟练掌握椭圆的标准方程和几何性质．
2．掌握直线和椭圆的位置关系的判断方法，能利用直线和椭圆的位置关系解决相关的弦长，中点弦等问题．直线与圆的位置关系有相切、相离、相交．判断直线与圆的位置关系有两种方法：
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d与半径r的关系判断，当d＝r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离；当d0时，直线与圆相交．当Δ<0时，直线与圆相离．
你知道直线与椭圆的位置关系吗？
[提示] 相切、相离、相交．点与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系2 2 > 1 1 ＝ 0 0 < 直线与椭圆位置关系及判定方法的理解
(1)直线与椭圆有相交、相切和相离三种情况，其位置关系的几何特征分别是直线与椭圆有两个交点、有且只有一个交点、无公共点，并且二者互为充要条件．
(2)判断直线与椭圆的位置关系通常使用代数法而不使用几何法，即先将直线方程与椭圆的方程联立，消去一个未知数y(或x)，得到关于x(或y)的一个一元二次方程，由于该一元二次方程有无实数解，有几个与方程组的解的个数相对应，故利用一元二次方程根的判别式Δ，根据Δ>0、Δ＝0还是Δ<0即可作出判断．
解析： ∵点(2,3)在椭圆上，
∴点(－2,3)，(－2，－3)，(2，－3)都在椭圆上．故选D.
答案： D答案： C合作探究 课堂互动直线与椭圆的位置关系
当Δ<0，即m>5或m<－5时，直线和椭圆相离．
综上所述，当m>5或m<－5时直线与椭圆相离；当m＝±5时，直线与椭圆相切；当－5当Δ>0时，直线与曲线相交；
当Δ＝0时，直线与曲线相切；
当Δ<0时，直线与曲线相离． 思路点拨： 由于弦所在直线过定点P(2,1)，所以可设出弦所在直线的方程为y－1＝k(x－2)，与椭圆方程联立，通过中点为P，得出k的值，也可以通过设而不求的思想求直线的斜率．中点弦问题解析： 方法一：如图，设所求直线的方程为y－1＝k(x－2)，
代入椭圆方程并整理，得
(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0， (*)
设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1，x2是(*)方程的两个根， 关于中点弦问题，一般采用两种方法解决
(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行设而不求，从而简化运算． 直线与椭圆的综合应用 在解决直线和椭圆的有关问题时，一般是联立方程，消去x(或y)转化为关于y(或x)的一元二次方程．利用根与系数的关系去构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件． 【错因】 本题错解中误认为当A，B分别为椭圆与x轴的交点时，∠ANB最大，这是错误的，必须通过严密的推导才能得出处于什么样的位置时∠ANB最大．谢谢观看！