2. 3.1双曲线及其标准方程
课前预习学案
预习目标：了解双曲线的定义及焦点、焦距的意义。
预习内容：平面内与两定点 , 的距离的差的绝对值等于常数(小于||)的点的轨迹叫做-------。两定点 , 叫做双曲线的_________ ，两焦点间的距离||叫做双曲线的________ ．
三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
一.学习目标：掌握双曲线的标准方程及其特点；会求简单的双曲线的标准方程。学习重难点：双曲线的定义的理解和标准方程的特点
二.学习过程：
问题 1：把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？
如图 2-23，定点 , 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，|| - || 是常数，这样就画出一条曲线；
由 || - || 是同一常数，可以画出另一支．
新知 1：双曲线的定义：平面内与两定点 , 的距离的差的绝对值等于常数(小于||)的点的轨迹叫做双曲线。
两定点 , 叫做双曲线的_________ ，
两焦点间的距离||叫做双曲线的________ ．
反思：设常数为2a ，为什么2a < || ？
2a = ||时，轨迹是__________ ；
2a > || 时，轨迹____________ ．
试一试：点 A( 1,0) ， B (-1 ,0) ，若 |AC| - |BC| = 1 ，则点C 的轨迹是__________ ．
新知 2：双曲线的标准方程：,(a> 0,b> 0, )（焦点在x 轴）其焦点坐标为 (- c ,0) ， (c ,0) ．
思考：若焦点在 y 轴，标准方程又如何？
三.反思总结：1.双曲线定义中需要注意的条件：
2.双曲线方程的特点（注意与椭圆对比、区分）：、的系数符号相反，若的系数为正，则焦点在轴上，反之则在轴上。
3.求双曲线方程关健是确定、，常见的方法是待定系数法或直接由定义确定。
四.当堂检测1．已知点和，曲线上的动点P到、的距离之差为6，则曲线方程为（ ）
A．
B．
C．或
D．
2．“ab<0”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
答案：1.D 2.A
课后练习与提高
1．动圆与两圆和都相切，则动圆圆心的轨迹为（ ）
A．抛物线
B．圆
C．双曲线的一支
D．椭圆
2．P为双曲线上的一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切
B．内切或外切
C．外切
D．相离或相交
3．双曲线的左焦点为F，点P为左支的下半支上任一点（非顶点），则直线PF的斜率的范围是（ ）
A．（-∞，0]∪[1，+∞）
B．（-∞，0）∪（1，+∞）
C．（-∞，-1）∪[1，+∞）
D．（-∞，-1）∪（1，+∞）
4．双曲线的一个焦点是，则m的值是_________。
5．过双曲线的焦点且垂直于x轴的弦的长度为_______
6．已知双曲线过点A（-2，4）、B（4，4），它的一个焦点是，求它的另一个焦点的轨迹方程。
答案：1.C 2.B 3.B 4. -2 5. . 6.提示：易知
由双曲线定义知
即
① 即
此时点的轨迹为线段AB的中垂线，其方程为x=1(y≠0)
② 即
此时点的轨迹为以A、B为焦点，长轴长为10的椭圆，其方程为 （y≠0）
2.3.1双曲线及其标准方程
【教学目标】掌握双曲线的标准方程及其特点；会求简单的双曲线的标准方程。
教学重点：双曲线的定义及其标准方程．
教学难点：双曲线标准方程的推导．
【教学过程】
预习检查、总结疑惑:察看导学案做的情况
情景导入、展示目标：(一)复习提问，平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数2a 时，形成的轨迹？
(1)平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭圆．
(2)到两定点F1、F2的距离的和等于常数(等于|F1F2|)的点的轨迹是线段.
(3)常数2a|F1F2|时,无轨迹.
(二)双曲线的概念
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会怎样？它的方程是怎样的呢？
合作探究、精讲点拨：观察如图 2-23，定点 , 是两个按钉，MN 是一个细套管，两条细绳分别拴在按钉上且穿过套管，点M 移动时，|| - || 是常数，这样就画出一条曲线；
由 || - || 是同一常数，可以画出另一支．
双曲线的定义：平面内与两定点 , 的距离的差的绝对值等于常数(小于||)的点的轨迹叫做双曲线。现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．
标准方程的推导：
(1)建系设点
取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴(如图2-24)
建立直角坐标系．
设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数．
(2)点的集合
由定义可知，双曲线就是集合：
P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}．
(3)代数方程
(4)化简方程
将这个方程移项，两边平方得：
两边再平方，整理得：
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)
由双曲线定义，2c＞2a 即c＞a，所以
设(b＞0)，代入上式得：
这就是双曲线的标准方程．
两种标准方程的比较(引导学生归纳)：
教师指出：
(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；
(2)如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．
(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2=a2+b2，不同于椭圆方程中c2=a2-b2．
例1?若一个动点P(x，y)到两个定点A(－1，0)、A′(1，0)的距离差的绝对值为定值a，求点P的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
解：∵｜AA′｜＝2，
∴(1)当a＝2时，轨迹方程是y＝0(x≥1或x≤－1)，轨迹是两条射线．
(2)当a＝0时，轨迹是线段AA′的垂直平分线x＝0．
(3)当0＜a＜2时，轨迹方程是＝1，轨迹是双曲线．
点评：注意定值的取值范围不同，所得轨迹方程不同．
变式训练1．方程＝1表示双曲线，则k∈( )
解析：∵方程＝1表示双曲线，
∴(10－k)(5－k)＜0，∴5＜k＜10．
例2一炮弹在某处爆炸，在F1(－5000，0)处听到爆炸声的时间比在F2(5000，0)处晚秒，已知坐标轴的单位长度为1米，声速为340米/秒，爆炸点应在什么样的曲线上?并求爆炸点所在的曲线方程．
点评：在F1处听到爆炸声比F2处晚秒，相当于爆炸点离F1的距离比F2远6000米，这是解应用题的第一关——审题关；根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线，这是解应用题的第二关——文化关(用数学文化反映实际问题)．借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关(用数学知识解决第二关提出的问题)．
变式训练2 F1、F2为双曲线－y2＝－1的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是( )
解析：双曲线－y2＝－1的两个焦点是F1(0，－)、F2(0，)，
∵∠F1PF2＝90°，∴｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2．
即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝20 ①
∵｜PF1｜－｜PF2｜＝±2，
∴｜PF1｜2－2｜PF2｜·｜PF1｜＋｜PF2｜2＝4 ②
①－②得2｜PF1｜·｜PF2｜＝16，∴＝｜PF1｜·｜PF2｜＝4．
反思总结，当堂检测。1.双曲线定义中需要注意的条件：
2.双曲线方程的特点（注意与椭圆对比、区分）：、的系数符号相反，若的系数为正，则焦点在轴上，反之则在轴上。
3.求双曲线方程关健是确定、，常见的方法是待定系数法或直接由定义确定。
检测题：1. P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1、F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝______．
2．焦点在x轴上，中心在原点且经过点P(2，3)和Q(－7，－6)的双曲线方程是______
3. 椭圆＝1与双曲线＝1有相同焦点，则a的值是______．
答案：1. －8 2. ＝1 3. a＝±1
作业：发导学案、布置预习。
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围为( )
A．－2＜m＜2 B．m＞0
C．m≥0 D．|m|≥2
【解析】 ∵已知方程表示双曲线，∴(2＋m)(2－m)＞0.∴－2＜m＜2.
【答案】 A
2．设动点P到A(－5，0)的距离与它到B(5，0)距离的差等于6，则P点的轨迹方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1(x≤－3) D.－＝1(x≥3)
【解析】 由题意知，轨迹应为以A(－5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．
【答案】 D
3．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－＝1
【解析】 由
?(|PF1|－|PF2|)2＝16，
即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故选C.
【答案】 C
4．已知椭圆方程＋＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为( )
A. B.
C．2 D．3
【解析】 椭圆的焦点为(1，0)，顶点为(2，0)，即双曲线中a＝1，c＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝2.
【答案】 C
5．若k＞1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是( )
A．焦点在x轴上的椭圆
B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在y轴上的双曲线
D．焦点在x轴上的双曲线
【解析】 原方程化为标准方程为＋＝1，
∵k＞1，∴1－k＜0，k2－1＞0，
∴此曲线表示焦点在y轴上的双曲线．
【答案】 C
二、填空题
6．设点P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________．
【解析】 由双曲线的标准方程得a＝3，b＝4.
于是c＝＝5.
(1)若点P在双曲线的左支上，
则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，∴|PF2|＝6＋|PF1|＝16；
(2)若点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝6，
∴|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.
综上，|PF2|＝16或4.
【答案】 16或4
7．已知F1(－3，0)，F2(3，0)，满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的________．(填序号)
①2；②－1；③4；④－3.
【解析】 设双曲线的方程为－＝1，则c＝3，∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，∴－【答案】 ①②
8．已知△ABP的顶点A，B分别为双曲线C：－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于________.
【解析】 由方程－＝1知a2＝16，b2＝9，即a＝4，c＝＝5.
在△ABP中，利用正弦定理和双曲线的定义知，＝＝＝＝.
【答案】
三、解答题
9．求与双曲线－＝1有相同焦点且过点P(2，1)的双曲线的方程．
【解】 ∵双曲线－＝1的焦点在x轴上．
依题意，设所求双曲线为－＝1(a>0，b>0)．
又两曲线有相同的焦点，
∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6. ①
又点P(2，1)在双曲线－＝1上，
∴－＝1. ②
由①②联立得a2＝b2＝3，
故所求双曲线方程为－＝1.
10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．
【解】 (1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
[能力提升]
1．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为( )
A．1 B.
C．2 D．3
【解析】 由题意知椭圆、双曲线的焦点在x轴上，且
a>0.∵4－a2＝a＋2，∴a2＋a－2＝0，
∴a＝1或a＝－2(舍去)．故选A.
【答案】 A
2．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在双曲线C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【解析】 不妨设P是双曲线右支上一点，
在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2，
∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，
∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·，
∴8＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，
∴8＝4＋|PF1||PF2|，
∴|PF1||PF2|＝4.故选B.
【答案】 B
3．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________．
【解析】 设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，又|FN|＝＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.
【答案】 －1
4．已知双曲线－＝1的两焦点为F1，F2.
(1)若点M在双曲线上，且·＝0，求点M到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
【解】 (1)不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，·＝0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义知，m－n＝2a＝8， ①
又m2＋n2＝(2c)2＝80， ②
由①②得m·n＝8，
∴mn＝4＝|F1F2|·h，∴h＝.
(2)设所求双曲线C的方程为
－＝1(－4<λ<16)，
由于双曲线C过点(3，2)，
所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
∴所求双曲线C的方程为－＝1.
§ 2.3双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程
课时目标 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程.2.掌握双曲线的标准方程.3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．
1．双曲线的有关概念
(1)双曲线的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于________)的点的轨迹叫做双曲线．
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的点的轨迹为________________________________________________________________________．
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的点的轨迹__________．
(2)双曲线的焦点和焦距
双曲线定义中的两个定点F1、F2叫做__________________，两焦点间的距离叫做__________________．
2．双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上的双曲线的标准方程是______________________，焦点F1__________，F2__________.
(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________，焦点F1__________，F2__________.
(3)双曲线中a、b、c的关系是________________．
一、选择题
1．已知平面上定点F1、F2及动点M，命题甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a为常数)，命题乙：M点轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．若ax2＋by2＝b(ab<0)，则这个曲线是( )
A．双曲线，焦点在x轴上
B．双曲线，焦点在y轴上
C．椭圆，焦点在x轴上
D．椭圆，焦点在y轴上
3．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( )
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．y2－＝1 D.－＝1
4．双曲线－＝1的一个焦点为(2,0)，则m的值为( )
A. B．1或3
C. D.
5．一动圆与两圆：x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，则动圆圆心的轨迹为( )
A．抛物线 B．圆
C．双曲线的一支 D．椭圆
6．已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F1(－，0)，点P位于该双曲线上，线段PF1的中点坐标为(0,2)，则该双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
8．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是________．
9．F1、F2是双曲线－＝1的两个焦点，P在双曲线上且满足|PF1|·|PF2|＝32，则∠F1PF2＝________________________________________________________________________.
三、解答题
10．设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求此双曲线的标准方程．
11．在△ABC中，B(4,0)、C(－4,0)，动点A满足sin B－sin C＝sin A，求动点A的轨迹方程．
能力提升
A．[3－2，＋∞) B．[3＋2，＋∞)
C．[－，＋∞) D．[，＋∞)
13．已知双曲线的一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，求双曲线的标准方程．
1．双曲线的标准方程可以通过待定系数法求得．
2．和双曲线有关的轨迹问题要按照求轨迹方程的一般步骤来解，也要和双曲线的定义相结合．
3．直线和双曲线的交点问题可以转化为解方程组(设而不求)，利用韦达定理，弦长公式等解决．
§2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程
知识梳理
1．(1)|F1F2| 以F1，F2为端点的两条射线 不存在 (2)双曲线的焦点 双曲线的焦距
2．(1)－＝1(a>0，b>0) (－c,0) (c,0)
(2)－＝1(a>0，b>0) (0，－c) (0，c)
(3)c2＝a2＋b2
作业设计
1．B [根据双曲线的定义，乙?甲，但甲乙，
只有当2a<|F1F2|且a≠0时，其轨迹才是双曲线．]
2．B [原方程可化为＋y2＝1，因为ab<0，所以<0，所以曲线是焦点在y轴上的双曲线，故选B.]
3．A [∵双曲线的焦点在x轴上，
∴设双曲线方程为－＝1 (a>0，b>0)．
由题知c＝2，∴a2＋b2＝4.①
又点(2,3)在双曲线上，∴－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝3，
∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.]
4．A [∵双曲线的焦点为(2,0)，在x轴上且c＝2，
∴m＋3＋m＝c2＝4.∴m＝.]
5．C [由题意两定圆的圆心坐标为O1(0,0)，O2(4,0)，设动圆圆心为O，动圆半径为r，则|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，
∴|OO2|－|OO1|＝1<|O1O2|＝4，故动圆圆心的轨迹为双曲线的一支．]
6．B [设双曲线方程为－＝1，因为c＝，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以－＝1.由于线段PF1的中点坐标为(0,2)，则P点的坐标为(，4)．代入双曲线方程得－＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以双曲线方程为x2－＝1.故选B.]
7．2
解析 ∵||PF1|－|PF2||＝4，又PF1⊥PF2，|F1F2|＝2，
∴|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2
＝20－2|PF1||PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝2.
8．－1解析 因为方程－＝1表示双曲线，
所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k＋1)(k－1)<0.
所以－19．90°
解析 设∠F1PF2＝α，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.
在△F1PF2中，由余弦定理，
得(2c)2＝r＋r－2r1r2cos α，
∴cos α＝＝＝0.
∴α＝90°.
10．解 方法一 设双曲线的标准方程为－＝1 (a>0，b>0)，由题意知c2＝36－27＝9，c＝3.
又点A的纵坐标为4，则横坐标为±，于是有
解得
所以双曲线的标准方程为－＝1.
方法二 将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±，4)，
又两焦点分别为F1(0,3)，F2(0，－3)．
所以2a＝|－
|＝4，
即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，
所以双曲线的标准方程为－＝1.
11．解 设A点的坐标为(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，
得＝＝＝2R，代入sin B－sin C＝sin A，
得－＝·，又|BC|＝8，
所以|AC|－|AB|＝4.
因此A点的轨迹是以B、C为焦点的双曲线的右支(除去右顶点)且2a＝4,2c＝8，所以a＝2，c＝4，b2＝12.
所以A点的轨迹方程为－＝1 (x>2)．
12．B
[由c＝2得a2＋1＝4，
∴a2＝3，
∴双曲线方程为－y2＝1.
设P(x，y)(x≥)，
13．解 设双曲线的标准方程为－＝1，
且c＝，则a2＋b2＝7.①
由MN中点的横坐标为－知，
中点坐标为.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由
得b2(x1＋x2)(x1－x2)－a2(y1＋y2)(y1－y2)＝0.
∵，且＝1，
∴2b2＝5a2.②
由①，②求得a2＝2，b2＝5.
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.
课件23张PPT。2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程 悲伤的双曲线
如果我是双曲线，你就是那渐近线
如果我是反比例函数，你就是那坐标轴
虽然我们有缘，能够生在同一个平面
然而我们又无缘，漫漫长路无交点
为何看不见，等式成立要条件
难道正如书上说的，无限接近不能达到
为何看不见，明月也有阴晴圆缺
此事古难全，但愿千里共婵娟生活中的双曲线法拉利主题公园巴西利亚大教堂麦克唐奈天文馆1.记住双曲线的定义，会推导双曲线的标准
方程.（重点）
2.会用待定系数法确定双曲线的方程.（难点）探究点1 双曲线的定义问题1：椭圆的定义？ 平面内与两个定点F1，F2的距
离的和等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.问题2：如果把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差”，那么点的轨迹是怎样的曲线？
即“平面内与两个定点F1，F2的距离的差等于非零常数的点的轨迹 ”是什么？①如图(A)， |MF1|-|MF2|=|F2F|②如图(B)，|MF2|-|MF1|=2a，由①②可得： ||MF1|-|MF2||=2a（非零常数）. 上面两条曲线合起来叫做
双曲线,每一条叫做双曲线
的一支.看图分析动点M满足的条件：=2a.即|MF1|-|MF2|=-2a.图图① 两个定点F1，F2——双曲线的焦点;②|F1F2|=2c——双曲线的焦距.（1）2a<2c；oF2F1M 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.（2）2a>0.双曲线定义||MF1|-|MF2||=2a ( 0<2a<2c) 注意1.定义中为什么要强调差的绝对值？【举一反三】若不加绝对值，则曲线为双曲线的一支.2.定义中的常数2a可否为0，2a=2c,2a>2c？不能.若为0，曲线就是F1F2的垂直平分线了；若为2a=2c,曲线应为两条射线；若为2a>2c,这样的曲线不存在.探究点2 双曲线的标准方程1. 建系. 如图建立直角坐标系xOy，使x轴经过两焦点F1，F2，y轴为线段F1F2的垂直平分线. 设M(x , y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距为2c(c>0),则F1(-c,0),F2(c,0)，又设点M与F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a.2. 设点.3.列式由定义可知，双曲线就是集合： P= {M |||MF1 | - | MF2|| = 2a }, 4.化简代数式化简得：由双曲线的定义知，2c>2a>0,即c>a,故c2-a2>0,令c2-a2=b2,其中b>0,代入上式，得： 上面方程是双曲线的方程,我们把它叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在x轴上，焦点分别是F1(-c,0),F2(c,0)的双曲线，这里c2=a2+b2.想一想：焦点在y轴上的双曲线的标准方程应该是什么？我们应该如何求解？F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2||MF1|－|MF2||=2a,0<2a<|F1F2| |MF1|+|MF2|=2a，2a>|F1F2| F（0，±c）F（0，±c）【提升总结】解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为因为2a=6,2c=10,所以a=3,c=5,所以因此，双曲线的标准方程为例2 已知A,B两地相距800 m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2 s,且声速为340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析:首先根据题意,判断轨迹的形状.由声速及A，B两处听到爆炸声的时间差,可知A，B两处与爆炸点的距离的差为定值. 这样，爆炸点在以A，B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处远，所以爆炸点应在靠近B处的双曲线的一支上.解: 如图所示，建立直角坐标系xOy,使A，B两点在x轴上，并且坐标原点O与线段AB的中点重合.PBA设爆炸点P的坐标为(x,y)，则即 2a=680，a=340.又所以 2c=800,c=400,因此炮弹爆炸点的轨迹（双曲线）的方程为【举一反三】1.若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?
解: 爆炸点的轨迹是线段AB的垂直平分线.2.根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?
解:再增设一个观测点C，利用B，C（或A，C）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置.这是双曲线的一个重要应用.1．已知两定点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足
|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹
为( )
A．双曲线和一直线
B．双曲线和一条射线
C．双曲线的一支和一条射线
D．双曲线的一支和一条直线2.若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲线是焦点在y轴上的
双曲线，则k? .(-1, 1)， ， ， ， 1.双曲线定义及标准方程；4.双曲线与椭圆之间的区别与联系.2.双曲线焦点位置的确定方法；3.求双曲线标准方程的关键（定位，定量）； 如果我们投一辈子石块，即使闭着眼睛，也肯定有一次击中成功.课题：双曲线及其标准方程
课时：02
课型：新授课
教学目标：
知识与技能目标
理解双曲线的概念，掌握双曲线的定义、会用双曲线的定义解决实际问题；理解双曲线标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求双曲线的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．
2.过程与方法目标：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力
3.情感、态度与价值观目标
通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线。
4.能力目标
（1）.培养想象与归纳能力，培养学生的辩证思维能力，培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．
（2）.数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．
（3）.创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．
新课讲授过程
（1）双曲线的定义
〖板书〗把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线（hyperbola）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦距．即当动点设为时，双曲线即为点集．
强调：a的条件是什么；如果去掉绝对值还是双曲线了吗？
（2）双曲线标准方程的推导过程
提问：已知双曲线的图形，是怎么样建立直角坐标系的？类比求双曲线标准方程的方法由学生来建立直角坐标系．
无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学活动过程．
类比双曲线：设参量的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、的关系有明显的几何意义．
类比：写出焦点在轴上，中心在原点的双曲线的标准方程．
（3）例题讲解、引申与补充
例1 已知双曲线两个焦点分别为，，双曲线上一点到，距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程．
分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出．
补充：求下列动圆的圆心的轨迹方程：① 与⊙：内切，且过点；② 与⊙：和⊙：都外切；③ 与⊙：外切，且与⊙：内切．
解题剖析：这表面上看是圆与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆的半径为．
① ∵⊙与⊙内切，点在⊙外，∴，，因此有，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，即的轨迹方程是；
②∵⊙与⊙、⊙均外切，∴，，因此有，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，∴的轨迹方程是；
③ ∵与外切，且与内切，∴，，因此，∴点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，∴的轨迹方程是．
例2 已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及，两地听到爆炸声的时间差，即可知，两地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．
扩展：某中心接到其正东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听到了一声巨响，正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚．已知各观察点到该中心的距离都是．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为；相关点均在同一平面内）．
解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方向，以因正东比正西晚，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．
如图，以接报中心为原点，正东、正北方向分别为轴、轴方向，建立直角坐标系，设、、分别是西、东、北观察点，则，，．
设为巨响发生点，∵、同时听到巨响，∴所
在直线为……①，又因点比点晚听到巨响声，∴．由双曲线定义知，，，∴，∴点在双曲线方程为……②．联立①、②求出点坐标为．即巨响在正西北方向处．
探究：如图，设，的坐标分别为，．直线，相交于点，且它们的斜率之积为，求点的轨迹方程，并与§2．1．例3比较，有什么发现？
探究方法：若设点，则直线，的斜率就可以用含的式子表示，由于直线，的斜率之积是，因此，可以求出之间的关系式，即得到点的轨迹方程．
练习：第54页1、2、3
课堂小结：
作业：第60页1、2
补充作业：
1.【2015高考福建，理3】若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则 等于（B ）
A．11 B．9 C．5 D．3
2.【2015高考四川，理5】过双曲线的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则（ D ）
(A) (B) (C)6 （D）
课件42张PPT。2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程自主学习 新知突破1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程．
2．掌握双曲线的标准方程．
3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的应用问题．2011年3月16日，中国海军第七批、第八批护航编队“温州”号导弹护卫舰、“马鞍山”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护舰，某时，“马鞍山”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声与“马鞍山”舰相距1 600 m的“温州”舰，3 s后也监听到了该马达声(声速340 m/s)．用A，B分别表示“马鞍山”舰和“温州”舰所在的位置，点M表示快艇的位置．
[问题1] “温州”舰比“马鞍山”舰距离快艇远多少米？
[提示1] |MB|－|MA|＝340×3＝1 020米．
[问题2] 把快艇作为一个动点，它的轨迹是双曲线吗？
[提示2] 不是．双曲线的定义差的绝对值 是常数(小于|F1F2|) 两个定点F1，F2 F1F2 ||MF1|－|MF2||＝2a 双曲线的标准方程(－c,0)，(c,0) (0，－c)，(0，c) c2＝a2＋b2 双曲线标准方程的形式特点
(1)标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，与椭圆中b2＝a2－c2相区别，且椭圆中a>b>0，而双曲线a>0，b>0，但a，b大小不确定．(2)焦点F1，F2的位置是双曲线定位的条件，它决定了双曲线标准方程的类型“焦点跟着正项走”，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，那么焦点在y轴上．
(3)当且仅当双曲线的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，双曲线的方程才具有标准形式．1．动点P到点M(1,0)及点N(3,0)的距离之差为2，则点P的轨迹是( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．两条射线 D．一条射线
解析： 由已知||PM|－|PN||＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线NP.
答案： D合作探究 课堂互动 根据下列条件求双曲线的标准方程．求双曲线的标准方程 求双曲线的标准方程的常用方法
(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹是双曲线，则可根据双曲线的定义确定其方程．
(2)用待定系数法求双曲线方程的一般步骤为： 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆的圆心M的轨迹方程．
思路点拨： 根据两圆外切的定义从中找出相关的几何关系，与所学椭圆、双曲线的定义进行对比可解．定义法求方程 如图，圆C1圆心坐标为(－3,0)，半径为1，圆C2圆心坐标为(3,0)，半径为3.
设动圆的半径为R，则
|MC1|＝R＋1，|MC2|＝R＋3，
所以|MC2|－|MC1|＝2，因此动点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3，所以b2＝c2－a2＝8. 利用定义法求双曲线的标准方程，首先找出两个定点(即双曲线的两个焦点)；然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离的差(或差的绝对值)是否为常数，这样确定c和a的值，再由c2＝a2＋b2求b2，进而求双曲线的方程． 双曲线中的焦点三角形问题 【错解一】 双曲线的实轴长为8，由|PF1|－|PF2|＝8，
即9－|PF2|＝8，得|PF2|＝1.
【错解二】 双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得
||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，
所以|PF2|＝1或17.
【错因】 错解一是对双曲线的定义中的差的绝对值掌握不够，是概念性的错误．错解二没有验证两解是否符合题意，这里用到双曲线的一个隐含条件：双曲线的一个顶点到另一分支上的点的最小距离是2a，到一个焦点的距离是c－a，到另一个焦点的距离是a＋c，本题是2或10，|PF2|＝1小于2，不合题意．
【正解】 双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得
||PF1|－|PF2||＝8，所以|9－|PF2||＝8，
所以|PF2|＝1或17.
因为|F1F2|＝12，当|PF2|＝1时，|PF1|＋|PF2|＝10＜|F1F2|，
不符合公理“两点之间线段最短”，应舍去．
所以|PF2|＝17.谢谢观看！
