§2.3.2双曲线的简单几何性质(1)
学习目标
1．理解并掌握双曲线的几何性质．
学习过程
课前准备：
（预习教材理P56~ P58，文P49~ P51找出疑惑之处）
复习1：写出满足下列条件的双曲线的标准方程：
①，焦点在轴上；
②焦点在轴上，焦距为8，．
复习2：前面我们学习了椭圆的哪些几何性质？
二、新课导学：
※ 学习探究
问题1：由椭圆的哪些几何性质出发，类比探究双曲线的几何性质?
范围：： ：
对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．
顶点：（ ），（ ）．
实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．
离心率：．
渐近线：
双曲线的渐近线方程为：．
问题2：双曲线的几何性质?
图形：
范围：： ：
对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．
顶点：（ ），（ ）
实轴，其长为 ；虚轴，其长为 ．
离心率：．
渐近线：
双曲线的渐近线方程为： ．
新知：实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．
※ 典型例题
例1求双曲线的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．
变式：求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
例2求双曲线的标准方程：
⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在x轴上；
⑵离心率，经过点；
⑶渐近线方程为，经过点．
※ 动手试试
练1．求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程．
练2．对称轴都在坐标轴上的等到轴双曲线的一个焦点是，求它的标准方程和渐近线方程．
三、总结提升：
※ 学习小结
双曲线的图形、范围、顶点、对称性、离心率、渐近线．
※ 知识拓展
与双曲线有相同的渐近线的双曲线系方程式为
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1． 双曲线实轴和虚轴长分别是（ ）．
A．、 B．、
C．4、 D．4、
2．双曲线的顶点坐标是（ ）．
A． B． C． D．（）
3． 双曲线的离心率为（ ）．
A．1 B． C． D．2
4．双曲线的渐近线方程是 ．
5．经过点，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程是 ．
课后作业
1．求焦点在轴上，焦距是16，的双曲线的标准方程．
2．求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线的方程．
课件13张PPT。2.3.2《双曲线的几何性质》教学目标 1.熟悉椭圆的几何性质（对称性、范围、顶点、离心率）；
2.能说明离心率的大小对椭圆形状的影响.三．教学重、难点：目标1；数形结合思想的贯彻，运用曲线方程研究几何性质. 2、对称性 双曲线 的几何性质1、范围关于x轴、y轴和原点都是对称的.。x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，
心.双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)3、顶点（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点a4、渐近线MNP(2)实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.5、离心率e反映了双曲线开口大小
e越大 双曲线开口越大
e越小 双曲线开口越小（3）离心率范围：（2）离心率的几何意义：e>1ab （1）范围:（2）对称性:关于x轴、y轴、原点都对称（3）顶点:(0,-a)、(0,a)（4）渐近线:（5）离心率:例1 :求双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、离心率、渐近线方程。解:由题意可得 实半轴长:虚轴长:焦点坐标:离心率:渐近线方程:例题选讲a=2顶点坐标:(-2,0)，(2,0)请你写出一个以 为渐近线的双曲线方程. 你能写出所有以 为渐近线的
双曲线方程吗?问:若将题目中“焦点在y轴上”改为“焦点在坐标轴上”呢?先定型，再定量课堂小结:
通过本节课的学习,你有哪些收获?ab(1)由双曲线的图象得其几何性质;
(2)求双曲线标准方程应先定型,再 定量.课后作业
P41 练习1～4再见学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6，0)，则它的标准方程是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【解析】 设等轴双曲线方程为－＝1(a＞0)，
∴a2＋a2＝62，∴a2＝18，故双曲线方程为－＝1.
【答案】 B
2．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1，0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l( )
A．4条 B．3条
C．2条 D．1条
【解析】 因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1，0)是双曲线的右顶点，所以过P(1，0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1，0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B.
【答案】 B
3．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于( )
A．2 B．2
C．4 D．4
【解析】 由已知得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，由焦点到渐近线的距离为，得c＝，解得c＝2，故2c＝4，故选C.
【答案】 C
4．若实数k满足0
A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
【解析】 若00，16－k>0，故方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝；同理方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝.可知两曲线的焦距相等，故选D.
【答案】 D
5．双曲线两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为( )
A．2 B.
C. D.
【解析】 双曲线为等轴双曲线，两条渐近线方程为y＝±x，即＝1，e＝＝.
【答案】 C
二、填空题
6．在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．
【解析】 ∵c2＝m＋m2＋4，
∴e2＝＝＝5，
∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2.
【答案】 2
7．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．
【解析】 由双曲线方程知，b＝4，a＝3，c＝5，则虚轴长为8，则|PQ|＝16.由左焦点F(－5，0)，且A(5，0)恰为右焦点，知线段PQ过双曲线的右焦点，则P，Q都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF|－|PA|＝2a，|QF|－|QA|＝2a，两式相加得，|PF|＋|QF|－(|PA|＋|QA|)＝4a，则|PF|＋|QF|＝4a＋|PQ|＝4×3＋16＝28，故△PQF的周长为28＋16＝44.
【答案】 44
8．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
【解析】 由得点A的坐标为：
，
由得点B的坐标为，
则AB的中点C的坐标为，
∵kAB＝，
∴kCP＝＝－3，
即＝－3，化简得a2＝4b2，
即a2＝4(c2－a2)，∴4c2＝5a2，
∴e2＝，∴e＝.
【答案】
三、解答题
9．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．
【解】 由椭圆＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，
∵双曲线的一条渐近线为y＝x，
∴设双曲线方程为－＝1.
又c2＝2a2＝48，∴a2＝24.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
由a2＝24，c2＝48，
得e2＝＝2，
又e>0，∴e＝.
10．已知双曲线－＝1的右焦点为(2，0)．
(1)求双曲线的方程；
(2)求双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积．
【解】 (1)∵双曲线的右焦点坐标为(2，0)，且双曲线方程为－＝1，∴c2＝a2＋b2＝3＋b2＝4，∴b2＝1，
∴双曲线的方程为－y2＝1.
(2)∵a＝，b＝1，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x，
令x＝－2，则y＝±，
设直线x＝－2与双曲线的渐近线的交点为A，B，
则|AB|＝，记双曲线的渐近线与直线x＝－2围成的三角形的面积为S，
则S＝××2＝.
[能力提升]
1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与曲线C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 曲线C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为C(3，0)，半径r＝2，双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝2，即9b2＝4(a2＋b2)，所以5b2＝4a2，b2＝a2＝c2－a2，即a2＝c2，所以e2＝，e＝，选A.
【答案】 A
2．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．3x±4y＝0 B．3x＋5y＝0
C．5x±4y＝0 D．4x±3y＝0
【解析】 由题意可知|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以△PF1F2为等腰三角形，所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|PF1|＝2＝4b，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以4b－2c＝2a，所以2b－a＝c，两边平方可得4b2－4ab＋a2＝c2＝a2＋b2，所以3b2＝4ab，所以4a＝3b，从而＝，所以该双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，故选D.
【答案】 D
3．过双曲线x2－＝1的左焦点F1，作倾斜角为的直线AB，其中A，B分别为直线与双曲线的交点，则|AB|的长为________．
【解析】 双曲线的左焦点为F1(－2，0)，
将直线AB的方程y＝(x＋2)代入双曲线方程，
得8x2－4x－13＝0.显然Δ＞0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∴x1＋x2＝，x1x2＝－，
∴|AB|＝·
＝× ＝3.
【答案】 3
4．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2，0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2，其中O为原点，求k的取值范围．
【解】 (1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝，c＝2.
又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得：
即k2≠且k2<1. ①
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，xAxB＝，
由·>2得xAxB＋yAyB>2，
而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)·＋＋2＝，
于是>2，
解此不等式得由①②得故k的取值范围是∪.
2.3.2 双曲线的简单几何性质
课时目标 1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．
1．双曲线的几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
焦距
范围
对称性
顶点
轴长
实轴长＝____，虚轴长＝____
离心率
渐近线
2.直线与双曲线
一般地，设直线l：y＝kx＋m (m≠0)①
双曲线C：－＝1 (a>0，b>0)②
把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.
(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于________．
(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，
Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．
Δ>0?直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交；
Δ＝0?直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切；
Δ<0?直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．
一、选择题
1．下列曲线中离心率为的是( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
2．双曲线－＝1的渐近线方程是( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的方程为( )
A．2x2－4y2＝1 B．2x2－4y2＝2
C．2y2－4x2＝1 D．2y2－4x2＝3
4．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±2x
C．y＝±x D．y＝±x
5．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
6．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为( )
A . B C. 2 D .
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e＝______.
8．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程是________________．
9．与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，2)的双曲线方程为 __________．
三、解答题
10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点，且一条渐近线为4x＋3y＝0；
(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.
11．设双曲线x2－＝1上两点A、B，AB中点M(1,2)，求直线AB的方程．
能力提升
12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
13．设双曲线C：－y2＝1 (a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；
1．双曲线－＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a.
2．双曲线的离心率e＝的取值范围是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且＝，离心率e越大，双曲线的开口越大．可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．
3．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，也可记为－＝0；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为－＝λ (λ≠0)．
2.3.2 双曲线的简单几何性质
知识梳理
1.
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
焦点
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距
|F1F2|＝2c
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
y≥a或y≤－a，x∈R
对称性
关于x轴、y轴和原点对称
顶点
(－a,0)，(a,0)
(0，－a)，(0，a)
轴长
实轴长＝2a，虚轴长＝2b
离心率
e＝(e>1)
渐近线
y＝±x
y＝±x
2.(1)一点 (2)两个 一个 没有
作业设计
1．B [∵e＝，∴e2＝＝，∴＝，故选B.]
2．A
3．C [由于椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为，
则双曲线的焦点坐标为，又由渐近线方程为y＝x，得＝，即a2＝2b2，又由2＝a2＋b2，得a2＝，b2＝，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x2＝1.故选C.]
4．C [由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y ＝±x.]
5．C [点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]
6．B [||PF1|－|PF2||＝2a，即3|PF2|＝2a，
所以|PF2|＝≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3c，
则≤.]
7.
解析 a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3.
又a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝，从而e＝＝.
8.－＝1(x>3)
解析 以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为－＝1(x>3)．
9.－＝1
解析 ∵所求双曲线与双曲线－＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为－＝λ (λ≠0)．∵点(－3,2)在双曲线上，
∴λ＝－＝.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
10．解 (1)因直线x＝与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为－＝1，由
解得故所求的双曲线方程为－＝1.
(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x轴上．
因为PF1⊥PF2，且|OP|＝6，
所以2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以c＝6.
又P与两顶点连线夹角为，
所以a＝|OP|·tan＝2，所以b2＝c2－a2＝24.
故所求的双曲线方程为－＝1.
11．解 方法一 (用韦达定理解决)
显然直线AB的斜率存在．
设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，
即y＝kx＋2－k，由
得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0，
当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则1＝＝，
∴k＝1，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.
方法二 (用点差法解决)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，
两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．
∵x1≠x2，∴＝，
∴kAB＝＝1，∴直线AB的方程为y＝x＋1，
代入x2－＝1满足Δ>0.
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
12.
D [设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
而kBF＝－，∴·(－)＝－1，整理得b2＝ac.
∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍去)，故选D.]
13．解 (1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得有两个不同的解，
消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
∴
解得－又∵a>0，∴0∵双曲线的离心率e＝＝ ，
∴0且e≠.
∴双曲线C的离心率e的取值范围是
∪(，＋∞)．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．
∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，
由此可得x1＝x2.∵x1，x2都是方程①的根，
且1－a2≠0，∴x1＋x2＝x2＝－，
x1x2＝x＝－，消去x2得－＝，
即a2＝.又∵a>0，∴a＝.
课题： 双曲线的简单几何性质
课时：08
课型：新授课
1.知识与技能目标
(1).通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；
(2).掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；
(3).通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．
2.过程与方法目标
（1）复习与引入过程
引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．
3.情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新
新课讲授过程
（1）复习：双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．
提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（2）双曲线的简单几何性质
①范围：由双曲线的标准方程得，，进一步得：，或．这说明双曲线在不等式，或所表示的区域；
②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
④渐近线：直线叫做双曲线的渐近线；
⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率（）．
（3）例题讲解与引申、扩展
例3 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．
分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在轴上的渐近线是．
扩展：求与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方及离心率．
解法剖析：双曲线的渐近线方程为．①焦点在轴上时，设所求的双曲线为，∵点在双曲线上，∴，无解；②焦点在轴上时，设所求的双曲线为，∵点在双曲线上，∴，因此，所求双曲线的标准方程为，离心率．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为．
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到）．
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为，算出的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如图所示，在处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路或送到呈矩形的足球场中去铺垫，已知，，，．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．
解题剖析：设为“等距离”线上任意一点，则，即（定值），∴“等距离”线是以、为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为．理由略．
例5 如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程．
分析：若设点，则，到直线：的距离，则容易得点的轨迹方程．
引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线
若点与定点的距离和它到定直线：的距离比是常数，则点的轨迹方程是双曲线．其中定点是焦点，定直线：相应于的准线；另一焦点，相应于的准线：．
课堂练习：P55 -第1、2、3
课后作业：第61页练习4、5；第61页 习题2.3
课后反思：双曲线是开放曲线，所以应重点抓住几何性质
2015高考题小试：
1.（15北京理科）已知双曲线的一条渐近线为，则 ．
2. 【2015高考北京，文12】已知是双曲线（）的一个焦点，则 ．
3. （15年安徽文科）下列双曲线中，渐近线方程为的是( )
（B）
（C） （D）
答案提示：
1．【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，，,则
2. 【答案】
【解析】由题意知，，所以.
3. 【答案】A
【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.
课件49张PPT。2.3 双曲线
2.3.2 双曲线的简单几何性质
第一课时 双曲线的简单几何性质自主学习 新知突破1．通过双曲线的方程和几何图形，了解双曲线的对称性、范围、顶点、离心率等简单几何性质．
2．了解双曲线的渐近线，并能用双曲线的简单几何性质解决一些简单的问题．双曲线是生活的缩影，如果把生活的点点滴滴投射至无色的纸张中，那么双曲线便是一件无法雕饰的艺术品，只有相对的实轴，没有绝对的虚轴．人生有太多捉不到回忆的遗憾，绝少完美．梦的延伸受着渐近线的控制，永远离不开追逐完美的羁绊．每段人生都会有一个焦点，美好的人生也好，悲惨的人生也罢，都会由这个焦点主宰着我们的生活，没有昨天和今天，只有未来和希望．[问题1] 双曲线的对称轴、对称中心是什么？
[提示1] 双曲线的对称轴为坐标轴，对称中心是坐标原点．
[问题2] 双曲线的渐近线方程是什么？双曲线的几何性质(±c,0) (0，±c) 2c x≥a或x≤－a y≥a或y≤－a 关于x轴，y轴对称，关于原点中心对称 (±a,0) (0，±a) 2a 2b _______和________等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线实轴虚轴答案： D答案： 2合作探究 课堂互动 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程．已知双曲线方程求其几何性质 1．求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图． 求适合下列条件的双曲线的标准方程：由双曲线的几何性质求标准方程
思路点拨： (1)(2)可用待定系数法求出a，b，c后求方程；
(3)可以利用渐近线的方程进行假设，或者讨论焦点所在的坐标轴，再根据已知条件求相应的标准方程． 注意：此时的a，b不一定等同于标准方程中的a，b.求双曲线的离心率 双曲线的离心率问题主要有两种，一是求离心率，二是求离心率的取值范围．求圆锥曲线的离心率的关键是探寻a与c的关系．在探寻过程中，要充分挖掘各种隐含条件，结合图形与圆锥曲线的定义，并要综合运用各种知识，只有这样才能做到“心有灵犀一‘点’通”，找到最优解法，提高解题速度． 【错因】 忽略了条件P(a，b)在双曲线的左支上，若P在双曲线的左支上，则a－b<0，故应有a－b＝－2.谢谢观看！