§2.3.2双曲线的简单几何性质(2)
学习目标
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型；
2．掌握椭圆的定义；
3．掌握椭圆的标准方程．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P58~ P60，文P51~ P53找出疑惑之处）
复习1：说出双曲线的几何性质?
复习2：双曲线的方程为，
其顶点坐标是( )，( )；
渐近线方程 ．
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：椭圆的焦点是？
探究2：双曲线的一条渐近线方程是，则可设双曲线方程为？
问题：若双曲线与有相同的焦点，它的一条渐近线方程是，则双曲线的方程是？
※ 典型例题
例1双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，试选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程．
例2点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求点的轨迹．
（理）例3过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于两点，求两点的坐标．
变式：求 ？
思考：的周长？
※ 动手试试
练1．若椭圆与双曲线的焦点相同，则=____.
练2 ．若双曲线的渐近线方程为，求双曲线的焦点坐标．
三、总结提升
※ 学习小结
1．双曲线的综合应用：与椭圆知识对比，结合；
2．双曲线的另一定义；
3．（理）直线与双曲线的位置关系．
知识拓展
双曲线的第二定义：
到定点的距离与到定直线的距离之比大于1的点的轨迹是双曲线．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则的值为（ ）．
A． B． C． D．
2．以椭圆的焦点为顶点，离心率为的双曲线的方程（ ）．
A. B.
C. 或 D. 以上都不对
3．过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于、，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（ ）．
A. B. C. D.
4．双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_______________.
5．方程表示焦点在x轴上的双曲线，则的取值范围 ．
课后作业
1．已知双曲线的焦点在轴上，方程为，两顶点的距离为，一渐近线上有点，试求此双曲线的方程．
第2章 2.3.2 第2课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析： 数形结合知，过点P(1,0)有一条直线l与双曲线相切，有两条直线与渐近线平行，这三条直线与双曲线只有一个公共点．
答案： B
2．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析： 设双曲线方程为－＝1(a，b>0)，不妨设一个焦点为F(c,0)，虚轴端点为B(0，b)，则kFB＝－.
又渐近线的斜率为±，
所以由直线垂直关系得－·＝－1(－显然不符合)，
即b2＝ac，又c2－a2＝b2，故c2－a2＝ac，
两边同除以a2，得方程e2－e－1＝0，
解得e＝或e＝(舍)．
答案： D
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )
A．(1,2] B．(1,2)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
解析： 根据双曲线的性质，过右焦点F且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan 60°＝，即≥，则 ＝≥，故有e2≥4，e≥2.故选C.
答案： C
4．P是双曲线－＝1的右支上一点，M、N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析： 设双曲线的两个焦点分别是F1(－5,0)与F2(5,0)，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M、F1三点共线以及P与N、F2三点共线时所求的值最大，此时|PM|－|PN|＝(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝6＋3＝9.
答案： D
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
解析： ∵∠AOB＝120°?∠AOF＝60°?∠AFO＝30°?c＝2a，∴e＝＝2.
答案： 2
6．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是________．
解析： 由题意知F(4,0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，
当过F点的直线与渐近线平行时，满足与右支只有一个交点，画出图形，通过图形可知，－≤k≤.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A、B两点，试问A、B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．
解析： ∵a＝1，b＝，c＝2，
又直线l过点F2(2,0)，且斜率k＝tan 45°＝1，
∴l的方程为y＝x－2，
由消去y并整理得2x2＋4x－7＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵x1·x2＝－<0，
∴A、B两点分别位于双曲线的左、右两支上．
∵x1＋x2＝－2，x1·x2＝－，
∴|AB|＝|x1－x2|＝·
＝·＝6.
8．已知双曲线x2－＝1上存在关于直线l：y＝kx＋4的对称点，求实数k的取值范围．
解析： ①当k＝0时，显然不成立．
②当k≠0时，在双曲线上任意取两点A，B，设AB的中点M的坐标为M(x0，y0)，由l⊥AB，
可设直线AB的方程为y＝－x＋b，
将其代入3x2－y2＝3中，
得(3k2－1)x2＋2kbx－(b2＋3)k2＝0.
显然3k2－1≠0，即k2b2＋3k2－1>0.①
由根与系数的关系得AB的中点M的坐标为
因为M平分AB，所以M(x0，y0)在直线l上，
从而有＝＋4，
即k2b＝3k2－1， ④
将④代入①得k2b2＋k2b>0，∴b>0或b<－1，
即>0或<－1，
∴|k|>或|k|<，且k≠0，
∴k>或k<－或－尖子生题库?☆☆☆
9．(10分)设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M，F(，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．
解析： (1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.
圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为F1(－，0)，半径为2，
圆(x－)2＋y2＝4的圆心为F(，0)，半径为2.
由题意得或
∴||CF1|－|CF||＝4.
∵|F1F|＝2>4，
∴圆C的圆心轨迹是以F1(－，0)，F(，0)为焦点的双曲线，其方程为－y2＝1.
(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，
∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，且|MF|＝＝2.
直线MF的方程为y＝－2x＋2，与双曲线方程联立得
整理得15x2－32x＋84＝0.
解得x1＝(舍去)，x2＝.
此时y＝.
∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为.
课件21张PPT。直线与双曲线的位置关系双曲线的性质(二)法二：设双曲线方程为解之得k=4,y0d例2、过双曲线 的右焦点
倾斜角为 的直线交双曲线于A，B两点，求|AB|。例3、由双曲线 上的一点P与左、右
两焦点 构成 ，求 的内切圆与
边 的切点坐标。椭圆与直线的位置关系及判断方法判断方法?<0?=0?>0（1）联立方程组（2）消去一个未知数（3）复习:相离相切相交一:直线与双曲线位置关系种类XYO种类:相离;相切;相交(0个交点，一个交点，一个交点或两个交点)位置关系与交点个数相离:0个交点相交:一个交点相交:两个交点相切:一个交点(b2-a2k2)x2-2kma2x+a2(m2+b2)=01.二次项系数为0时，L与双曲线的渐近线平行或重合。
重合：无交点；平行：有一个交点。2.二次项系数不为0时,上式为一元二次方程,判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与双曲线的
渐进线平行相交（一个交点） 计 算 判 别 式②相切一点: △=0
③相 离: △＜0一、直线与双曲线的位置关系: 特别注意：
直线与双曲线的位置关系中：
一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支应 用:例1.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=4,试讨论实数k的取值范围,使直线与双曲线
(1)没有公共点;
(2)有两个公共点;
(3)只有一个公共点;
(4)交于异支两点；
(5)与左支交于两点.(4)-1＜k＜1 ；1.过点P(1,1)与双曲线 只有共有_______条.
变题:将点P(1,1)改为
1.A(3,4)
2.B(3,0)
3.C(4,0)
4.D(0,0).答案又是怎样的?41.两条;2.三条;3.两条;4.零条.交点的一个直线（1，1）。2.双曲线x2-y2=1的左焦点为F,点P为左支下半支上任意一点
(异于顶点),则直线PF的斜率的变化范围是_________例、过双曲线
的右焦点F作倾斜角为60°的直线l，若直线l与双曲线右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围.二.弦的中点问题(韦达定理与点差法）例2.已知双曲线方程为3x2-y2=3,求：
(1)以2为斜率的弦的中点轨迹；
(2)过定点B(2,1)的弦的中点轨迹；
(3)以定点B(2,1)为中点的弦所在的直线方程.
(4)以定点(1,1)为中点的弦存在吗？说明理由；解：将y=ax+1代入3x2-y2=1又设方程的两根为x1,x2，A(x1,y1),B(x2,y2), 得(3-a2)x2-2ax-2=0,它有两个实根，必须△>0,∵原点O（0，0）在以AB为直径的圆上， ∴OA⊥OB，即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(ax1+1)(ax2+1)=0, ∴(a2+1) x1x2 +a(x1+x2 )+1=0,解得a=±1.例3、直线y-ax-1=0和曲线3x2-y2=1相交，交点为A、B，当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点。拓展延伸课件20张PPT。第2课时 双曲线方程及性质的应用 关于坐标
轴和
原点
都对
称性质双曲线范围对称
性 顶点 渐近
线离心
率图象xyxy1.了解双曲线的几何性质，并会应用于实际问
题之中.（重点）
2.会利用双曲线的定义、标准方程、几何性质
及图形四者之间的内在联系，分析和解决实
际问题.（重点、难点）探究点1 由双曲线的性质求双曲线方程已知双曲线的几何性质，求其标准方程的方法步骤：
(1)确定焦点所在的位置，以确定双曲线方程的形式；
(2)确立关于a,b,c的方程(组)，求出参数a,b,c；
(3)写出标准方程．【提升总结】解：【例2】点M（x，y）与定点F（5，0）的距离和它到定
直线 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹.xy..FOM.双曲线中应注意的几个问题：
(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线；
(2)双曲线的两条渐近线是区别于其他圆锥曲线所特有的；
(3)双曲线只有两个顶点，离心率e>1；
(5)注意双曲线中a，b，c，e的等量关系与椭圆中a，b，c，e的不同．【提升总结】种类: 相离; 相切; 相交(一个交点, 两个交点)探究点2 直线与双曲线的位置关系1.位置关系：相交、相切、相离
2.判别方法(代数法)
联立直线与双曲线的方程，
消元得到一元二次方程（当二次项系数不为0时）
(1)△>0?直线与双曲线相交?有两个公共点；
(2)△=0 ?直线与双曲线相切?有且只有一个
公共点；
(3)△<0 ?直线与双曲线相离?无公共点．通法【提升总结】直线与双曲线的位置关系：解：由双曲线的方程得，两焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0). 因为直线AB的倾斜角是30°，且直线经过右焦点F2，所以，直线AB的方程为【提升总结】这里我们也可以利用弦长公式求解.弦长公式：或算一算，看结果一样吗？【变式练习】解析：因为F1的坐标是(-3,0),所以92．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，点
F1是另一个焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离
心率等于________．C4．求一条渐近线方程是3x＋4y＝0，一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程．
解析：因为双曲线的一条渐近线方程为3x＋4y＝0，1.双曲线的简单几何性质，利用性质求方程，解决与性质相关的综合性问题；
2.掌握直线与双曲线的位置关系及弦长公式. 泪水和汗水的化学成分相似，但前者只能为你换来同情，后者却可以为你赢得成功.课题： 双曲线的简单几何性质
课时：08
课型：新授课
1.知识与技能目标
(1).通过方程，研究曲线的性质．理解双曲线的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点、渐近线的概念；
(2).掌握双曲线的标准方程、会用双曲线的定义解决实际问题；
(3).通过例题和探究了解双曲线的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义．
2.过程与方法目标
（1）复习与引入过程
引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法，在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程的讨论，研究双曲线的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的进一步地培养．
3.情感、态度与价值观目标
在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新
新课讲授过程
（1）复习：双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质．
提问：研究双曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？
通过对双曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点、渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质．
（2）双曲线的简单几何性质
①范围：由双曲线的标准方程得，，进一步得：，或．这说明双曲线在不等式，或所表示的区域；
②对称性：由以代，以代和代，且以代这三个方面来研究双曲线的标准方程发生变化没有，从而得到双曲线是以轴和轴为对称轴，原点为对称中心；
③顶点：圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此双曲线有两个顶点，由于双曲线的对称轴有实虚之分，焦点所在的对称轴叫做实轴，焦点不在的对称轴叫做虚轴；
④渐近线：直线叫做双曲线的渐近线；
⑤离心率： 双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率（）．
（3）例题讲解与引申、扩展
例3 求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点的坐标、离心率、渐近线方程．
分析：由双曲线的方程化为标准方程，容易求出．引导学生用双曲线的实半轴长、虚半轴长、离心率、焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子，但要注意焦点在轴上的渐近线是．
扩展：求与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方及离心率．
解法剖析：双曲线的渐近线方程为．①焦点在轴上时，设所求的双曲线为，∵点在双曲线上，∴，无解；②焦点在轴上时，设所求的双曲线为，∵点在双曲线上，∴，因此，所求双曲线的标准方程为，离心率．这个要进行分类讨论，但只有一种情形有解，事实上，可直接设所求的双曲线的方程为．
例4 双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图（1），它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为．试选择适当的坐标系，求出双曲线的方程（各长度量精确到）．
解法剖析：建立适当的直角坐标系，设双曲线的标准方程为，算出的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．
引申：如图所示，在处堆放着刚购买的草皮，现要把这些草皮沿着道路或送到呈矩形的足球场中去铺垫，已知，，，．能否在足球场上画一条“等距离”线，在“等距离”线的两侧的区域应该选择怎样的线路？说明理由．
解题剖析：设为“等距离”线上任意一点，则，即（定值），∴“等距离”线是以、为焦点的双曲线的左支上的一部分，容易“等距离”线方程为．理由略．
例5 如图，设与定点的距离和它到直线：的距离的比是常数，求点的轨迹方程．
分析：若设点，则，到直线：的距离，则容易得点的轨迹方程．
引申：用《几何画板》探究点的轨迹：双曲线
若点与定点的距离和它到定直线：的距离比是常数，则点的轨迹方程是双曲线．其中定点是焦点，定直线：相应于的准线；另一焦点，相应于的准线：．
课堂练习：P55 -第1、2、3
课后作业：第61页练习4、5；第61页 习题2.3
课后反思：双曲线是开放曲线，所以应重点抓住几何性质
2015高考题小试：
1.（15北京理科）已知双曲线的一条渐近线为，则 ．
2. 【2015高考北京，文12】已知是双曲线（）的一个焦点，则 ．
3. （15年安徽文科）下列双曲线中，渐近线方程为的是( )
（B）
（C） （D）
答案提示：
1．【答案】
【解析】双曲线的渐近线方程为，，,则
2. 【答案】
【解析】由题意知，，所以.
3. 【答案】A
【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.
课件50张PPT。2.3 双曲线
2.3.2 双曲线的简单几何性质
第二课时 直线与双曲线的位置关系自主学习 新知突破1．进一步掌握双曲线的标准方程和几何性质，能解决与双曲线有关的综合问题．
2．掌握直线和双曲线的位置关系的判断方法，能利用直线和双曲线的位置关系解决相关的弦长、中点弦等问题，提高知识的综合应用能力．1．过双曲线的焦点与渐近线平行的直线与双曲线有几个交点？
[提示] 1个交点．
2．类比直线与椭圆的位置关系，直线与双曲线的位置关系是怎样的？
[提示] 直线与双曲线相交、相切、相离．直线与双曲线的位置关系及判定弦长公式答案： D答案： B
3．已知双曲线C：x2－y2＝1，F是其右焦点，过F的直线l只与双曲线的右支有唯一的交点，则直线l的斜率等于________．
解析： 当直线l与双曲线的渐近线平行时，与双曲线的右支有唯一交点，直线l的斜率为±1.
答案： ±14．已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长．合作探究 课堂互动 直线y＝kx＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点，当k为何值时，A，B在双曲线的同一支上？当k为何值时，A，B分别在双曲线的两支上？
思路点拨： 直线与双曲线有两交点的条件是联立的方程组有两组解，也就是消元后获得的一元二次方程有两解．两交点在同一支上，则说明两个交点的横坐标同号，即一元二次方程有两个同号根，两交点分别在两支上，则说明两个交点的横坐标异号，即一元二次方程有两个异号根．直线与双曲线的位置关系 解直线和双曲线的位置关系的题目，一般先联立方程组，消去一个变量，转化成关于x或y的一元二次方程．再根据一元二次方程去讨论直线和双曲线的位置关系．这时首先要看二次项的系数是否等于0.当二次项系数等于0时，就转化成x或y的一元一次方程，只有一个解．这时直线与双曲线相交只有一个交点．当二次项系数不为零时，利用根的判别式，判断直线和双曲线的位置关系． 1．(1)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4有两个公共点，求k的取值范围；
(2)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4只有一个公共点，求k的取值范围；
(3)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的右支有两个公共点，求k的取值范围；(4)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4的左支有两个公共点，求k的取值范围；
(5)如果直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4两支各有一个交点，求k的取值范围．(1)若直线l的倾斜角为45°，求|AB|；
(2)若线段AB的中点为M，求点M的轨迹方程．
思路点拨： 知道了倾斜角就知道了直线的斜率，因此，解答
(1)可直接使用弦长公式；
(2)是弦中点问题，可使用参数法求解，也可采用点差法．弦长与中点弦问题 (1)弦长的求法
求直线与双曲线相交所得弦长，主要利用弦长公式，要注意方程的思想以及根与系数的关系的应用．
(2)弦中点问题解决方法
对于弦中点问题，通常使用点差法解决，以减小运算量，提高运算速度．
另外，对于相交弦问题还要注意灵活转化，如垂直、相等等问题也可以转化成中点、弦长问题解决． 直线与双曲线的综合问题 此类题涉及到的知识点相对较多：直线、圆、双曲线的相关知识以及定点问题，求解时利用直线和双曲线的关系建立方程组，通过根与系数的关系或向量的运算求解相关参变量的值． 【错解】 假设存在m过B与双曲线交于Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点，当m斜率不存在时，显然只与双曲线有一个交点；当m斜率存在时，设m的方程为y－1＝k(x－1)，【错因】 对于圆、椭圆这种封闭的曲线，以其内部一点为中点的弦是存在的，而对于双曲线，这样的弦就不一定存在，故求出k值后需用判别式判定此时直线是否与双曲线有交点．
【正解】 假设存在直线m过B与双曲线交于Q1，Q2，且B是Q1Q2的中点，当直线m的斜率不存在时，显然只与双曲线有一个交点；
当直线m的斜率存在时，设直线m的方程为y－1＝k(x－1)，谢谢观看！
