第2章 2.4.2 第2课时
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
解析： 由定义|AB|＝5＋2＝7，
∵|AB|min＝4，∴这样的直线有且仅有两条．
答案： B
2．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致为( )
解析： 方法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为
＋＝1，y2＝－x.因为a>b>0，所以>>0.
所以椭圆的焦点在y轴上；抛物线的焦点在x轴上，且开口向左．故选D.
方法二：方程ax＋by2＝0中，将y换成－y，其结果不变，
即ax＋by2＝0的图形关于x轴对称，排除B、C，
又椭圆的焦点在y轴上，排除A.故选D.
答案： D
3．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A. B.
C. D.
解析： 过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，
由抛物线定义可知，AA1＝AF，BB1＝BF，
又∵2|BF|＝|AF|，
∴|AA1|＝2|BB1|，即B为AC的中点．
从而yA＝2yB，联立方程组
?消去x得y2－y＋16＝0，
∴?，消去yB得k＝.故选B.
答案： B
4．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A．2 B．3
C. D.
解析： ∵直线l2：x＝－1恰为抛物线y2＝4x准线，
∴P到l2的距离d2＝|PF|(F(1,0)为抛物线焦点)，
所以P到l1、l2距离之和最小值为F到l1距离
＝2，故选A.
答案： A
二、填空题(每小题5分，共10分)
5．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a＝________.
解析： 由，得ax2－x＋1＝0，
Δ＝1－4a＝0，得a＝.
答案：
6．直线y＝x＋b交抛物线y＝x2于A、B两点，O为抛物线的顶点，且OA⊥OB，则b的值为________．
解析： 由，得x2－2x－2b＝0，
Δ＝(－2)2＋8b>0，
设直线与抛物线的两交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由根与系数的关系，得x1＋x2＝2，x1x2＝－2b，
于是y1y2＝(x1x2)2＝b2，
由OA⊥OB知x1x2＋y1y2＝0，
故b2－2b＝0，解得b＝2或b＝0(不合题意，舍去)．
b＝2适合Δ>0.
答案： 2
三、解答题(每小题10分，共20分)
7．设过抛物线y2＝2px的焦点且倾斜角为的直线交抛物线于A、B两点，若弦AB的中垂线恰好过点Q(5,0)，求抛物线的方程．
解析： 弦AB中点为M，MQ为AB的中垂线，
AB的斜率为1，则lMQ：y＝－x＋5.
设lAB：y＝x－.
联立方程组
得x2－3px＋＝0，
∴x1＋x2＝3p.①
联立方程组，
得2x＝5＋，则x1＋x2＝5＋②
联立①②，解得p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x.
8．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)过点A(1，－2)．
(1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA(O为坐标原点)的直线l，使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解析： (1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1，
∴p＝2，
故所求的抛物线方程为y2＝4x，
其准线方程为x＝－1；
(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t，
由得y2＋2y－2t＝0，
因为直线l与抛物线C有公共点，
所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－.
另一方面，由直线OA与直线l的距离等于可得＝，
∴t＝±1，
由于－1?，1∈，
所以符合题意的直线l存在，其方程为y＝－2x＋1.
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9．(10分)已知抛物线C1：y2＝4px(p>0)，焦点为F2，其准线与x轴交于点F1；椭圆C2：分别以F1、F2为左、右焦点，其离心率e＝；且抛物线C1和椭圆C2的一个交点记为M.
(1)当p＝1时，求椭圆C2的标准方程；
(2)在(1)的条件下，若直线l经过椭圆C2的右焦点F2，且与抛物线C1相交于A，B两点，若弦长|AB|等于△MF1F2的周长，求直线l的方程．
解析： (1)＋＝1；
(2)①若直线l的斜率不存在，
则l：x＝1，且A(1,2)，B(1，－2)，
∴|AB|＝4
又∵△MF1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|
＝2a＋2c＝6≠|AB|.
∴直线l的斜率必存在．
②设直线l的斜率为k，则l：y＝k(x－1)，
由，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
∵直线l与抛物线C1有两个交点A，B，
∴Δ＝[－(2k2＋4)]2－4k4＝16k2＋16>0，且k≠0
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则可得x1＋x2＝，x1x2＝1
于是|AB|＝|x1－x2|
＝
＝
＝＝，
∵△MF1F2的周长等于|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝6，
∴由＝6，解得k＝±.
故所求直线l的方程y＝±(x－1)．
抛物线的简单几何性质
课前预习学案
预习目标
回顾抛物线的定义及抛物线的标准方程，预习抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质
预习内容
复习回顾
抛物线定义
叫作抛物线； 叫做抛物线的焦点。 叫做抛物线的准线
图形
方程
焦点
准线
（2）抛物线的标准方程
①相同点 ；
②不同点 ；
（3）回顾练习
①已知抛物线y2＝2px的焦点为F，准线为l，过焦点F的弦与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作AP⊥l，BQ⊥l，M为PQ的中点，求证：MF⊥AB
②在抛物线y2＝2x上方有一点M（3，），P在抛物线上运动，|PM|=d1,P到准线的距离为d2，求当d1 +d2最小时，P的坐标。
2、预习新知
（1）根据抛物线图像探究抛物线的简单几何性质
①范围 ： ；
②对称性： ；
③顶点： ；
④离心率： ；
（2）自我检测：
1．已知点，直线：，点是直线上的动点，若过垂直于轴的直线与线段的垂直平分线交于点，则点所在曲线是（ ）
圆 椭圆 双曲线 抛物线
2．设抛物线的焦点为，以为圆心，长为半径作一圆，与抛物线在轴上方交于，则的值为 （ ）
8 18 4
3．过点的抛物线的标准方程是 ．
焦点在上的抛物线的标准方程是 ．
4．抛物线的焦点为，为一定点，在抛物线上找一点，当为最小时，则点的坐标 ，当为最大时，则点的坐标 ．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
?
?
?
?
?
?
?
课内探究学案
一、学习目标
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化
二、学习过程
1、定义 ；
2、标准方程 ；
3、几何性质
①范围 ： ；
②对称性： ；
③顶点： ；
④离心率： ；
4、完成下表
标准方程
图形
顶点
对称轴
焦点
准线
离心率
轴
轴
思考问题：抛物线是双曲线的一支吗？为什么？
5、分析例题
例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．
例3 过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，
求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．
例4． 已知抛物线与圆相交于两点，圆与轴正半轴交于点，直线是圆的切线，交抛物线与，并且切点在上．
（1）求三点的坐标．（2）当两点到抛物线焦点距离和最大时，求直线的方程．
课后练习与提高
1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（ B ）
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ B ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=（ C ）
（A） （B） （C） （D）
4．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是 ______ (答案： )
5.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标
（答案： , M到轴距离的最小值为）
6．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．
7．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于
8．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
9．以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．
10．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？
抛物线的简单几何性质
教学目的：
1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化
教学重点：抛物线的几何性质及其运用
教学难点：抛物线几何性质的运用
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪
内容分析：
???“抛物线的简单几何性质”是课本第八章最后一节，它在全章占有重要的地位和作用本节知识在生产、生活和科学技术中经常用到，也是大纲规定的必须掌握的内容，还是将来大学学习的基础知识之一 对于训练学生用坐标法解题，本节一如前面各节一样起着相当重要的作用
研究抛物线的几何性质和研究椭圆、双曲线的几何性质一样，按范围、对称性、顶点、离心率顺序来研究，完全可以独立探索得出结论 已知抛物线的标准方程，求它的焦点坐标和准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向，一次项的变量如果为（或），则轴（或轴）是抛物线的对称轴，一次项的符号决定开口方向，由已知条件求抛物线的标准方程时，首先要根据已知条件确定抛物线标准方程的类型，再求出方程中的参数
本节分两课时进行教学 第一课时内容主要讲抛物线的四个几何性质、抛物线的画图、例1、例2、及其它例题；第二课时主要内容焦半径公式、通径、例3
教学过程：
一、复习引入：
1．抛物线定义：
图形
方程
焦点
准线
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 定点F叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线
2．抛物线的标准方程：
相同点：(1)抛物线都过原点；(2)对称轴为坐标轴；(3)准线都与对称轴垂直，垂足与焦点在对称轴上关于原点对称 它们到原点的距离都等于一次项系数绝对值的，即
不同点：(1)图形关于X轴对称时，X为一次项，Y为二次项，方程右端为、左端为；图形关于Y轴对称时，X为二次项，Y为一次项，方程右端为，左端为 （2）开口方向在X轴（或Y轴）正向时，焦点在X轴（或Y轴）的正半轴上，方程右端取正号；开口在X轴（或Y轴）负向时，焦点在X轴（或Y轴）负半轴时，方程右端取负号
二、讲解新课：
抛物线的几何性质
1．范围
因为p＞0，由方程可知，这条抛物线上的点M的坐标(x，y)满足不等式x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
2．对称性
以－y代y，方程不变，所以这条抛物线关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
3．顶点
抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．在方程中，当y=0时，x=0，因此抛物线的顶点就是坐标原点．
4．离心率
抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．
对于其它几种形式的方程，列表如下：
标准方程
图形
顶点
对称轴
焦点
准线
离心率
轴
轴
轴
轴
注意强调的几何意义：是焦点到准线的距离
抛物线不是双曲线的一支，抛物线不存在渐近线
通过图形的分析找出双曲线与抛物线上的点的性质差异，当抛物线上的点趋向于无穷远时，抛物线在这一点的切线斜率接近于对称轴所在直线的斜率，也就是说接近于和对称轴所在直线平行，而双曲线上的点趋向于无穷远时，它的切线斜率接近于其渐近线的斜率
附：抛物线不存在渐近线的证明．（反证法）
假设抛物线y2＝2px存在渐近线y＝mx＋n，A（x，y）为抛物线上一点，
A0（x，y1）为渐近线上与A横坐标相同的点如图，
则有和y1＝mx＋n．
∴
当m≠0时，若x→＋∞，则
当m＝0时，，当x→＋∞，则
这与y＝mx＋n是抛物线y2＝2px的渐近线矛盾，所以抛物线不存在渐近线
三、讲解范例：
例1 已知抛物线关于x轴为对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，求它的标准方程，并用描点法画出图形．
分析：首先由已知点坐标代入方程，求参数p．
解：由题意，可设抛物线方程为，因为它过点，
所以 ，即
因此，所求的抛物线方程为．
将已知方程变形为，根据计算抛物线在的范围内几个点的坐标，得
x
0
1
2
3
4
…
y
0
2
2.8
3.5
4
…
描点画出抛物线的一部分，再利用对称性，就可以画出抛物线的另一部分
点评：在本题的画图过程中，如果描出抛物线上更多的点，可以发现这条抛物线虽然也向右上方和右下方无限延伸，但并不能像双曲线那样无限地接近于某一直线，也就是说，抛物线没有渐近线．
例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置．
分析：这是抛物线的实际应用题，设抛物线的标准方程后，根据题设条件，可确定抛物线上一点坐标，从而求出p值．
解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径．
设抛物线的标准方程是 (p＞0)．
由已知条件可得点A的坐标是(40，30)，代入方程，得，
即
所求的抛物线标准方程为．
例3 过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，
求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．
分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．
证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则
｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线相切．
四、课堂练习：
1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（ B ）
（A）10 （B）8 （C）6 （D）4
2．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ B ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
3．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=（ C ）
（A） （B） （C） （D）
4．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是 ______ (答案： )
5.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标
（答案： , M到轴距离的最小值为）
五、小结 ：抛物线的离心率、焦点、顶点、对称轴、准线、中心等
六、课后作业：
1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．
（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．
（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．
（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．
2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于
3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
4．以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．
5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？
习题答案：
1．（1）y2＝±32x （2）x2＝8y （3）x2＝－8y
2．90°
3．x2＝±16 y
4．
5．米
七、板书设计（略）
八、课后记：
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知点P(6，y)在抛物线y2＝2px(p>0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8，则焦点F到抛物线准线的距离等于( )
A．2 B．1
C．4 D．8
【解析】 抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－，因为P(6，y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6＋＝8，所以p＝4，即焦点F到抛物线的距离等于4，故选C.
【答案】 C
2．抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为( )
A．2 B．4
C．6 D．4
【解析】 据题意知，△FPM为等边三角形，|PF|＝|PM|＝|FM|，∴PM⊥抛物线的准线．设P，则M(－1，m)，等边三角形边长为1＋，又由F(1，0)，|PM|＝|FM|，得1＋＝，得m＝2，∴等边三角形的边长为4，其面积为4，故选D.
【答案】 D
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
【解析】 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入抛物线方程得
①－②得，
(y1＋y2)(y1－y2)＝2p(x1－x2)．
又∵y1＋y2＝4，∴＝＝＝k＝1，∴p＝2.
∴所求抛物线的准线方程为x＝－1.
【答案】 B
4．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|＝( )
A. B．6
C．12 D．7
【解析】 焦点F的坐标为，直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y＝，
即y＝x－，代入y2＝3x，
得x2－x＋＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，
所以|AB|＝x1＋x2＋＝＋＝12，故选C.
【答案】 C
5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，若x1＋x2＝6，那么|AB|等于( )
A．10 B．8
C．6 D．4
【解析】 由题意知p＝2，|AB|＝x1＋x2＋p＝8.故选B.
【答案】 B
二、填空题
6．抛物线y2＝x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为________．
【解析】 设抛物线上点的坐标为(x，±)，此点到准线的距离为x＋，到顶点的距离为，由题意有x＋＝，∴x＝，∴y＝±，∴此点坐标为.
【答案】
7．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________．
【解析】 当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.
【答案】 0或1
8．平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1，0)的距离和到直线x＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P(－1，0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是________.
【解析】 设机器人为A(x，y)，依题意得点A在以F(1，0)为焦点，x＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2＝4x.
过点P(－1，0)，斜率为k的直线为y＝k(x＋1)．
由
得ky2－4y＋4k＝0.
当k＝0时，显然不符合题意；
当k≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k·4k<0，
化简得k2－1>0，解得k>1或k<－1，因此k的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
【答案】 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
三、解答题
9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．
【解】 设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0)，
设A(x0，y0)，由题知M.
∵|AF|＝3，∴y0＋＝3，
∵|AM|＝，
∴x＋＝17，
∴x＝8，代入方程x＝2py0，
得8＝2p，解得p＝2或p＝4.
∴所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
10．已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．
(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；
(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．
【解】 (1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝.
又F，所以直线l的方程为y＝.
联立
消去y得x2－5x＋＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，
而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，
所以|AB|＝5＋3＝8.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知
|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3.
又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离为3＋＝.
[能力提升]
1．(2018·菏泽期末)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若∈(0，1)，则＝( )
A. B.
C. D.
【解析】 因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y＝x＋，与抛物线方程联立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝，故选C.
【答案】 C
2．已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2，2)，过抛物线C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若·＝0，则k＝( )
A. B.
C. D．2
【解析】 由题意可知抛物线的焦点坐标为(2，0)，则过焦点且斜率为k的直线的方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16，因为·＝0，所以(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝0(*)，将上面各个量代入(*)，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2，故选D.
【答案】 D
3．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．
【解析】 由于x2＝2py(p>0)的准线为y＝－，由
解得准线与双曲线x2－y2＝3的交点为
A，B，所以AB＝2.
由△ABF为等边三角形，得AB＝p，解得p＝6.
【答案】 6
4．已知抛物线x＝－y2与过点(－1，0)且斜率为k的直线相交于A，B两点，O为坐标原点，当△OAB的面积等于时，求k的值.
【解】 过点(－1，0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x＋1)，
由方程组
消去x，整理得ky2＋y－k＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数之间的关系得y1＋y2＝－，y1y2＝－1.
设直线与x轴交于点N，显然N点的坐标为(－1，0)．
∵S△OAB＝S△OAN＋S△OBN＝|ON||y1|＋|ON||y2|＝|ON||y1－y2|，
∴S△OAB＝＝＝，
解得k＝－或.
2.4.2 抛物线的简单几何性质
课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．
1．抛物线的简单几何性质
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)
(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标x的取值范围是________，抛物线在y轴的______侧，当x的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________．
(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为____________．
(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e表示，其值为______．
(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p的几何意义，顶点到准线的距离为，焦点到顶点的距离为________．
2．直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程________________________的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点．
3．抛物线的焦点弦
设抛物线y2＝2px(p>0)，AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论．
(1)以AB为直径的圆与准线________．
(2)|AB|＝________(焦点弦长与中点坐标的关系)．
(3)|AB|＝x1＋x2＋______.
(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝________，y1y2＝________.
一、选择题
1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( )
A．x2＝－y或y2＝x
B．y2＝－x或x2＝y
C．y2＝－x
D．x2＝y
2．若抛物线y2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是( )
A．成等差数列
B．既成等差数列又成等比数列
C．成等比数列
D．既不成等比数列也不成等差数列
3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B．3 C. D.
4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
5．设直线l1：y＝2x，直线l2经过点P(2,1)，抛物线C：y2＝4x，已知l1、l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．过抛物线y2＝ax (a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则＋等于( )
A．2a B. C．4a D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
8．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．
9．过抛物线x2＝2py (p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴的左侧)，则＝________.
三、解答题
10．设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
11．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直线方程．
能力提升
12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于( )
A．4 B．8 C．8 D．16
13.
已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．
2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．
2.4.2 抛物线的简单几何性质
知识梳理
1．(1)x≥0 右 增大 (2)x轴 抛物线的轴 (3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p
2．k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 两 一 没有 平行或重合 一
3．(1)相切 (2)2(x0＋) (3)p (4) －p2
作业设计
1．B [由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程．]
2．A [设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，
则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3，
因为2y＝y＋y，所以x1＋x3＝2x2，
即|P1F|－＋|P3F|－＝2，
所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.]
3．A [
如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x＝－的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F的距离，则距离之和的最小值为 ＝.]
4．B [y2＝ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，令x ＝0得y＝－.
∴××＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.]
5．C [∵点P(2,1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C相交于A，B两点，∴过点P的直线l2在过点A或点B或与x轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l2共有3条．]
6．D [可采用特殊值法，设PQ过焦点F且垂直于x轴，则|PF|＝p＝xP＋＝＋＝，
|QF|＝q＝，∴＋＝＋＝.]
7．y2＝4x
解析 设抛物线方程为y2＝ax.将y＝x代入y2＝ax，
得x＝0或x＝a，∴＝2.∴a＝4.
∴抛物线方程为y2＝4x.
8．2
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2.
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
∵x1≠x2，∴＝＝1.
∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
将其代入y2＝4x，得A(0,0)、B(4,4)．
∴|AB|＝4.又F(1,0)到y＝x的距离为，
∴S△ABF＝××4＝2.
9.
解析 抛物线x2＝2py (p>0)的焦点为F，则直线AB的方程为y＝x＋，
由消去x，得12y2－20py＋3p2＝0，
解得y1＝，y2＝.
由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，
可知＝＝＝.
10．解 由y＝mx2 (m≠0)可化为x2＝y，
其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2或－＝4，
解得m＝或m＝－.
则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
11．解 方法一 设以Q为中点的弦AB端点坐标为
A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则有y＝8x1，①
y＝8x2，②
∵Q(4,1)是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2.③
①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．④
将③代入④得y1－y2＝4(x1－x2)，
即4＝，∴k＝4.
∴所求弦AB所在的直线方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.
方法二 设弦AB所在直线方程为y＝k(x－4)＋1.
由消去x，
得ky2－8y－32k＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，
得y1＋y2＝，又y1＋y2＝2，∴k＝4.
∴所求弦AB所在的直线方程为4x－y－15＝0.
12.
B [如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2,4)．
设P(x0,4)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，
∴|PF|＝x0＋2＝8，选B.]
13．解 由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
分别过A、B作准线的垂线，垂足为A′、B′.
(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，
从而x1＝4－1＝3.
代入y2＝4x，解得y1＝±2.
∴点A的坐标为
(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
因为直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，
|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，
所以，|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
课件25张PPT。2.4.2 抛物线的简单几何性质
第1课时 抛物线的简单几何性质 类比椭圆、双曲线的几何性质，你认为可以讨论抛物线的哪些几何性质？【思考】1.掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；（重点）
2．能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论，在此基础上列表、描点、画抛物线图形；（重点、难点）
3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 . 抛物线有许多重要性质.我们根据抛物线的标准方程研究它的一些简单几何性质.探究点1 抛物线的简单几何性质1.范围 因为p＞0，由方程（1）可知，对于抛物线（1）上的点M (x，y)，x≥0，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向相同;
当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．2.对称性 以－y代y，方程（1）不变，所以这条抛物线关于x轴对称. 我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．3.顶点 抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的顶点.在方程（1）中，当y=0时，x=0，因此抛物线（1）的顶点就是坐标原点．4.离心率 抛物线上的点M与焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率，用e表示．由抛物线的定义可知，e=1．FABy2=2px2p 过焦点而垂直于对称轴的
弦AB，称为抛物线的通径. 利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.|AB|=2p2p越大，抛物线张口越大.5.通径 连接抛物线上任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.焦半径公式：F6.焦半径y2 = 2px
（p＞0）y2 = -2px
（p＞0）x2 = 2py
（p＞0）x2 = -2py
（p＞0）关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称（0,0）e=1抛物线的几何性质(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以
无限延伸，但没有渐近线；
(2)抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
(3)抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；
(4)抛物线的离心率e是确定的，为１;
(5)抛物线的通径为2p, 2p越大，抛物线的张口越大.【提升总结】解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原
点，并且经过点M（２， ），所以，可设它的标
准方程为因为点M在抛物线上，所以因此,所求抛物线的标准方程是 【例１】已知抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标
原点，并且经过点M（２， ），求它的标准方程.即p =2.分析：由抛物线的方程可以得到它的焦点坐标，又直线l的斜率为1，所以可以求出直线l的方程；与抛物线的方程联立，可以求出A,B两点的坐标；利用两点间的距离公式可以求出∣AB｜.这种方法虽然思路简单，但是需要复杂的代数运算.下面，我们介绍另外一种方法——数形结合的方法.还可以如何求x1+x2?分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷． 如上题，求证：以AB为直径的圆和抛物线的准线相切． 所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，因而圆E和准线l相切．证明：如图，设AB的中点为E，过A，E，B分别向准线l引垂线AD，EH，BC，垂足分别为D，H，C，则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜∴｜AB｜
＝｜AF｜＋｜BF｜
＝｜AD｜＋｜BC｜
=2｜EH｜ 2.已知点A（-2，3）与抛物线
的焦点的距离是5，则p = . 43.已知直线x-y=2与抛物线 交于A，B两点，那么线段AB的中点坐标是 .4.探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为60 cm，灯深40 cm，建系如图所示，求抛物线的标准方程和焦点位置.(40,30)所在平面内建立直角坐标系,使反射镜的
顶点与原点重合, x轴垂直于灯口直径.解：在探照灯的轴截面设抛物线的标准方程为:y2=2px（p＞0），由条件可得A (40,30),代入方程得:302=2p·40解得: p=故所求抛物线的标准方程为: y2= x,焦点为( ,0)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也
可以无限延伸，但没有渐近线；抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;抛物线的离心率是确定的，等于１.抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线；1. 范围：2. 对称性：3. 顶点：4. 离心率： 目标的坚定是性格中最必要的力量源泉之一，也是成功的利器之一。没有它，天才会在矛盾无定的迷径中徒劳无功.课题： 抛物线的几何性质
课时：10
课型：新授课
知识与技能目标
使学生理解并掌握抛物线的几何性质，并能从抛物线的标准方程出发，推导这些性质．
从抛物线的标准方程出发，推导抛物线的性质，从而培养学生分析、归纳、推理等能力
过程与方法目标：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力
复习与引入过程
1．抛物线的定义是什么？
请一同学回答．应为：“平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．”
2．抛物线的标准方程是什么？
再请一同学回答．应为：抛物线的标准方程是y2=2px(p＞0)，y2=-2px(p＞0)，x2=2py(p＞0)和x2=-2py(p＞0)．
下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质，从抛物线的标准方程y2=2px(p＞0)出发来研究它的几何性质．《板书》抛物线的几何性质
（2）新课讲授过程
（i）抛物线的几何性质
通过和椭圆、双曲线的几何性质相比，抛物线的几何性质有什么特点？
学生和教师共同小结：
(1)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但是没有渐近线．
(2)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线或与顶点和焦点的连线重合，抛物线没有中心．
(3)抛物线只有一个顶点，它是焦点和焦点在准线上射影的中点．
(4)抛物线的离心率要联系椭圆、双曲线的第二定义，并和抛物线的定义作比较．其结果是应规定抛物线的离心率为1．注意：这样不仅引入了抛物线离心率的概念，而且把圆锥曲线作为点的轨迹统一起来了
（ii）例题讲解与引申
．例题3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．
解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方
因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离
得p=4．
因此，所求抛物线方程为y2=-8x．
又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．
解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由学生演板．由题意
在抛物线上且|MF|=5，故
例4 过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F的一条直线与这抛物线相交于A、B两点，且A(x1，y1)、B(x2，y2)(图2-34)．
证明：
(1)当AB与x轴不垂直时，设AB方程为：
此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标，则有y1y2=-p2．
或y1=-p，y2=p，故y1y2=-p2．
综合上述有y1y2=-p2
又∵A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线上的两点，
小结：在抛物线几何性质中，有很多重要的结论：如果过焦点F做直线，就出现了焦点弦的问题，那么焦点弦会有哪些性质呢？不妨从本题中探究一下。
练习：第72页：1、2、3
作业：第72页：1、2、5、6、7
预习：抛物线的重要性质
课件37张PPT。2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的简单几何性质
第一课时 抛物线的简单几何性质自主学习 新知突破1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质．
2．通过对抛物线的简单几何性质的学习，进一步体会数形结合思想在解题中的应用，并能应用几何性质解决有关问题．1．抛物线有几个焦点？
[提示] 抛物线有1个焦点．
2．抛物线有点像双曲线的一支，抛物线有渐近线吗？
[提示] 抛物线没有渐近线．
3．抛物线的顶点与椭圆、双曲线有什么不同？
[提示] 抛物线的顶点只有一个，
椭圆的顶点有4个．
双曲线的顶点有2个．抛物线的几何性质x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R x轴 y轴 原点(0,0) 向右 向左 向上 向下 抛物线的性质特点
(1)抛物线只有一个焦点，一个顶点，一条对称轴，一条准线，无对称中心，因此，抛物线又称为无心圆锥曲线．
(2)抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线．
(3)抛物线的离心率定义为抛物线上的点到焦点的距离和该点到准线的距离的比，所以抛物线的离心率是确定的，为1.答案： D2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程是( )
A．x2＝16y B．x2＝8y
C．x2＝±8y D．x2＝±16y
解析： 顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线方程有两个：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－16y.
答案： D3．顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线方程是________．
答案： y2＝±6x4．已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO的垂心恰是此抛物线的焦点F，求直线AB的方程．合作探究 课堂互动求抛物线的标准方程 如图，设所求抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0)， 用待定系数法求抛物线的标准方程，其主要解答步骤归结如下： 1．根据下列条件求抛物线的标准方程：
(1)焦点是F(－8,0)，准线是x＝8；
(2)顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线x－2y－4＝0上．
解析： (1)焦点是F(－8,0)，准线是x＝8，表明抛物线顶点在原点，焦点在x轴负半轴，故抛物线的标准方程可设为y2＝－2px(p>0)，所以p＝16.因此所求抛物线的标准方程为y2＝－32x. 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程．抛物线几何性质的应用 抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含条件，例2的关键是根据对称性求出线段|AB|的长，进而表示面积求出m. 2．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线的横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足为(2,1)．
适合抛物线y2＝10x的条件是________(要求填写合适条件的序号)．答案： ②⑤ 已知P为抛物线y2＝4x上的动点，过P分别作y轴与直线x－y＋4＝0的垂线，垂足分别为A，B求|PA|＋|PB|的最小值．
思路点拨： 抛物线的性质在求最值中的应用 与抛物线最值有关的问题的解题技巧
与抛物线有关的最值问题，除了利用抛物线的定义，使用几何法求解外，也可根据题目条件转化为求函数的最值问题，但应注意抛物线的范围，同时注意设点技巧． 3．在抛物线y2＝2x上求一点P，使P到焦点F的距离与到定点A(2，3)的距离之和最小．【错解】 B【正解】 C谢谢观看！
