§2.4.2 抛物线的简单几何性质（2）
学习目标
1．掌握抛物线的几何性质；
2．抛物线与直线的关系．
学习过程
一、课前准备
（预习教材理P70~ P72，文P61~ P63找出疑惑之处）
复习1：以原点为顶点，坐标轴为对称轴，且过点的抛物线的方程为（ ）．
A． B. 或
C. D. 或
复习2：已知抛物线的焦点恰好是椭圆的左焦点，则= ．
二、新课导学
※ 学习探究
探究1：抛物线上一点的横坐标为6，这点到焦点距离为10，则：
这点到准线的距离为 ；
焦点到准线的距离为 ；
抛物线方程 ；
这点的坐标是 ；
此抛物线过焦点的最短的弦长为 ．
※ 典型例题
例1过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，通过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴．
（理）例2已知抛物线的方程，直线过定点，斜率为 为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？
小结：
直线与抛物线的位置关系：相离、相交、相切 ；
②直线与抛物线只有一个公共点时，
它们可能相切，也可能相交．
※ 动手试试
练1. 直线与抛物线相交于，两点，求证：．
2．垂直于轴的直线交抛物线于，两点，且，求直线的方程．
三、总结提升
※ 学习小结
1．抛物线的几何性质 ；
2．抛物线与直线的关系．
※ 知识拓展
过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，则为定值，其值为．
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：
1．过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，则的最小值为（ ）．
A. B. C. D. 无法确定
2．抛物线的焦点到准线的距离是（ ）．
A. B. C. D.
3．过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）．
A．条 B．条 C．条 D．条
4．若直线与抛物线交于、两点，则线段的中点坐标是______．
5．抛物线上一点到焦点的距离是，则抛物线的标准方程是 ．
课后作业
1．已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线与直线交于，两点，=，求抛物线的方程．
2． 从抛物线上各点向轴作垂线段，求垂线段中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线．
2.4.2 抛物线的简单几何性质
课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．
1．抛物线的简单几何性质
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)
(1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标x的取值范围是________，抛物线在y轴的______侧，当x的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸．
(2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________．
(3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的________．抛物线的顶点为____________．
(4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的__________，用e表示，其值为______．
(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p的几何意义，顶点到准线的距离为，焦点到顶点的距离为________．
2．直线与抛物线的位置关系
直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程________________________的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有______个公共点．
3．抛物线的焦点弦
设抛物线y2＝2px(p>0)，AB为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则有以下结论．
(1)以AB为直径的圆与准线________．
(2)|AB|＝________(焦点弦长与中点坐标的关系)．
(3)|AB|＝x1＋x2＋______.
(4)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1x2＝________，y1y2＝________.
一、选择题
1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( )
A．x2＝－y或y2＝x
B．y2＝－x或x2＝y
C．y2＝－x
D．x2＝y
2．若抛物线y2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F的距离的关系是( )
A．成等差数列
B．既成等差数列又成等比数列
C．成等比数列
D．既不成等比数列也不成等差数列
3．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B．3 C. D.
4．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
5．设直线l1：y＝2x，直线l2经过点P(2,1)，抛物线C：y2＝4x，已知l1、l2与C共有三个交点，则满足条件的直线l2的条数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
6．过抛物线y2＝ax (a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若PF与FQ的长分别为p、q，则＋等于( )
A．2a B. C．4a D.
题 号
1
2
3
4
5
6
答 案
二、填空题
7．已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点在x轴上，直线y＝x与抛物线C交于A，B两点，若P(2，2)为AB的中点，则抛物线C的方程为________．
8．已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，A、B是抛物线C上的两个点，线段AB的中点为M(2,2)，则△ABF的面积等于________．
9．过抛物线x2＝2py (p>0)的焦点F作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A、B两点(点A在y轴的左侧)，则＝________.
三、解答题
10．设抛物线y＝mx2 (m≠0)的准线与直线y＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．
11．过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被Q所平分，求AB所在的直线方程．
能力提升
12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|等于( )
A．4 B．8 C．8 D．16
13.
已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；
(2)求线段AB的长的最小值．
1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．
2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．
2.4.2 抛物线的简单几何性质
知识梳理
1．(1)x≥0 右 增大 (2)x轴 抛物线的轴 (3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p
2．k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 两 一 没有 平行或重合 一
3．(1)相切 (2)2(x0＋) (3)p (4) －p2
作业设计
1．B [由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程．]
2．A [设三点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，
则y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3，
因为2y＝y＋y，所以x1＋x3＝2x2，
即|P1F|－＋|P3F|－＝2，
所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.]
3．A [
如图所示，由抛物线的定义知，点P到准线x＝－的距离d等于点P到焦点的距离|PF|.因此点P到点(0,2)的距离与点P到准线的距离之和可转化为点P到点(0,2)的距离与点P到点F的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F的距离，则距离之和的最小值为 ＝.]
4．B [y2＝ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，令x ＝0得y＝－.
∴××＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.]
5．C [∵点P(2,1)在抛物线内部，且直线l1与抛物线C相交于A，B两点，∴过点P的直线l2在过点A或点B或与x轴平行时符合题意．∴满足条件的直线l2共有3条．]
6．D [可采用特殊值法，设PQ过焦点F且垂直于x轴，则|PF|＝p＝xP＋＝＋＝，
|QF|＝q＝，∴＋＝＋＝.]
7．y2＝4x
解析 设抛物线方程为y2＝ax.将y＝x代入y2＝ax，
得x＝0或x＝a，∴＝2.∴a＝4.
∴抛物线方程为y2＝4x.
8．2
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝4x1，y＝4x2.
∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．
∵x1≠x2，∴＝＝1.
∴直线AB的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
将其代入y2＝4x，得A(0,0)、B(4,4)．
∴|AB|＝4.又F(1,0)到y＝x的距离为，
∴S△ABF＝××4＝2.
9.
解析 抛物线x2＝2py (p>0)的焦点为F，则直线AB的方程为y＝x＋，
由消去x，得12y2－20py＋3p2＝0，
解得y1＝，y2＝.
由题意可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，
可知＝＝＝.
10．解 由y＝mx2 (m≠0)可化为x2＝y，
其准线方程为y＝－.
由题意知－＝－2或－＝4，
解得m＝或m＝－.
则所求抛物线的标准方程为x2＝8y或x2＝－16y.
11．解 方法一 设以Q为中点的弦AB端点坐标为
A(x1，y1)、B(x2，y2)，
则有y＝8x1，①
y＝8x2，②
∵Q(4,1)是AB的中点，
∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2.③
①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．④
将③代入④得y1－y2＝4(x1－x2)，
即4＝，∴k＝4.
∴所求弦AB所在的直线方程为y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.
方法二 设弦AB所在直线方程为y＝k(x－4)＋1.
由消去x，
得ky2－8y－32k＋8＝0，
此方程的两根就是线段端点A、B两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，
得y1＋y2＝，又y1＋y2＝2，∴k＝4.
∴所求弦AB所在的直线方程为4x－y－15＝0.
12.
B [如图所示，直线AF的方程为y＝－(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2,4)．
设P(x0,4)，代入抛物线y2＝8x，得8x0＝48，∴x0＝6，
∴|PF|＝x0＋2＝8，选B.]
13．解 由y2＝4x，得p＝2，其准线方程为x＝－1，焦点F(1,0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
分别过A、B作准线的垂线，垂足为A′、B′.
(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋，
从而x1＝4－1＝3.
代入y2＝4x，解得y1＝±2.
∴点A的坐标为
(3,2)或(3，－2)．
(2)当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝k(x－1)．
与抛物线方程联立，
消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
因为直线与抛物线相交于A、B两点，
则k≠0，并设其两根为x1，x2，则x1＋x2＝2＋.
由抛物线的定义可知，
|AB|＝x1＋x2＋p＝4＋>4.
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，
所以，|AB|≥4，即线段AB的长的最小值为4.
课件26张PPT。第2课时 抛物线方程及性质的应用 y2 = 2px
（p＞0）y2 = -2px
（p＞0）x2 = 2py
（p＞0）x2 = -2py
（p＞0）关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称（0,0）e=11.了解抛物线的几何性质，并会应用于实际问
题之中；（重点）
2.会利用抛物线的定义、标准方程、几何性质
及图形四者之间的内在联系，分析和解决实
际问题.（重点、难点）探究点1 抛物线几何性质的基本应用 【例1】过抛物线焦点 F的直线交抛物线于A,B两点，通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴. 分析： 我们用坐标法证明，即通过建立抛物线及直线的方程，借助方程研究直线DB与抛物线对称轴之间的位置关系. 建立如图所示的直角坐标系，只要证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可. 证明：如图，以抛物线的对称轴为x轴，它的顶点为原点，建立直角坐标系.设抛物线的方程为抛物线的准线方程是联立(2)(3)，可得点D的纵坐标为所以，直线DB平行于抛物线的对称轴.由(4)(6)可知，DB∥x轴.联立(1)(5)，可得点B的纵坐标为 【例2】正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．分析：如图，设正三角形OAB的顶点A，B在
抛物线上，且它们的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，
则 ＝2px1， ＝2px2， 本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一性质，但往往会直观上承认而忽略了它的证明．【提升总结】故这个正三角形的边长为3.相交（一个交点，两个交点）.探究点2 直线与抛物线的位置关系问题1：直线与抛物线有怎样的位置关系？1.相离；2.相切；与双曲线的情况一致把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的
对称轴平行（重合）相交（一个交点） 计 算 判 别 式问题2：如何判断直线与抛物线的位置关系？y2=4x 分析：用解析法解决这个问题，只要讨论直线l的方程与抛物线的方程组成的方程组的解的情况，由方程组解的情况判断直线l与抛物线的位置关系.①①①①①①【变式练习】1．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过
点(－1,2)，则它的方程是 ( )
A．y＝2x2或y2＝－4x
B．y2＝－4x或x2＝2y
C．x2＝－ y
D．y2＝－4x A2．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的
直线，则被抛物线截得的弦长为( )
A．8 B．16
C．32 D．61BC 4.抛物线y2＝4x上有两个定点A，B分别在对称轴的上下两侧，F为抛物线的焦点，并且|FA|＝2，|FB|＝5，在抛物线AOB这段曲线上求一点P，使△PAB的面积最大，并求这个最大面积．解析：由已知得F(1,0)，不妨设点A在x轴上方且坐标为(x1，y1)，
由|FA|＝2，得x1＋1＝2，x1＝1， 所以A(1,2)，同理B(4，－4)，所以直线AB的方程为2x＋y－4＝0.设在抛物线AOB 这段曲线上任一点P(x0，y0)，且0≤x0≤4，－4≤y0≤2.则点P 到直线AB的距离所以△PAB的面积最大值为 直线与抛物线的位置关系
⑴直线与抛物线有三种位置关系:相交、相切、相离.
相交:直线与抛物线交于两个不同点,或直线与抛物
线的对称轴平行(重合);
相切:直线与抛物线有且只有一个公共点,且直线与抛物线的对称轴不平行(重合);
相离:直线与抛物线无公共点.⑵直线与抛物线的位置关系的判断.把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的
对称轴平行（重合）相交（一个交点） 计 算 判 别 式 坚持把简单的事情做好就是不简单，坚持把平凡的事情做好就是不平凡。所谓成功，就是在平凡中做出不平凡的坚持.课题：抛物线标准方程与几何性质(2)
课时：14
课型：复习课
典型题训练：
31、已知A,B,C为抛物线上不同的三点, F为抛物线的焦点,且,求________
32、 已知抛物线的顶点在原点,焦点在轴的正半轴上,为焦点,为抛物线上的三点,且满足,,则抛物线的方程为 .
33、已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且， 则有（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
34、已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 .
35、设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点．O为坐标原点，若＋＋＝．△OFA，△OFB，△OFC的面积分别为S1，S2，S3,则＋＋的值为（ ）
A．9 B．6 C． 4 D． 3
36、过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),如果x1+x2=6,那么|AB|=( )
A.8 B.10 C.6 D.4
37、设抛物线的焦点为,经过点的直线与抛物线交于、两点,又知点恰好为的中点,则的值是 ( )
A.3 B.4 C.6 D.
38、 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( )
（A） （B） （C） （D）
39、 设抛物线的焦点为,准线为,为抛物线上一点,,为垂足,如果直线斜率为,那么|PF|=( )
(A) (B) 8 (C) (D) 16
40、直线过抛物线的焦点，交抛物线于两点，且点在轴上方，若直线的倾斜角≥，则|FA|的取值范围是 （ ）
A. B.
C. D.
41、已知定点N(1, 0)，动点A、B分别在图中抛物线y2=4x及椭圆+=1的
实线部分上运动，且AB∥x轴，则△NAB的周长L的取值范围是
42、已知椭圆和抛物线,斜率为0的直线AB在第一象限内分别交椭圆与抛物线于A,B两点,点M(1,0),则的最大值为 （ ）
A、 B、 C、 D、43、过抛物线（）的焦点F的直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则等于（ ）
A．2 B． C．4 D．
焦点弦
44、过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于A、B两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线 （ ）
A．有且只有一条 B．有且只有两条 C．有无穷多条 D．不存在
45、过抛物线的焦点作一直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别为、，则等于（ ）
A. B. C. D.
46、 设抛物线与过其焦点的直线交于两点，则的值（ ）
A B C D
47、 如图，已知是坐标原点，过点且斜率为的直线交
抛物线于、两点.
求和的值；（2）求证：.
（2）补充：已知抛物线，若过点A（2p,0）作直线直线交
抛物线于、两点.则KOMKON=-1; 若直线交抛物线于、两点.且KOMKON=-1，则MN过定点（2p,0）
参考答案
1、 C 2、 C 3、B 4、B 5、D 6、 A; 7、 8、 9、 10、或11、y2?8x 12、 C 13、 D 14、 D
15、; 16、D 17、解：设点，则，∴．代入得：．此即为点P的轨迹方程．18、B19、
20、A 21、A 22、C 23、B 24、2
25、解析:由抛物线的定义可知 ，故2 26、B 27、 28、B 29、2-或2+． 30、B 31、3 F(p/2,0),准线x=-p/2,则AF,BF,CF分别等于A,B,C到准线的距离。 由条件知F是三角形ABC的重心 设A(t1,s1),B(t2,s2),C(t3,s3) 向量FA+向量FB+向量FC=(t1+t2+t3-3p/2,s1+s2+s3)=向量0 t1+t2+t3-3=0,t1+t2+t3=3 根据抛物线定义，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离，准线x=-p/2 FA的模=p/2+t1,向量FB的模=p/2+t2,向量FC的模=p/2+t3 FA的模+向量FB的模+向量FC的模=3+t1+t2+t3=3p
32、 33、C
34、32,设过（4，0）的直线为 y=k(x-4),联立y^2=4x，得(k^2)x^2-(8k^2+4)x+4k^2=0,于是1^2+y2^2=4x1+4x2=4(x1+x2)=4(8k^2+4)/k^2=4(8+4/k^2)=32+8/k^2.显然，当K→∞,8/k^2→0,即当AB所在的直线⊥OX轴时Y1^2+Y2^2最小值是32。
35、D可知焦点F坐标为（1,0）,以OF为底，即底为1 所以△OFA，△OFB，△OFC的高分别分别Ya,Yb,Yc,即S12+S22+S32=(Y2a+Y2b+Y2c)/4,因为F为△ABC的重心，根据在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均即(Xa＋Xb＋Xc)/3=1,(Ya+Yb+Yc)/3=0 可知Xa＋Xb＋Xc＝3 因为y2＝4x 又有Y2a+Y2b+Y2c＝3＊4＝12,所以S12+S22+S32＝12/4=3
36、A; 37、 C 过、两点分别作抛物线准线的垂线,设垂足分别为、,由抛物线定义知=；38、 B； 39、 解析:选B.利用抛物线定义,易证为正三角形,则;40、C 41、（） 42、A ；43、C ；44、B 45、B； 46、B；
47、解：（1）由已知，直线的方程为，其中 由得 ， ∴，
又，，∴， 而，∴
（2）由（1）知，=，∴
课件52张PPT。2.4 抛物线
2.4.2 抛物线的简单几何性质
第二课时 直线与抛物线的位置关系自主学习 新知突破1．明确直线与抛物线的位置关系，掌握直线与抛物线的位置关系的判定方法．
2．会用方程、数形结合的思想解决直线与抛物线的位置关系、弦长及弦中点等问题．直线与抛物线的位置关系及判定有1或2个 有1个 无 有关弦长问题
2．焦点弦长
若AB为抛物线y2＝2px(p>0)的一条过焦点F的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则弦长|AB|＝|AF|＋|BF|＝_____________.x1＋x2＋p对抛物线的焦半径与焦点弦的认识
抛物线上一点与焦点F连线得到的线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．求抛物线的焦半径和焦点弦长一般不用弦长公式，而是借助于抛物线定义的功能，即把点点距转化为点线距解决．设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则可根据抛物线的定义得出抛物线四种标准形式下的焦半径及焦点弦长，公式如下：答案： B2．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2答案： B 合作探究 课堂互动 若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．
思路点拨： 将直线方程与抛物线方程联立，消去y后化为关于x的方程，其中二次项系数含参，分类讨论方程有一解时a的取值．直线与抛物线的位置关系 判断直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线的方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项系数是否为0.若该方程为二次方程，利用判别式判断方程解的个数． 1．直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C有：
(1)一个公共点；
(2)两个公共点；
(3)没有公共点．当k≠0时，方程(*)是一个一元二次方程：
(1)当Δ>0，即k<1，且k≠0时，l与C有两个公共点，此时称直线l与C相交．
(2)当Δ＝0，即k＝1时，l与C有一个公共点，此时称直线l与C相切．
(3)当Δ<0，即k>1时，l与C没有公共点，此时称直线l与C相离．
综上所述，当k＝1或k＝0时，直线l与C有一个公共点；当k<1，且k≠0时，直线l与C有两个公共点；当k>1时，直线l与C没有公共点． 已知过抛物线y2＝4x的焦点F的弦长为36，求弦所在的直线方程．
思路点拨： 弦所在直线经过焦点(1,0)，因为弦长为36，所以可判断直线的斜率存在且不为0，只需求出直线的斜率即可．焦点弦问题 2．斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A，B，求线段AB的长． 已知抛物线y2＝2x，过点Q(2,1)作一条直线交抛物线于A，B两点，试求弦AB的中点的轨迹方程．
思路点拨： 解答本题利用点差法或根与系数关系的方法，寻找等量关系．弦中点问题3．若点(3,1)是抛物线y2＝2px(p>0)的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p＝________. A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，并满足OA⊥OB，求证：
(1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积，分别都是一个定值；
(2)直线AB经过一个定点．抛物线中的定点、定值等综合问题 在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化． 4．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明：直线AC经过原点O.证法二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E，过点A作AD⊥l，D是垂足，则AD∥FE∥BC.◎求过定点P(0,1)，且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程．【错因】 解决这类直线与抛物线位置关系的问题时，最容易丢掉斜率不存在和斜率为零的情况，画出草图是解决这类问题的有效方法．谢谢观看！
