高中数学选修2-2课件：4.1定积分概念 (共30张PPT)

(共30张PPT)
第四章 定积分

§4.1.1定积分的背景—
面积和路程问题
§4.1.2定积分的概念
高二数学备课组
我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面
“直边图形”的面积；物理中，我们知道匀速直线运动
的时间、速度与路程的关系等等。在数学和物理中，
我们还经常会遇到计算平面曲线所围成的平面 “曲边
图形 ” 的面积、变速直线运到物体位移、变力做功的
问题。如何解决这些问题呢？现有知识无法解决，为
此我们需要另寻方法。
接下来我们要学习的定积分，就可以帮助我们解
决这些问题。
导
图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，这样的平面图形称为曲边梯形，如何求这个面积呢？
a
b
曲边梯形定义：
我们把由直线 x = a，x = b (a ≠ b)， y = 0和曲
线 y = f (x) 所围成的图形叫作曲边梯形。
导
一、曲边梯形的定义
（1）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面
图形；
（2）曲边梯形与“直边图形”主要区别在于前者有
一边是曲线段而“直边图形”的所有边都是直线段。
对曲边梯形概念的理解：
我们曾经用正多边形逼近圆的方法 (即“以直带曲”
的思想) 求出了圆的面积，能否也能用直边形(如矩形)
来逼近曲边梯形的方法求阴影部分面积呢？
将区间[0，1]平均分成许多小区间，把曲边梯形拆
分成一些小曲边梯形。对每个小曲边梯形“以直代曲”，
即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个
小曲边梯形的面积，对这些近似值求和，就得到曲边
梯形面积的近似值。
可以想象，区间拆分的越细，近似程度就越好，亦即：用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形
的面积。可通过以下几个步骤具体实施：
（1）分割；
（2）近似代替
（3）求和(求出过剩估计值和不足估计值)；
（4）逼近。
二、定积分的背景
1、曲边梯形面积
导
将区间[0，1]平均分成 5 份，如图所示。
导
不足估计值为

区间分的越细，误差越小。当所
分隔的区间长度趋于 0 ，过剩估计值
和不足估计值都趋于曲边梯形面积。

2、路程问题
导
滑行时间等分的越细，误差越小。当所分隔的小时间段长度趋于0，则过剩估计值和不足估计值都趋于汽车滑行路程。
概括
前面，我们通过“以直代曲”的逼近方法解决了求
曲边梯形的面积的问题，它们的步骤：
分割区间
过剩估计值
不足估计值
逼近所求面积
所分区间长度→ 0
估计值→所求值
以直代曲
导

,作和式：
三、定积分的概念
叫作积分区间.
基本概念
概念说明
（2）.用定义求积分的一般方法是：
分割 近似代替 求和 取极限
（3）.定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，
即有
曲边梯形面积：
变速运动路程：
变力做功：
定积分的几何意义
O




上方取正，下方取负

例：说明下列定积分所表示的几何意义，并根据
其意义求出定积分的值.
(1)
(2)
(3)
;
;
.
;
(4)
议
o
1
解（1）：

中所示长方形的面积，
表示的是图
由于这个长方形的面
积为2.
所以
2
议
o
1
解（2）：

中所示梯形的面积，
表示的是图
由于这个梯形的面
所以
1
2
2
议
o
解（3）：

半径为1的半圆的面
表示的是图中所示
由于这个半圆
所以

o
1
-1
1
积，
议
o
解（4）：

是图中所示三角形
表示的
所以
的面积之差，
上 方 取 正 ，下 方 取 负
由于
议
定积分的基本性质
（1）
（2）
（3）
（4）
其中（2）（3）叫作定积分的线性性质
（4）叫作定积分对积分区间的可加性
展
补充规定：
定积分的基本性质
展
练习2：用定积分表示抛物线 y=x2-2x+3 与直线

y=x+3所围成的图形面积 .
练习3：用图形表示下列定积分
检
小结
１．定积分的实质：特殊和式的逼近值．
２．定积分的思想和方法：
求近似以直（不变）代曲（变）
取逼近
3.定积分的几何意义及简单应用
（1）定义法
（2）公式法