高中数学选修2-2课件：1.7定积分的简单应用体积 (共17张PPT)

(共17张PPT)
利用定积分求简单几何体的体积
高二数学备课组
　
1．体会利用定积分求体积的思想方法．
2．会利用定积分求简单几何体的体积．
3．体会极限思想的应用．
【核心扫描】　
1．利用定积分求简单几何体的体积．(重点)
2．常与旋转体的概念等综合考查．(重点、难点)
【课标要求】
导
提示　本节定积分在几何中主要是求平面图形的面积，类似求面积，也可以利用定积分求空间几何体的体积，一般情况下，其旋转轴为x轴，根据旋转体的定义，旋转体的形成有两个要素：一是被旋转的平面图形，二是旋转轴．柱、锥、球等旋转体中被旋转的平面图形都是直线或圆弧，而在利用定积分求旋转体的体积问题中则是一般的曲线．
如何类比平面图形的面积的求法求几何体的体积？
思
设由曲线y＝f(x)，直线x＝a，x＝b与x轴围成的平面图形(如图甲绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V.
简单几何体的体积计算
展
在区间[a，b]内插入n－1个分点，使a＝x0＜x1＜x2＜…＜xn－1＜xn＝1，把曲线y＝f(x)，a≤x≤b分割成n个垂直于x轴的“小长条”，如图甲所示．设第i个“小长条”的宽是Δxi＝xi－xi－1，i＝1,2，…，n.这个“小长条”绕x轴旋转一周就得到一个厚度是Δxi的小圆片，如图乙所示．当Δxi很小时，第i个小圆片近似于底面半径为yi＝f(xi)的小圆柱，因此，第i个小圆台的体积Vi近似为Vi＝πf2(xi)Δxi.
该几何体的体积V等于所有小圆柱的体积和
V≈π[f2(x1)Δx1＋f2(x2)Δx2＋…＋f2(xi)Δxi＋…＋f2(xn)Δxn]．
这个问题是积分问题，则有
得到一个几何体，求它的体积．
[思路探索] 由旋转体体积的求法可知，先建立平面直角坐标系，写出正方形旋转轴对边的方程，确定积分上、下限，确定被积函数即可求出体积．
例1： 给定一个边长为a的正方形，绕其一边旋转一周，
[思路探索] 解答本题可先由解析式求出交点坐标．把组合体分开来求体积．
例2 、如图，求由抛物线y2＝8x(y＞0)与直线x＋y－6＝0
及y＝0所围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积．
解决组合体的体积问题，关键是对其构造进行剖析，分解成几个简单几何体体积的和或差，然后，分别利用定积分求其体积．
审题指导 解题的关键是把所求旋转体体积看作两个旋转体体积之差．
(1)简单旋转体体积的求解步骤
①画出旋转前的平面图形和旋转体的图形；
②确定轴截面图形的范围，即求交点坐标，确定积分上、下限；
③确定被积变量、被积函数、体积公式类型；
④求出定积分，即旋转体的体积．
简单旋转体体积求法及步骤
方法一：特殊图形的体积公式法
方法二：定积分法
评
1 .如图所示，给定直角边为a的等腰直角三角形，绕
y轴旋转一周，求形成的几何体的体积．
检
形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．
2 、求由曲线y＝2x，直线x＝1与x轴围成的平面图