A级 基础巩固
一、选择题
1．下列函数中，周期为π的函数是( )
A．y＝2sin x B．y＝cos x
C．y＝sin D．y＝cos
解析：根据公式T＝可知函数y＝cos的最小正周期是T＝＝π.
答案：D
2．函数y＝cos是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数也是偶函数
解析：由题意知y＝cos的定义域为R，
且关于原点对称．因为y＝f(x)＝cos＝sin，
所以f(－x)＝sin＝－sin＝－f(x)．
所以y＝cos是奇函数．
答案：A
3．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝ B．y＝|sin x|
C．y＝cos x D．y＝ex－e－x
解析：对于D，f(x)＝ex－e－x的定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，故y＝ex－e－x为奇函数．
而y＝的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝为非奇非偶函数．y＝|sin x|和y＝cos x为偶函数．
答案：D
4．(2019·惠州市调研)函数f(x)＝2cos2ωx－sin2ωx＋2(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝( )
A. B．2
C．1 D.
解析：因为f(x)＝2cos2ωx－sin2ωx＋2＝cos 2ωx＋，ω>0，所以最小正周期T＝＝π，所以ω＝1.
答案：C
5．已知函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，则函数y＝cos(2x＋φ)的图象( )
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线x＝对称 D．关于直线x＝对称
解析：因为函数y＝sin(2x＋φ)在x＝处取得最大值，
所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即φ＝＋2kπ，k∈Z.
所以y＝cos(2x＋φ)＝cos＝cos.
经验证可知，其图象关于点对称．
答案：A
二、填空题
6．函数f(x)＝cos 2x＋1的图象关于________对称(填“原点”或“y轴”)．
解析：函数的定义域为R，f(－x)＝cos 2(－x)＋1＝cos(－2x)＋1＝cos 2x＋1＝f(x)．
故f(x)为偶函数，所以图象关于y轴对称．
答案：y轴
7．方程sin x＝的解的个数为________．
解析：这是一个超越方程，无法直接求解，考虑数形结合思想，转化为函数y＝sin x的图象与函数y＝图象的交点个数问题，借助图形直观求解．
当x≥4π时，≥>1>sin x，此时两图象无交点；
当0＝，从而当4π>x>0，有3个交点．
由对称性知，当x<0时，有3个交点，加上x＝0处的交点，一共有7个交点．
答案：7
8．若函数f(x)＝2cos的最小正周期为T，且T∈(1，3)，则ω的最大正整数值是________．
解析：ω＝，因为T∈(1，3)，所以＜ω＜2π.
所以ω的最大正整数值为6.
答案：6
三、解答题
9．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝lg(sin x＋)；
(2)f(x)＝sin.
解：(1)因为1＋sin2x＞sin2x，所以＞|sin x|≥－sin x，
所以sin x＋＞0，
所以函数f(x)的定义域为R.
f(－x)＝lg[sin(－x)＋]＝lg(－sin x＋)＝lg＝－lg(sin x＋)＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．
(2)f(x)＝sin＝－cos ，x∈R.
又f(－x)＝－cos＝－cos ＝f(x)，
所以函数f(x)＝sin是偶函数．
10．函数f(x)满足f(x＋2)＝－.求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期．
证明：因为f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－＝f(x)，
所以f(x)是周期函数，且4是它的一个周期．
B级 能力提升
1．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，
若f(x)＝则f 的值等于( )
A．1 B.
C．0 D．－
解析：f ＝f ＝f ＝sin ＝.
答案：B
2．已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)＝0在[－2，2]上至少有________个实数根．
解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，
所以f(0)＝0，又因为函数f(x)以2为周期，
所以f(2)＝f(－2)＝f(0)＝0，且
解得f(－1)＝f(1)＝0，故方程f(x)＝0在[－2，2]上至少有5个实数根．
答案：5
3．求使下列函数取得最大值和最小值时的x的值，并求出函数的最大值和最小值．
(1)y＝cos2x＋2sin x－2；
(2)y＝－sin2x＋sin x＋；
(3)y＝cos2x－sin x，x∈.
解：(1)y＝cos2x＋2sin x－2＝－sin2x＋2sin x－1＝－(sin x－1)2.
因为－1≤sin x≤1，
所以当sin x＝－1，即x＝－＋2kπ，k∈Z时，函数取得最小值，ymin＝－(－1－1)2＝－4；
当sin x＝1，即x＝＋2kπ，k∈Z时，函数取得最大值，
ymax＝－(1－1)2＝0.
(2)y＝－sin2x＋sin x＋＝－＋2.
因为－1≤sin x≤1，所以当sin x＝，即x＝2kπ＋(k∈Z)或x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最大值，ymax＝2；当sin x＝－1，即x＝2kπ＋(k∈Z)时，函数取得最小值，ymin＝－.
(3)y＝cos2x－sin x＝1－sin2x－sin x＝－＋.
因为－≤x≤，所以－≤sin x≤，
所以当sin x＝－，即x＝－时，函数取得最大值，ymax＝；
当sin x＝，即x＝时，函数取得最小值，ymin＝－.
课件25张PPT。第一章 三角函数
A级 基础巩固
一、选择题
1．函数y＝－cos x，x∈(0，2π)，其单调性是( )
A．在(0，π)上是增函数，在[π，2π)上是减函数
B．在，上是增函数，在上是减函数
C．在[π，2π)上是增函数，在(0，π)上是减函数
D．在上是增函数，在，上是减函数
解析：y＝－cos x在(0，π)上是增函数，在[π，2π)上是减函数．
答案：A
2．y＝sin x－|sin x|的值域是( )
A．[－1，0] B．[0，1] C．[－1，1] D．[－2，0]
解析：y＝因此函数的值域为[－2，0]．
答案：D
3．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是( )
A．f(x)＝|cos 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x|
答案：A
4．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是( )
A．0≤ω≤ B．0≤ω≤
C.≤ω≤3 D.≤ω≤3
解析：令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ，k∈Z，
又ω>0，所以＋≤x≤＋，k∈Z.
因为函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，
所以所以≤ω≤3.
答案：D
5．函数f(x)＝sin在区间上的最小值为( )
A．－1 B．－
C. D．0
解析：因为x∈，所以－≤2x－≤π，
所以当2x－＝－时，
f(x)＝sin有最小值－.
答案：B
二、填空题
6．已知α，β∈，且cos α>sin β， 则α＋β与的大小关系为________．
解析：因为α，β∈，所以－α∈.
因为cos α>sin β，所以sin>sin β，
因为y＝sin x在上是增函数，所以－α>β，
所以α＋β<.
答案：α＋β<
7．当x＝________时，函数f(x)＝cos2x＋sin x取最大值．
解析：当|x|≤时，－≤sin x≤，f(x)＝cos2x＋sin x＝1－sin2x＋sin x＝－＋，
所以sin x＝，即x＝时，f(x)取得最大值.
答案：
8．已知函数f(x)＝3sin的图象为C，则下列结论中正确的是________(填序号)．
①图象C关于直线x＝π对称；
②图象C的所有对称中心都可以表示为(k∈Z)；
③函数f(x)在区间上是增函数；
④函数f(x)在上的最小值是－3.
解析：令2x－＝kπ＋(k∈Z)，即x＝π＋π(k∈Z)，
当k＝1时，x＝π，故直线x＝π是图象C的对称轴，
所以①正确．
令2x－＝kπ(k∈Z)，则x＝＋π(k∈Z)，所以②错误．
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，
得－＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)，
当k＝0时，－≤x≤π，
即函数f(x)在区间上单调递增，
所以③正确．
当x∈时，2x－∈，所以f(x)∈，故④错误．
答案：①③
三、解答题
9．比较下列各组数的大小．
(1)sin 1，sin 2，sin 3，sin 4；
(2)cos与cos.
解：(1)因为sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)，且0<π－3<1<π－2<，π<4<，函数y＝sin x在上单调递增，
所以0(2)cos＝cos，cos＝cos＝cos＝cos.
因为0<<<，y＝cos x在上是减函数，
所以cos>cos，即cos>cos.
10．求下列函数的值域：
(1)y＝2cos，x∈；
(2)y＝cos2x－3cos x＋2.
解：(1)因为－＜x＜，所以0＜2x＋＜.
所以－＜cos＜1.
所以y＝2cos，x∈的值域为(－1，2)．
(2)令t＝cos x，因为x∈R，所以t∈[－1，1]．
所以原函数化为y＝t2－3t＋2＝－.
所以二次函数图象开口向上，直线t＝为对称轴．
所以[－1，1]为函数的单调减区间．
所以当t＝－1时，ymax＝6；当t＝1时，ymin＝0.
所以y＝cos2x－3cos x＋2的值域为[0，6]．
B级 能力提升
1．(2019·广州市综合测试)已知函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0，0≤φ≤π)是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是( )
A. B.
C. D．2
解析：函数f(x)＝cos(ωx＋φ)是奇函数，0≤φ≤π，所以φ＝，所以f(x)＝cos＝－sin ωx，因为f(x)在上单调递减，所以－×ω≥－且×ω≤，解得ω≤，又ω>0，故ω的最大值为.
答案：C
2．若函数f(x)＝sin ωx(0<ω<2)在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω等于________．
解析：根据题意知f(x)在x＝处取得最大值1，
所以sin ＝1，所以＝2kπ＋，k∈Z，
即ω＝6k＋，k∈Z.
又0<ω<2，所以ω＝.
答案：
3．已知函数f(x)＝2asin ＋a＋b的定义域是，值域是[－5，1]，求a，b的值．
解：因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，
所以－≤sin≤1.
当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
因此a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.
课件30张PPT。第一章 三角函数
