A级 基础巩固
一、选择题
1．下列说法中，错误的是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
解析：根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A、B、C均正确，D错误．
答案：D
2．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
A.π B．－π C.π D．－π
解析：显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－π.
答案：B
3．把－1 125°化成α＋2kπ(0≤α＜2π，k∈Z)的形式是( )
A．－－6π B.－6π
C．－－8π D.－8π
解析：－1 125°＝－1 440°＋315°＝－8π＋.
答案：D
4．扇形的周长为6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是( )
A．1 B．4 C．1或4 D．2或4
解析：因为扇形的周长为6 cm，面积为2 cm2，故解得扇形的圆心角的弧度数为1或4.
答案：C
5．周长为9，圆心角为1 rad的扇形面积为( )
A. B. C．π D．2
解析：由题意可知 所以
所以S＝lr＝.
答案：A
二、填空题
6．半径为12 cm的圆中，弧长为8π cm的弧，其所对的圆心角为α，则与α终边相同的角的集合为____________．
解析：圆心角α＝＝，所以α＝2kπ＋，k∈Z.
答案：
7．设扇形的周长为4 cm，面积为1 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．
解析：设扇形的半径和弧长分别为r，l，由题设可得?则扇形圆心角所对的弧度数是α＝＝2.
答案：2
8．(1)1°的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为________米；
(2)1 rad的圆心角所对弧长为1米，则此圆半径为______米．
解析：(1)因为|α|＝1°＝，l＝1，
所以r＝＝＝.
(2)因为l＝1，|α|＝1，所以r＝＝1.
答案：(1) (2)1
三、解答题
9．已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．
(2)若扇形的周长是a，则α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解：(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
因为α＝60°＝，R＝10(cm)，所以l＝αR＝(cm)．
S弓＝S扇－S△＝××10－×10×10×sin 60°＝
50(cm2)．
(2)因为l＋2R＝a，所以l＝a－2R，
从而S＝·l·R＝(a－2R)·R＝－R2＋R＝－＋.
所以当半径R＝时，l＝a－2·＝，
扇形面积的最大值是，这时α＝＝2(rad)．
所以当扇形的圆心角为2 rad，半径为时，扇形面积最大，为.
10．如图，已知一个长为 dm，宽为1 dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第四面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30°的角．求点A走过的路程的长及走过的弧度所对扇形的总面积．
解：AA1所在圆弧的半径是2 dm，圆心角为；A1A2所在圆弧的半径是1 dm，圆心角为，A2A3所在圆弧的半径是 dm，圆心角为，所以走过的路程是3段圆弧之和，即2×＋1×＋×＝π(dm)；3段圆弧所对的扇形的总面积是×2×π＋×＋××＝(dm2)．
B级 能力提升
1．圆的一条弦的长等于半径，则这条弦所对的圆周角的弧度数为( )
A．1 B. C.或 D.或
解析：设该弦所对的圆周角为α，则其圆心角为2α或2π－2α，由于弦长等于半径，所以可得2α＝或2π－2α＝，解得α＝或α＝.
答案：C
2．钟表的时间经过了一小时，则时针转过了________rad.
解析：钟表的时针是按顺时针的方向旋转的，经过12小时，时针转过－2π rad，所以经过一小时，时针转过－ rad.
答案：－
3.如图，扇形OAB的面积是4 cm2，它的周长是8 cm，求扇形的圆心角及弦AB的长．
解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，
依题意有
由①②得R＝2，l＝4，所以θ＝＝2.
过O作OC⊥AB，则OC平分∠BOA，又∠BOA＝2 rad.
所以∠BOC＝1 rad，所以BC＝OB·sin 1＝2sin 1(cm)，所以AB＝2BC＝4sin 1(cm)．
故所求扇形的圆心角为2 rad，弦AB的长为4sin 1 cm.
课件25张PPT。第一章 三角函数
