A级 基础巩固
一、选择题
1．已知α是第二象限角，且cos α＝－1213，则tan α的值是( )
A.1213 B．－1213
C.512 D．－512
解析：因为α是第二象限角，所以sin α＝1－cos2α＝1－－12132＝513，所以tan α＝sin αcos α＝513－1213＝－512.
答案：D
2．(2017?全国卷Ⅲ改编)已知sin α－cos α＝43，则sin αcos α＝( )
A．－718 B．－19
C.19 D.718
解析：因为sin α－cos α＝43，所以(sin α－cos α)2＝169，
即1－2sin αcos α＝169，所以sin αcos α＝－718.
答案：A
3．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则三角形是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
解析：将sin α＋cos α＝23两边平方，得1＋2sin αcos α＝49，即2sin α?cos α＝－59.又α是三角形的内角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以α为钝角．
答案：A
4．若sin θ＝m－3m＋5，cos θ＝4－2mm＋5，则m的值为( )
A．0 B．8
C．0或8 D．3
解析：由sin2θ＋cos2θ＝1得
m－3m＋52＋4－2mm＋52＝1，解得m＝0或8.
答案：C
5．化简cos θ1＋cos θ－cos θ1－cos θ可得( )
A．－2tan2θ B.2tan2θ
C．－2tan θ D.2tan θ
解析：cos θ1＋cos θ－cos θ1－cos θ
＝cos θ（1－cos θ）－cos θ（1＋cos θ）1－cos2θ
＝－2cos2θsin2θ＝－2tan2θ.
答案：A
二、填空题
6．在△ABC中，若cos(A＋B)>0，sin C＝13，则tan C等于________．
解析：在△ABC中，因为cos(A＋B)>0，
所以0所以角C是钝角，所以cos C＝－ 1－sin2C＝－223，
所以tan C＝sin Ccos C＝13－223＝－24.
答案：－24
7．若4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，则tan α的值为________．
解析：因为4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝10，
所以4sin α－2cos α＝50cos α＋30sin α，
所以26sin α＝－52cos α，即sin α＝－2cos α.
所以tan α＝－2.
答案：－2
8．已知－π2解析：由sin x＋cos x＝15，平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝125，即2sin xcosx＝－2425，
所以(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝4925，
又因为－π2所以sin x<0，cos x>0，sin x－cos x<0，
所以sin x－cos x＝－75.
答案：－75
三、解答题
9．已知tan α＝－2，计算：
(1)3sin α＋2cos α5cos α－sin α；
(2)32sin αcos α＋cos2α.
解：(1)3sin α＋2cos α5cos α－sin α＝3tan α＋25－tan α＝3×（－2）＋25－（－2）＝－47.
(2)32sin αcos α＋cos2α＝3（sin2α＋cos2α）2sin αcos α＋cos2α＝3tan2α＋32tan α＋1＝15－3＝－5.
10．已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，求sin θ，cos θ，sin θ－cos θ，tan θ，sin3θ＋cos3θ的值．
解：法一 因为sin θ＋cosθ＝15，θ∈(0，π)，
所以1＋2sin θcos θ＝125，所以2sin θcos θ＝－2425<0.
又θ∈(0，π)，所以sin θ>0，所以cos θ<0，
所以θ∈π2，π.所以sin θ－cos θ>0.
因为(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋2425＝4925，
所以sin θ－cos θ＝75，
由sin θ＋cosθ＝15，sin θ－cos θ＝75?sin θ＝45，cos θ＝－35，
所以tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43，sin3θ＋cos3θ＝37125.
法二 因为sin θ＋cos θ＝15，
所以cos θ＝15－sin θ，所以cos2θ＝15－sin θ2，
因为cos2θ＝1－sin2θ，所以1－sin2θ＝15－sin θ2，
所以25sin2θ－5sin θ－12＝0，
解得sin θ＝45或sin θ＝－35，又θ∈(0，π)，所以sin θ>0，
所以sin θ＝45，所以cos θ＝15－45＝－35，
所以sin θ－cos θ＝75，tan θ＝sin θcos θ＝45－35＝－43，
sin3θ＋cos3θ＝37125.
B级 能力提升
1．已知α是锐角，且tan α是方程4x2＋x－3＝0的根，则sin α＝( )
A.45 B.35 C.25 D.15
解析：因为方程4x2＋x－3＝0的根为x＝34或x＝－1，
又因为tan α是方程4x2＋x－3＝0的根且α为锐角，
所以tan α＝34，所以sin α＝34cos α，即cos α＝43sin α，
又sin2α＋cos2α＝1，
所以sin2α＋169sin2α＝1，
所以sin2α＝925(α为锐角)，
所以sin α＝35.
答案：B
2．化简：1sin α＋1tan α(1－cos α)＝________．
解析：原式＝1sin α＋cos αsin α(1－cos α)
＝1＋cos αsin α(1－cos α)
＝1－cos2αsin α
＝sin2αsin α
＝sin α.
答案：sin α
3．求证：1＋2sin αcos αsin2α－cos2α＝tan α＋1tan α－1.
解析：法一 左边＝sin2α＋cos2α＋2sin αcos αsin2α－cos2α
＝（sin α＋cos α）2sin2α－cos2α
＝sin α＋cos αsin α－cos α
＝tan α＋1tan α－1＝右边．
所以等式成立．
法二 右边＝sin αcos α＋1sin αcos α－1
＝sin α＋cos αsin α－cos α
＝（sin α＋cos α）2（sin α－cos α）（sin α＋cos α）
＝1＋2sin αcos αsin2α－cos2α＝左边．
所以等式成立．
课件27张PPT。第一章 三角函数 