A级 基础巩固
一、选择题
1．某人的血压满足函数关系式f(t)＝24sin 160πt＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为( )
A．60 B．70 C．80 D．90
解析：因为T＝＝，所以f＝＝80.
答案：C
2．如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
解析：由题图知，当sin＝－1时，函数取得最小值2，
即3×(－1)＋k＝2，所以k＝5.
因此，函数的最大值是3×1＋5＝8.
故水深的最大值为8.
答案：C
3．为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的平面直角坐标系．设秒针针尖的位置为P(x，y)，若初始位置为P0，当秒针针尖从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
解析：由题意，可得函数的初相是，排除B、D.函数的最小正周期是60，所以T＝＝60，所以|ω|＝，因为秒针按顺时针转动，所以ω＝－，故选C.
答案：C
4．一种波的波形为函数y＝－sin x的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：函数y＝－sin x的周期T＝4且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.
答案：C
5．如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sin，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )
A．2π s B．π s C．0.5 s D．1 s
解析：单摆来回摆动一次，即完成一个周期，
所以T＝＝＝1 s，即单摆来回摆动一次所需的时间为1 s.
答案：D
二、填空题
6．设y＝f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间t(小时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)的图象．则一个能近似表示表中数据间对应关系的函数是________．
解析：由表格知最大值为15，最小值为9，最小正周期为12，
故解得A＝3，k＝12，ω＝.
又t＝0时，y＝12，所以φ＝0.
答案：y＝12＋3sin t
7．已知某种交变电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交变电流在0.5 s内往复运动的次数是________________．
解析：周期T＝ s，所以频率为每秒50次，所以0.5秒内往复运动的次数为25.
答案：25
8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(A＞0，x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.
解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，
所以y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.
答案：20.5
三、解答题
9．实验室某一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－2sin，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天上午8时的温度；
(2)求实验室这一天的最大温差．
解：(1)f(8)＝10－2sin＝10－2sin π＝10.
故实验室这一天上午8时的温度为10℃.
(2)因为0≤t<24，所以≤t＋<，
所以－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
所以f(t)在[0，24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.
10．确定方程sin＝lg x的实数解的个数．
解：作函数y＝sin及y＝lg x的图象如图所示，由图可知，原方程的实数解的个数为7.
B级 能力提升
1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0＜φ＜π)的图象上一个最高点为点(2，3)，与这个最高点相邻的一个函数值为0的点是点(6，0)，则f(x)的解析式为( )
A．f(x)＝3sin B．f(x)＝3sin
C．f(x)＝3sin D．f(x)＝3sin
解析：由题意知A＝3，T＝6－2＝4，所以T＝16，
故T＝＝16，所以ω＝，所以f(x)＝3sin，
因为最高点为(2，3)，所以3sin＝3，
即sin＝1，又0＜φ＜π.
所以φ＝，所以f(x)＝3sin.
答案：C
2．据市场调查，某种商品每件的售价按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低，为4千元，则f(x)＝________．
解析：由题意得解得A＝2，B＝6.
周期T＝2×(7－3)＝8，所以ω＝＝.
所以f(x)＝2sin＋6.
又当x＝3时，y＝8，所以8＝2sin＋6.
所以sin＝1，
结合|φ|＜可得φ＝－.
所以f(x)＝2sin＋6.
答案：2sin＋6
3．如图，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中圆心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，从你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解：(1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，所以6ω＝π，即ω＝.
所以y＝40.5－40cos t(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距地面60.5米，由60.5＝40.5－40cos t0，得cos t0＝－，所以t0＝或t0＝，解得t0＝4或t0＝8.
所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
课件28张PPT。第一章 三角函数
