高中数学选修2-3课件：1.2两个计数原理的概念及应用 (共19张PPT)

(共19张PPT)
高中数学·选修2-3·北师版
1.1 分类加法计数原理
1.2 分步乘法计数原理
第2课时 两个计数原理的概念及应用
高二数学备课组
学习目标
1．理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理．
2．会用这两个原理分析和解决一些简单的实际计数问题．
1．分类加法计数原理
(1)内容：完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝______ ___________种方法(也称加法原理)．
(2)特点：①完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n类；②用每一类中的每一种方法都可以完成这件事；③把各类的方法数_____，就可以得到完成这件事的所有方法数．
m1＋
m2＋…＋mn
相加
导
2．分步乘法计数原理
(1)内容：完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有mn种方法，那么，完成这件事共有N＝____________ ____种方法(也称乘法原理)．
(2)特点：①完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；②完成每一步有若干方法；③把各个步骤的方法数_____，就可以得到完成这件事的所有方法数.
m1×m2×…
相乘
×mn
导
1．用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教室里的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？
思
答　因为英文字母共有26个，阿拉伯数字共有10个，所以总共可以编出26＋10＝36(种)不同的号码．
答　编写一个号码要先确定一个英文
字母，后确定一个阿拉伯数字，我们
可以用树形图列出所有可能的号码．
如图：
由于前6个英文字母中的任意一个都
能与9个数字中的任何一个组成一个
号码，而且它们各不相同，因此共有6×9＝54(个)不同的号码．
2．用前6个大写英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A1，A2，…，B1，B2，…的方式给教室里的座位编号，总共能编出多少个不同的号码？
思
要点一　分类加法计数原理的应用
例1　高二·一班有学生50人，男30人；高二·二班有学生60人，女30人；高二·三班有学生55人，男35人．
(1)从中选一名学生任学生会主席，有多少种不同选法？
(2)从一班、二班男生中，或从三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有多少种不同的选法？
议展
解　(1)要完成“选一名学生任学生会主席”这件事有三类不同的选法：
第一类：从高二·一班选一名，有50种不同的方法；
第二类：从高二·二班选一名，有60种不同的方法；
第三类，从高二·三班选一名，有55种不同的方法；
故任选一名学生任学生会主席的选法共有50＋60＋55＝165种不同的方法．
(2)要完成“选一名学生任学生会体育部长”这件事有3类不同的选法：
第一类，从高二·一班男生中选有30种不同的方法；
第二类，从高二·二班男生中选有30种不同的方法；
第三类，从高二·三班女生中选有20种不同的方法．
故任选一名学生任学生会体育部长有30＋30＋20＝80种不同的方法．
规律方法　应用分类加法计数原理应注意如下问题：
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，完成这件事可以有哪些方法，怎样才算是完成这件事．
(2)无论哪类方案中的哪种方法都可以独立完成这件事，而不需要再用到其他的方法．即各类方法之间是互斥的，并列的，独立的．
(3)不同方案的任意两种方法是不同的方法，也就是分类时必须做到既“不重复”也“不遗漏”．
要点二　分步乘法计数原理的应用
例2　已知集合M＝{－3，－2，－1，0，1，2}，P(a，b)(a，b∈M)表示平面上的点，问：
(1)点P可表示平面上多少个不同的点？
(2)点P可表示平面上多少个第二象限内的点？
解　(1)确定平面上的点P(a，b)，可分两步完成：第一步确定a的值，有6种不同方法；第二步确定b的值，也有6种不同方法．根据分步乘法计数原理，得到平面上点P的个数为6×6＝36.
议展
(2)确定平面上第二象限内的点P，可分两步完成：第一步确定a的值，由于a＜0，所以有3种不同方法；第二步确定b的值，由于b＞0，所以有2种不同方法．由分步乘法计数原理，得到平面上第二象限内的点P的个数为3×2＝6.．
规律方法　应用分步乘法计数原理应注意如下问题：
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事，单独用题
目中所给的某种方法是不是能完成这件事，是否必须要经
过几步才能完成这件事
(2)完成这件事要分若干个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事，缺少哪一步，这件事都不可能完成．即各步之间是关联的，相互依存的，只有前步完成后步才能进行．
(3)根据题意正确分步，要求各步之间必须连续，只有按照这几步逐步地去做，才能完成这件事，缺少任何一步也不能完成这件事，即分步要做到步骤完整．
要点三　两个原理的综合应用
例3　现有高一年级的四个班的学生34人，其中一、二、三、四班各7人、8人、9人、10人，他们自愿组成数学课外小组．
(1)选其中一人为负责人，有多少种不同的选法？
(2)每班选一名组长，有多少种不同的选法？
(3)推选两人做中心发言，这两人需来自不同的班级，有多少种不同的选法？
解　(1)分四类：第一类，从一班学生中选1人，有7种选法；第二类，从二班学生中选1人，有8种选法；第三类，从三班学生中选1人，有9种选法；第四类，从四班学生中选1人，有10种选法．
议展
所以，共有不同的选法N＝7＋8＋9＋10＝34(种)
(2)分四步：第一、二、三、四步分别从一、二、三、四班学生中选一人任组长．
所以，共有不同的选法N＝7×8×9×10＝5 040(种)．
(3)分六类，每类又分两步：从一、二班学生中各选1人，有7×8种不同的选法；从一、三班学生中各选1人，有7×9种不同的选法；从一、四班学生中各选1人，有7×10种不同的选法；从二、三班学生中各选1人，有8×9种不同的选法；从二、四班学生中各选1人，有8×10种不同的选法；从三、四班学生中各选1人，有9×10种不同的选法．
所以，共有不同的选法N＝7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10＝431(种)．
规律方法　(1)在处理具体的应用题时，首先必须弄清是“分类”还是“分步”，其次要搞清“分类”或“分步”的具体标准是什么，选择合理的标准关键是看能否独立完成这件事，要避免计数的重复或遗漏．
(2)对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．
1．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为 (　　)
A．7 B．12 C．64 D．81
检
答案　B
解析　要完成配套，分两步：第1步，选上衣，从4件上衣中任选一件，有4种不同选法；第2步，选长裤，从3条长裤中任选一条，有3种不同选法．故共有4×3＝12(种)不同的配法．
2．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法为 (　　)
A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9
C．3×4×2＝24 D．以上都不对
检
答案　B
解析　分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．
3．从集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有________个．
检
解析　第一步取b的数，有6种方法，第二步取a的数，也有6种方法，根据分步乘法计数原理，共有6×6＝36(种)方法，故虚数有36个．
答案　36
4．将3封信投入6个信箱内，不同的投法有________种
解析　分三步，每一步投一封信．每封信都有6种投法，共有6×6×6＝216(种)不同的投法．
答案　216
1．应用两个原理时，要仔细区分原理的不同，加法原理关键在于分类，不同类之间互相排斥，互相独立；乘法原理关键在于分步，各步之间互相依存，互相联系．
2．通过对这两个原理的学习，要进一步体会分类讨论思想及等价转化思想在解题中的应用.