A级 基础巩固
一、选择题
1．已知三角形的三边长分别是a，b，，则此三角形中最大的角是( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
解析：因为＞a, ＞b，
所以最大边是，
设其所对的角为θ，则
cos θ＝＝－，
所以θ＝120°.
答案：C
2．△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若B＝2A，a＝1，b＝，则c＝( )
A．2 B．2 C. D．1
解析：由＝，得＝，
所以＝，
故cos A＝，
因为A∈(0，π)，所以A＝，
所以B＝，C＝，c＝＝＝2.
答案：B
3．已知△ABC的三边长分别为AB＝7，BC＝5，AC＝6.则·的值为( )
A．19 B．14 C．－18 D．－19
解析：由余弦定理的推论知：
cos B＝＝.
所以·＝||·||·cos(π－B)＝7×5×＝－19.
答案：D
4．锐角三角形ABC中，sin A和cos B的大小关系是( )
A．sin A＝cos B B．sin A＜cos B
C．sin A＞cos B D．不能确定
解析：在锐角三角形ABC中，A＋B＞90°.
所以A＞90°－B，
所以sin A＞sin (90°－B)＝cos B.
答案：C
5．在△ABC中，b＝8，c＝3，A＝60°，则此三角形外接圆面积为( )
A. B. C. D.
解析：a2＝b2＋c2－2bccos A＝82＋32－2×8×3×＝49，
所以a＝7，所以2R＝＝＝，
所以R＝，所以S＝π＝π.
答案：D
二、填空题
6．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin A＋acos B＝0，则B＝________．
答案：
7．在△ABC中，AB＝，D为BC的中点，AD＝1，∠BAD＝30°，则△ABC的面积S△ABC＝________．
解析：因为AB＝，AD＝1，∠BAD＝30°，
所以S△ABD＝··1·sin 30°＝，
又D是BC边中点，
所以S△ABC＝2SABD＝.
答案：
8．(2018·浙江卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________．
解析：本小题考查正弦定理、余弦定理．
由＝得sin B＝sin A＝，
由a2＝b2＋c2－2bccos A，得c2－2c－3＝0，
解得c＝3(舍负)．
答案： 3
三、解答题
9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.
(1)求cos B；
(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.
解：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sin B＝8sin2，
故sin B＝4(1－cos B)．
上式两边平方，整理得17cos2B－32cos B＋15＝0，
解得cos B＝1(舍去)，cos B＝.
(2)由cos B＝得sin B＝，
故S△ABC＝acsin B＝ac.
又S△ABC＝2，则ac＝.
由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac(1＋cos B)＝36－2××＝4.
所以b＝2.
10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，4sin2－cos 2A＝.
(1)求A的度数；
(2)若a＝，b＋c＝3，求b和c的值．
解：(1)由4sin2－cos 2A＝及A＋B＋C＝180°，
得2[1－cos(B＋C)]－2cos2A＋1＝?4(1＋cos A)－4cos2 A＝5，
即4cos2 A－4cos A＋1＝0，
所以(2cos A－1)2＝0，解得cos A＝.
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
(2)由余弦定理，得cos A＝.
因为cos A＝，所以＝，
化简并整理，得(b＋c)2－a2＝3bc，
将a＝，b＋c＝3代入上式，得bc＝2.
则由解得或
B级 能力提升
1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝( )
A．6 B．5 C．4 D．3
答案：A
2．在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________．
解析：如图所示，延长BA，CD交于点E，则可知在△ADE中，∠DAE＝105°，∠ADE＝45°，∠E＝30°，所以设AD＝x，AE＝x，DE＝x，CD＝m，因为BC＝2，
所以·sin 15°＝1?x＋m＝＋，所以0＜x＜4，而AB＝x＋m－x＝x＋m＝ ＋－x，所以AB的取值范围是(－，＋)．
答案：(－，＋)
3．(2016·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c.
(1)求C；
(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
解：(1)由已知及正弦定理得：
2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，
即2cos Csin(A＋B)＝sin C.
故2sin Ccos C＝sin C.
可得cos C＝，所以C＝.
(2)由已知，absin C＝.
又C＝，所以ab＝6.
由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcos C＝7.
故a2＋b2＝13，从而＝25.
所以△ABC的周长为5＋.
课件30张PPT。第一章 解三角形
