A级 基础巩固
一、选择题
1．在△ABC中，若a＝3，cos A＝12，则△ABC外接圆的半径为( )
A．6 B．23 C．3 D.3
答案：D
2．在△ABC中，a＝3，b＝3，A＝60°，那么角B等于( )
A．30° B．60°
C．30°或150° D．60°或120°
解析：因为a＝3，b＝3，A＝60°，所以sin B＝bsin Aa＝12.因为a>b，所以A>B，所以B＝30°.
答案：A
3．在△ABC中，b＝5，B＝π4，tan A＝2，则a的值为( )
A．102 B．210 C.10 D.2
解析：因为在△ABC中，b＝5，B＝π4，
tan A＝sin Acos A＝2，sin2A＋cos2A＝1，
所以sin A＝255.
由正弦定理可得a255＝5sin π4，
解得a＝210.
答案：B
4．在△ABC中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则下列关于正弦定理的叙述或变形中错误的是( )
A．a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C
B．a＝b?sin 2A＝sin 2B
C.asin A＝b＋csin B＋sin C
D．正弦值较大的角所对的边也较大
解析：在△ABC中，由正弦定理得asin A＝bsin B＝csin C＝k(k>0)，则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C，故a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，故A正确．
当A＝30°，B＝60°时，sin 2A＝sin 2B，此时a≠b，故B错误．
根据比例式的性质易得C正确．
大边对大角，故D正确．
答案：B
5．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：由正弦定理得：asin A＝bsin B＝2R，
由a＝bsin A得：
2Rsin A＝2Rsin B?sin A，
所以sin B＝1，所以B＝π2.
答案：B
二、填空题
6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝3，B＝2A，cos A＝63，则b＝________．
解析：因为cos A＝63，所以sin A＝33，
因为B＝2A，所以sin B＝sin 2A＝2sin Acos A＝223，
又bsin B＝asin A，所以b＝26.
答案：26
7．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则2sin A－sin Bsin C＝________．
解析：设a＝4k，b＝3k，c＝5k(k>0)，
由正弦定理，
得2sin A－sin Bsin C＝2a－bc＝2×4k－3k5k＝1.
答案：1
8．在△ABC中，若B＝30°，AB＝23，AC＝2，则AB边上的高是________．
解析：由正弦定理，ACsin B＝ABsin C，
所以sin C＝AB?sin 30°AC＝23?sin 30°2＝32，
所以C＝60°或120°，
(1)当C＝60°时，A＝90°，AB边上的高为2；
(2)当C＝120°时，A＝30°，AB边上的高为2sin 30°＝1.
答案：1或2
三、解答题
9．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若C＝45°，b＝45，sin B＝255.
(1)求c的值；
(2)求sin A的值．
解：(1)因为C＝45°，b＝45，sin B＝255，
所以由正弦定理可得c＝bsin Csin B＝45×22255＝52.
(2)因为sin B＝255，B为锐角，
所以cos B＝1－sin2B＝55，
所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝255×22＋55×22＝31010.
10．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，试判断三角形的形状．
解：由已知得a2sin Bcos B＝b2sin Acos A，
由正弦定理得sin2Asin Bcos B＝sin2Bsin Acos A.
因为sin A，sin B≠0，所以sin Acos A＝sin Bcos B，
即sin 2A＝sin 2B.
所以2A＋2B＝π或2A＝2B.
所以A＋B＝π2或A＝B.
所以△ABC为直角三角形或等腰三角形．
B级 能力提升
1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若3a＝2b，则2sin2B－sin2Asin2A的值为( )
A.19 B.13 C．1 D.72
解析：因为asin A＝bsin B，所以sin Bsin A＝ba.
因为3a＝2b，所以ba＝32，
所以sin Bsin A＝32，
所以2sin2B－sin2Asin2A＝2sin Bsin A2－1＝2×322－1＝92－1＝72.
答案：D
2．已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有两个解，则x的取值范围是________．
解析：要使三角形有两解，则a>b，且sin A<1.
由asin A＝bsin B得sin A＝asin Bb＝24x，
所以x>2，24x<1，所以2答案：23．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＋c＝2b，2cos 2B－8cos B＋5＝0，求角B的大小并判断△ABC的形状．
解：因为2cos 2B－8cos B＋5＝0，
所以2(2cos2B－1)－8cos B＋5＝0.
所以4cos2B－8cos B＋3＝0，
即(2cos B－1)(2cos B－3)＝0.
解得cos B＝12或cos B＝32(舍去)．
因为0＜B＜π，
所以B＝π3.
因为a＋c＝2b.
由正弦定理，得
sin A＋sin C＝2sin B＝2sin π3＝3.
所以sin A＋sin2π3－A＝3，
所以sin A＋sin 2π3cos A－cos 2π3sin A＝3.
化简得32sin A＋32cos A＝3，
所以sinA＋π6＝1.
因为0＜A＜2π3，
所以π6＜A＋π6＜5π6，
所以A＋π6＝π2.
所以A＝π3，C＝π3.
所以△ABC是等边三角形．
课件31张PPT。第一章 解三角形
