A级 基础巩固
一、选择题
1．在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，a＝5，b＝4，cos C＝，则△ABC的面积是( )
A．8 B．6 C．4 D．2
解析：因为cos C＝，C∈(0，π)，
所以sin C＝，
所以S△ABC＝absin C＝×5×4×＝6.
答案：B
2．在△ABC中，A＝60°，b＝1，其面积为，则等于( )
A. B. C. D．3
解析：面积S＝＝bcsin A＝×1×c×，
所以c＝4，
因为a2＝b2＋c2－2bccos A＝12＋42－2×1×4×＝13，
所以＝＝.
答案：A
3．在平行四边形ABCD中，对角线AC＝，BD＝，周长为18，则这个平行四边形的面积是( )
A．8 B．16 C．18 D．32
解析：在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝65，
即AB2＋AD2－2AB·AD·cos B＝65，①
在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝17，②
又cos A＋cos B＝0.
①＋②得AB2＋AD2＝41.
因为平行四边形的周长为18，
所以AB＋AD＝9，又AB2＋AD2＝41，
所以AB＝4，AD＝5或AB＝5，AD＝4.
所以cos A＝＝，
所以sin A＝，
故平行四边形的面积为×AB×AD×sin A×2＝16.
答案：B
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a＝1，B＝，当△ABC的面积等于时，tan C等于( )
A. B．－ C．－2 D．－2
解析：S△ABC＝acsin B＝·1·c·＝，
所以c＝4，
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝13，
所以b＝，
所以cos C＝＝－，
所以sin C＝，
所以tan C＝＝－＝－2.
答案：C
5．在△ABC中，已知b2－bc－2c2＝0，且a＝，cos A＝，则△ABC的面积等于( )
A. B. C．2 D．3
解析：因为b2－bc－2c2＝0，
所以(b－2c)(b＋c)＝0，
所以b＝2c.
由a2＝b2＋c2－2bccos A，
解得c＝2，b＝4，
因为cos A＝，所以sin A＝，
所以S△ABC＝bcsin A＝×4×2×＝.
答案：A
二、填空题
6．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为________．
答案：6
7．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，则该三角形的周长为________．
解析：因为a－b＝4，所以a＞b，
又因为a＋c＝2b，所以b＋4＋c＝2b，
所以b＝4＋c，所以a＞b＞c.
所以最大角为A，所以A＝120°，
所以cos A＝＝－，
所以b2＋c2－a2＝－bc，
所以b2＋(b－4)2－(b＋4)2＝－b(b－4)，
即b2＋b2＋16－8b－b2－16－8b＝－b2＋4b，
所以b＝10，所以a＝14，c＝6.
故周长为30.
答案：30
8．在△ABC中，A＝，BC＝2，D是AB边上的一点，CD＝2，△BCD的面积为4，则AC的长是________．
解析：设∠BCD＝θ，因为S△BCD＝4＝·CD·CB·sin θ，
所以sin θ＝，θ∈(0，π)，所以cos θ＝±.
在△BCD中，由余弦定理得
BD2＝CD2＋CB2－2CD·CB·cos θ，
从而BD＝4或BD＝4.
当BD＝4时，由＝得sin B＝＝，又由＝得AC＝＝2，
当BD＝4时，同理可得AC＝4.
综上，AC＝4或AC＝2.
答案：4或2
三、解答题
9.在△ABC中，∠B＝，AB＝4，点D在BC上，且CD＝3，
cos∠ADC＝.
(1)求sin∠BAD；
(2)求BD，AC的长．
解：(1)因为∠ADC＋∠ADB＝π，
且cos∠ADC＝，
所以cos∠ADB＝－，
所以sin∠ADB＝＝，
由∠B＋∠ADB＋∠BAD＝π得，
sin∠BAD＝sin(∠B＋∠ADB)
＝sin∠Bcos∠ADB＋cos∠Bsin∠ADB
＝×＋×＝.
(2)在△ABD中，由正弦定理得，＝，
所以BD＝＝＝2，
由正弦定理得＝，
所以AD＝＝2，
在△ADC中，由余弦定理得AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝20＋9－2×2×3×＝17，
所以AC＝.
10．在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边，且满足bsin A＋bcos A＝c.
(1)求B；
(2)若角A的平分线与BC相交于D点，AD＝AC，BD＝2，求△ABC的面积．
解：(1)由题意，利用正弦定理可得
sin Bsin A＋sin Bcos A＝sin C＝sin(A＋B)，
整理可得sin B＝cos B，所以B＝.
(2)由AD＝AC，可知∠ACD＝∠ADC.
设∠BAD＝∠DAC＝α，∠ACD＝∠ADC＝β，
则
所以α＝30°，β＝75°，△ABD中，由正弦定理可得＝＝，
所以AB＝＋，AD＝2，所以AC＝2，
所以S△ABC＝AB·AC·sin 2α＝3＋.
B级 能力提升
1．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边之比为8∶5，则这个三角形的面积为( )
A．40 B．20 C．40 D．20
解析：设另两边长为8x，5x，
则cos 60°＝＝，
解得x＝2.
所以两边长是16与10，
所以三角形的面积是×16×10×sin 60°＝40.
答案：A
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a＝2，c＝2，1＋＝，则角C的值为________．
解析：由正弦定理得1＋·＝，
即＝，
所以cos A＝，A∈(0，π)，A＝，sin A＝，
由＝得sin C＝，又c
答案：
3．已知x、y均为正实数，且x2＋y2－3＝xy，求x＋y的最大值．
解：构造△ABC，角A，B，C的对边分别为x，y，，C＝60°，由余弦定理知x2＋y2－3＝xy，即x、y满足已知条件．
因为＝＝＝2，
所以x＝2sin A，y＝2sin B，
所以x＋y＝2(sin A＋sin B)
＝2[sin A＋sin(120°－A)]
＝2
＝2
＝2sin(A＋30°)
因为0°所以当A＝60°时，x＋y有最大值2.
课件33张PPT。第一章 解三角形 