A级 基础巩固
一、选择题
1．在△ABC中，符合余弦定理的是( )
A．c2＝a2＋b2－2abcos C
B．c2＝a2－b2－2bccos A
C．b2＝a2－c2－2bccos A
D．cos C＝
答案：A
2．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的范围是( )
A．(8，10) B．(2，)
C．(2，10) D．(，8)
解析：只需让边长为3和a的边所对的角均为锐角即可．
故解得2
答案：B
3．若三角形三边长分别为5，7，8，则其最大角和最小角的和为( )
A．90° B．120° C．135° D．150°
解析：中间的角设为θ，则cos θ＝＝，
因为0°<θ<180°，所以θ＝60°，
所以最大角和最小角之和为120°.
答案：B
4．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cos B等于( )
A. B. C. D.
解析：cos B＝＝＝＝.
答案：B
5．在△ABC中，若2cos Bsin A＝sin C，则△ABC的形状一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：因为2cos Bsin A＝sin C，
所以2··a＝c，
所以a＝b，所以△ABC为等腰三角形．
答案：C
二、填空题
6．在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为________．
解析：cos C＝＝＝，
又C∈(0，π)，所以C＝.
答案：
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．
解析：由正弦定理得到边b，c的关系，代入余弦定理的变化求解即可．
由2sin B＝3sin C及正弦定理得2b＝3c，即b＝c.
又b－c＝a，所以c＝a，即a＝2c.
由余弦定理得cos A＝＝＝＝－.
答案：－
8.如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，
sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为________．
解析：因为sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，
所以在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，
所以BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，
所以BD＝.
答案：
三、解答题
9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.
(1)证明：sin Asin B＝sin C；
(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.
(1)证明：根据正弦定理，可设＝＝＝k(k>0)．
则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.
代入＋＝中，有＋＝，变形可得：sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．
在△ABC中，由A＋B＋C＝π，
有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
所以sin Asin B＝sin C.
(2)解：由已知，b2＋c2－a2＝bc，
根据余弦定理，有cos A＝＝.
所以sin A＝＝.
由(1)可知，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以sin B＝cos B＋sin B，
故tan B＝＝4.
10．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A＝(2b＋c)sin B＋(2c＋b)sin C.
(1)求A的大小；
(2)若sin B＋sin C＝1，试判断△ABC的形状．
解：(1)由已知和正弦定理，得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理，得cos A＝＝＝－.
因为0°(2)由a2＝b2＋c2＋bc，
得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sin Bsin C．①
由sin B＋sin C＝1，
得sin2B＋sin2C＋2sin Bsin C＝1.②
由①②及sin A＝，得sin Bsin C＝，
所以sin B＝sin C＝.
因为0°所以B＝C，
所以△ABC是等腰三角形．
B级 能力提升
1．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状是( )
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．等腰非等边三角形 D．等边三角形
解析：由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accos 60°＝a2＋c2－ac＝ac，所以(a－c)2＝0，所以a＝c，因为B＝，所以△ABC的形状是等边三角形．
答案：D
2．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．
解析：因为cos C＝＝，
所以sin C＝，
所以AD＝AC·sin C＝.
答案：
3．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠ADB＝60°，∠BCD＝135°，求BC的长．
解：在△ABD中，由余弦定理有：AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB.
设BD＝x，
有142＝102＋x2－2×10xcos 60°，
得x2－10x－96＝0.
所以x1＝16，x2＝－6(舍去)，即BD＝16.
在△BCD中，由正弦定理＝，
可得：BC＝·sin 30°＝8.
课件27张PPT。第一章 解三角形 