A级 基础巩固
一、选择题
1．在等比数列{an}中，a2＝4，a7＝116，则a3a6＋a4a5的值是( )
A．1 B．2 C.12 D.14
答案：C
2．等差数列{an}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{an}的前n项和Sn＝( )
A．n(n＋1) B．n(n－1)
C.n（n＋1）2 D.n（n－1）2
解析：因为a2，a4，a8成等比数列，
所以a24＝a2?a8，即(a1＋3d)2＝(a1＋d)?(a1＋7d)，
将d＝2代入上式，解得a1＝2，
所以Sn＝2n＋n（n－1）?22＝n(n＋1)．
答案：A
3．在等比数列{an}中，a7?a11＝6，a4＋a14＝5，则a20a10等于( )
A.23 B.32
C.23或32 D．－23或－32
解析：因为a7?a11＝a4?a14＝6，a4＋a14＝5，
所以a4＝2，a14＝3或a4＝3，a14＝2，
所以q10＝a14a4＝32或q10＝23，
所以a20a10＝q10＝32或a20a10＝23.
答案：C
4．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为( )
A．10n B．n10 C．100n D．n100
解析：设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，
则a2?a3?…?an＋1＝(a1an＋2)n2＝(100)n2＝10n.
答案：A
5．等比数列{an}中，an∈R＋，a4?a5＝32，则log2a1＋log2a2＋…＋log2a8的值为( )
A．10 B．20 C．36 D．128
解析：log2a1＋log2a2＋…＋log2a8＝log2(a1?a2?a3?…?a8)＝log2(a4a5)4＝4log232＝20.
答案：B
二、填空题
6．等比数列{an}中，a1＜0，{an}是递增数列，则满足条件的q的取值范围是______________．
解析：由an＋1＞an?a1qn＞a1qn－1，
因为a1＜0，
所以qn＜qn－1?qn1－1q＜0对任意正整数n都成立．
所以q＞0且1－1q＜0解得：0＜q＜1.
答案：0＜q＜1
7．已知在公比为q的等比数列{an}中，a5＋a9＝12q，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为________．
解析：因为a5＋a9＝12q，
所以a4＋a8＝12，
所以a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a26＋a6a10＝a24＋2a4a8＋a28＝(a4＋a8)2＝14.
答案：14
8．已知在等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且a7＝b7，则b5＋b9＝________．
解析：a3a11＝4a7＝a27，
所以a7＝4(a7＝0舍去)，
因为{bn}是等差数列，
所以b7＝12(b5＋b9)，
又b7＝a7，所以b5＋b9＝8.
答案：8
三、解答题
9．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．
解：因为a1a5＝a23，a3a7＝a25，
所以由题意，得a23－2a3a5＋a25＝36，
同理得a23＋2a3a5＋a25＝100，
所以（a3－a5）2＝36，（a3＋a5）2＝100，
因为an>0，所以a3－a5＝±6，a3＋a5＝10.
解得a3＝2，a5＝8，或a3＝8，a5＝2.
分别解得a1＝12，q＝2，或a1＝32，q＝12.
所以an＝a1qn－1＝2n－2或an＝a1qn－1＝26－n.
10．三个正数成等比数列，它们的和等于21，倒数的和等于712，求这三个数．
解：设三个数为aq，a，aq(a，q>0)，
由题aq＋a＋aq＝21，qa＋1a＋1aq＝712，
所以a1q＋1＋q＝21，1aq＋1＋1q＝712，?a2＝21×127＝36，
所以a＝6，q＝2或12，
所以三个数为3，6，12或12，6，3.
B级 能力提升
1．等比数列x，3x＋3，6x＋6，…的第四项等于( )
A．－24 B．0 C．12 D．24
解析：由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.
答案：A
2．数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________．
解析：设{an}的公差为d，则a3＋3＝a1＋1＋2d＋2，a5＋5＝a1＋1＋4d＋4，由题意可得(a3＋3)2＝(a1＋1)(a5＋5)．
所以[(a1＋1)＋2(d＋1)]2＝(a1＋1)[(a1＋1)＋4(d＋1)]，
所以(a1＋1)2＋4(d＋1)(a1＋1)＋[2(d＋1)]2＝(a1＋1)2＋4(a1＋1)(d＋1)，
所以d＝－1，所以a3＋3＝a1＋1，
所以公比q＝a3＋3a1＋1＝1.
答案：1
3．容器A中盛有浓度为a%的农药mL，容器B中盛有浓度为b%的同种农药mL，A，B两容器中农药的浓度差为20%(a＞b)，先将A中农药的14倒入B中，混合均匀后，再由B倒入一部分到A中，恰好使A中保持mL，问至少经过多少次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%?
解：设第n次操作后，A中农药的浓度为an，B中农药的浓度为bn，则a0＝a%，b0＝b%.
b1＝15(a0＋4b0)，a1＝34a0＋14b1＝15(4a0＋b0)；
b2＝15(a1＋4b1)，a2＝34a1＋14b2＝15(4a1＋b1)；
…
bn＝15(an－1＋4bn－1)．
an＝15(4an－1＋bn－1)，
所以an－bn＝35(an－1－bn－1)＝35(a0－b0)?35n－1.
因为a0－b0＝15，
所以an－bn＝15?35n.
依题意知15?35n＜1%，n∈N*，
解得n≥6.
故至少经过6次这样的操作，两容器中农药的浓度差小于1%.
课件27张PPT。第二章 数 列
