A级 基础巩固
一、选择题
1．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列1an的前5项和为( )
A.158或5 B.3116或5
C.3116 D.158
解析：设{an}的公比为q，显然q≠1，由题意得9（1－q3）1－q＝1－q61－q，所以1＋q3＝9，得q＝2，所以1an是首项为1，公比为12的等比数列，其前5项和为1－1251－12＝3116.
答案：C
2．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于( )
A．150 B．－200
C．150或－200 D．400
解析：依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．
即(S20－10)2＝10(70－S20)，
解得S20＝－20或S20＝30，
又S20>0，
因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，
故S40－S30＝80，S40＝150.
答案：A
3．设{an}为等比数列，{bn}为等差数列，且b1＝0，cn＝an＋bn，若数列{cn}是1，1，2，…，则数列{cn}的前10项和为( )
A．978 B．557 C．467 D．979
解析：由题意可得a1＝1，设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，
则q＋d＝1，q2＋2d＝2，所以q2－2q＝0，
因为q≠0，所以q＝2，所以d＝－1，
所以an＝2n－1，bn＝(n－1)(－1)＝1－n，
所以cn＝2n－1＋1－n，
设数列cn的前n项和为Sn，
所以S10＝978.
答案：A
4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为( )
A．12 B．10 C．8 D．6
解析：设该等比数列的项数为2n，
依题意得S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n
＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝q?S奇．
因为S偶＝2S奇，所以q＝2.
又an＋an＋1＝a1qn－1＋a1qn＝2n－1＋2n＝3×2n－1＝24，
所以2n－1＝8＝23，所以n－1＝3，
解得n＝4，所以2n＝8.
答案：C
5．在数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a21＋a22＋a23＋…＋a2n等于( )
A．(3n－1)2 B.12(9n－1)
C．9n－1 D.14(3n－1)
解析：因为a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，
当n≥2时，有a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，
所以当n≥2时，an＝3n－3n－1＝2?3n－1，
又n＝1时，a1＝2适合上式，所以an＝2?3n－1，
故数列{a2n}是首项为4，公比为9的等比数列．
因此a21＋a22＋…＋a2n＝4（1－9n）1－9＝12(9n－1)．
答案：B
二、填空题
6．数列{an}中，an＝2n－1，n为正奇数，2n－1，n为正偶数，则它的前n项和Sn＝________．
解析：易知数列{an}的奇数项为以1为首项，4为公比的等比数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列．
(1)当n为奇数时，奇数项有n＋12项，偶数项有n－12项，
所以Sn＝1－4n＋121－4＋（n－1）×32＋n－12?n－12－12?4＝2n＋1－13＋n2－n2；
(2)当n为偶数时，奇数项、偶数项各有n2项，
所以Sn＝1－4n21－4＋n2×3＋n2n2－12×4＝2n－13＋n2＋n2.
答案：2n＋1－13＋n2－n2，n为奇数，2n－13＋n2＋n2，n为偶数
7．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝40，S20＝120，则S30＝________．
解析：由等比数列的性质，知S10，S20－S10，S30－S20也成等比数列，所以S30－S20＝（S20－S10）2S10＝（120－40）240＝160，
所以S30＝280.
答案：280
8．等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝a－3n＋1，则a的值为________．
解析：若数列{an}是等比数列，则它的前n项和公式为Sn＝A－Aqn，其中A＝a11－q，而此数列Sn＝a－3×3n，故a＝3.
答案：3
三、解答题
9．已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a2是a1和a3－1的等差中项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＋2b2＋3b3＋…＋nbn＝an(n∈N*)，求{bn}的通项公式bn.
解：(1)由题意，得2a2＝a1＋a3－1，
即2a1q＝a1＋a1q2－1，整理得2q＝q2.
又q≠0，解得q＝2，所以an＝2n－1.
(2)当n＝1时，b1＝a1＝1；
当n≥2时，nbn＝an－an－1＝2n－2，
即bn＝2n－2n，
所以bn＝1，n＝1，2n－2n，n≥2.
10．已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．
解：(1)设数列{an}的公差为d，{bn}的公比为q，
由b2＝b1q＝3，b3＝b1q2＝9，得b1＝1，q＝3.
所以{bn}的通项公式bn＝b1qn－1＝3n－1，
又a1＝b1＝1，a14＝b4＝34－1＝27，
所以1＋(14－1)d＝27，解得d＝2.
所以{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1(n＝1，2，3，…)．
(2)设数列{cn}的前n项和为Sn.
因为cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，
所以Sn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n－1＋3n－1＝2(1＋2＋…＋n)－n＋30×（1－3n）1－3＝2×（n＋1）n2－n＋3n－12＝n2＋3n－12.
即数列{cn}的前n项和为n2＋3n－12.
B级 能力提升
1．(2017?全国卷Ⅰ)几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )
A．440 B．330 C．220 D．110
解析：设首项为第1组，接下来的两项为第2组，再接下来的三项为第3组，依此类推，则第n组的项数为n，前n组的项数和为n（1＋n）2.
由题意知，N>100，令n（1＋n）2＞100?n≥14且n∈N*，即N出现在第13组之后．
第n组的各项和为1－2n1－2＝2n－1，前n组所有项的和为2（1－2n）1－2－n＝2n＋1－2－n.
设N是第n＋1组的第k项，若要使前N项和为2的整数幂，则第n＋1组的前k项的和2k－1应与－2－n互为相反数，即2k－1＝2＋n(k∈N*，n≥14)，k＝log2(n＋3)?n最小为29，此时k＝5，则N＝29×（1＋29）2＋5＝440.
答案：A
2．在等比数列{an}中，若a1＝12，a4＝－4，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝________．
解析：因为{an}为等比数列，且a1＝12，a4＝－4，
所以q3＝a4a1＝－8，所以q＝－2，所以an＝12(－2)n－1，
所以|an|＝2n－2，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝12（1－2n）1－2＝2n－12.
答案：2n－12
3．(2016?山东卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)令cn＝（an＋1）n＋1（bn＋2）n，求数列{cn}的前n项和Tn.
解析：(1)由题意知当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5，
当n＝1时，a1＝S1＝11，
所以an＝6n＋5.
设数列{bn}的公差为d，
由a1＝b1＋b2，a2＝b2＋b3，
即11＝2b1＋d，17＝2b1＋3d，
可解得b1＝4，d＝3，
所以bn＝3n＋1.
(2)由(1)知cn＝（6n＋6）n＋1（3n＋3）n＝3(n＋1)?2n＋1，
又Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn，
得Tn＝3×[2×22＋3×23＋4×24＋…＋(n＋1)×2n＋1]，
2Tn＝3×[2×23＋3×24＋4×25＋…＋(n＋1)×2n＋2]，
两式作差，得－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－(n＋1)×
2n＋2]＝3×4＋4（2n－1）2－1－（n＋1）×2n＋2＝－3n?2n＋2
所以Tn＝3n?2n＋2.
课件27张PPT。第二章 数 列
