A级 基础巩固
一、选择题
1．在等差数列{an}中，已知a4＋a5＝12，则S8等于( )
A．12 B．24 C．36 D．48
解析：由于a4＋a5＝12，故a1＋a8＝12，
又S8＝8（a1＋a8）2，所以S8＝8×122＝48.
答案：D
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d为( )
A．1 B.53 C．2 D．3
解析：因为S3＝（a1＋a3）×32＝6，而a3＝4，所以a1＝0，所以d＝a3－a12＝2.
答案：C
3．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )
A．9 B．10 C．19 D．29
解析：钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．
所以钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝n（n＋1）2.
当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210>200.
所以n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．
答案：B
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，则n＝( )
A．12 B．14 C．16 D．18
解析：因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，所以4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝n（a1＋an）2＝210，得n＝14.
答案：B
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a5a3＝59，则S9S5等于( )
A．1 B．－1
C．2 D.12
解析：S9S5＝92（a1＋a9）52（a1＋a5）＝9×2a55×2a3＝9a55a3＝95×59＝1.
答案：A
二、填空题
6．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a22＝－3，S5＝10，则a9的值是________．
解析：设等差数列{an}公差为d，由题意可得：
a1＋（a1＋d）2＝－3，5a1＋5×42d＝10，
解得a1＝－4，d＝3，
则a9＝a1＋8d＝－4＋8×3＝20.
答案：20
7．设等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＝6，S4＝12，则S6＝________．
解析：设数列{an}的公差为d，S3＝6，S4＝12，
所以3a1＋3×22d＝6，4a1＋4×32d＝12，
解得a1＝0，d＝2，
所以S6＝6a1＋6×52d＝30.
答案：30
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2a3，S5＝15，则
a2 019＝________．
解析：在等差数列{an}中，由S3＝2a3知3a2＝2a3，
而S5＝15，则a3＝3，于是a2＝2，从而其公差为1，首项为1，因此an＝n，故a2 019＝2 019.
答案：2 019
三、解答题
9．等差数列{an}中，a10＝30，a20＝50.
(1)求数列的通项公式；
(2)若Sn＝242，求n.
解：(1)设数列{an}的首项为a1，公差为d.
则a10＝a1＋9d＝30，a20＝a1＋19d＝50，解得a1＝12，d＝2.
所以an＝a1＋(n－1)d＝12＋(n－1)×2＝10＋2n.
(2)由Sn＝na1＋n（n－1）2 d以及a1＝12，d＝2，Sn＝242，得方程242＝12n＋n（n－1）2?2，
即n2＋11n－242＝0，
解得n＝11或n＝－22(舍去)．故n＝11.
10．已知等差数列的前三项依次为a，4，3a，前n项和为Sn，且Sk＝110.
(1)求a及k的值；
(2)设数列{bn}的通项公式为bn＝Snn，证明：数列{bn}是等差数列，并求其前n项和Tn.
(1)解：设该等差数列为{an}，则a1＝a，a2＝4，a3＝3a，
由已知有a＋3a＝8，得a1＝a＝2，
公差d＝4－2＝2，
所以Sk＝ka1＋k（k－1）2?d＝2k＋k（k－1）2×2＝k2＋k.
由Sk＝110，得k2＋k－110＝0，
解得k＝10或k＝－11(舍去)，
故a＝2，k＝10.
(2)证明：由(1)得Sn＝n（2＋2n）2＝n(n＋1)，
则bn＝Snn＝n＋1，
故bn＋1－bn＝(n＋2)－(n＋1)＝1，
又b1＝S1＝2，
即数列{bn}是首项为2，公差为1的等差数列，
所以Tn＝n（2＋n＋1）2＝n（n＋3）2.
B级 能力提升
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：因为an＝Sn－Sn－1＝2n－10(n≥2，n∈N*)，
a1＝S1＝－8符合上式，
所以an＝2n－10(n∈N*)．
由5<2k－10<8，得7.5又k∈N*，
所以k＝8.
答案：B
2．(2019?全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3＝5，a7＝13，则S10＝________．
答案：100
3．设数列{an}的前n项和为Sn，点n，Snn(n∈N*)均在函数y＝3x－2的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝3anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)依题意，得Snn＝3n－2，
即Sn＝3n2－2n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n2－2n)－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5；
当n＝1时，a1＝1也适合．
即an＝6n－5.
(2)由(1)得
bn＝3anan＋1＝3（6n－5）[6（n＋1）－5]＝1216n－5－16n＋1，
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝12[1－17＋17－113＋…＋16n－5－16n＋1]＝121－16n＋1＝3n6n＋1.
课件29张PPT。第二章 数 列 