A级 基础巩固
一、选择题
1．下列数列为等比数列的是( )
A．0，0，0，0，…
B．22，42，62，82，…
C．q－1，(q－1)2，(q－1)3，(q－1)4，…
D.1a，1a2，1a3，1a4，…
解析：A选项中，由于等比数列中的各项都不为0，所以该数列不是等比数列；B选项中，4222≠6242，所以该数列不是等比数列；C选项中，当q＝1时，数列为0，0，0，…，不是等比数列；D选项中的数列是首项为1a，公比为1a的等比数列，故选D.
答案：D
2．在等比数列{an}中，a2 019＝8a2 016，则公比q的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．8
解析：a2 019＝8a2 016＝a2 016?q3，
所以q3＝8，所以q＝2.
答案：A
3．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝( )
A．4×32n B．4×32n－1
C．4×23n D．4×23n－1
解析：由题意得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，
故a1＝4，a2＝6，所以q＝32，an＝4×32n－1.
答案：B
4．在数列{an}中，对任意n∈N*，都有an＋1－2an＝0，则2a1＋a22a3＋a4的值为( )
A.14 B.13 C.12 D．1
解析：a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1，a4＝8a1，
所以2a1＋a22a3＋a4＝4a116a1＝14.
答案：A
5．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log13(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－5 B．－15 C．5 D.15
解析：因为log3an＋1＝log3an＋1，所以an＋1＝3an，
又an≠0.
所以数列{an}是以3为公比的等比数列．
所以a2＋a4＋a6＝a2(1＋q2＋q4)＝9.
所以a5＋a7＋a9＝a5(1＋q2＋q4)＝a2q3?(1＋q2＋q4)＝35.
所以log1335＝－5.
答案：A
二、填空题
6．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝4，则数列{lg an}的通项公式为____________．
解析：因为a5＝a4q，所以q＝2，所以a1＝a4q3＝14，
所以an＝14?2n－1＝2n－3，所以lg an＝(n－3)lg 2.
答案：lg an＝(n－3)lg 2
7．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．
解析：因为a8＝a2q6，a6＝a2q4，a4＝a2q2，所以由a8＝a6＋2a4得a2q6＝a2q4＋2a2q2，消去a2q2，得到关于q2的一元二次方程(q2)2－q2－2＝0，解得q2＝2，q2＝－1(舍去)，所以a6＝a2q4＝1×22＝4.
答案：4
8．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则a2－a1b2的值为________．
解析：因为－1，a1，a2，－4成等差数列，设公差为d，
则a2－a1＝d＝13[(－4)－(－1)]＝－1，
因为－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，
所以b22＝(－1)×(－4)＝4，
所以b2＝±2.
若设公比为q，则b2＝(－1)q2，
所以b2＜0，所以b2＝－2，
所以a2－a1b2＝－1－2＝12.
答案：12
三、解答题
9．在等比数列{an}中．
(1)已知a1＝3，q＝－2，求a6；
(2)已知a3＝20，a6＝160，求an.
解：(1)由等比数列的通项公式得，
a6＝3×(－2)6－1＝－96.
(2)设等比数列的公比为q，
那么a1q2＝20，a1q5＝160，
解得q＝2，a1＝5.
所以an＝a1qn－1＝5×2n－1.
10．在各项均为负数的数列{an}中，已知2an＝3an＋1，且a2?a5＝827.
(1)求证：{an}是等比数列，并求出其通项．
(2)试问－1681是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．
(1)证明：因为2an＝3an＋1，
所以an＋1an＝23.
又因为数列{an}的各项均为负数，
所以a1≠0，
所以数列{an}是以23为公比的等比数列．
所以an＝a1?qn－1＝a1?23n－1.
所以a2＝a1?232－1＝23a1，
a5＝a1?235－1＝1681a1，
又因为a2?a5＝23a1?1681a1＝827，
所以a21＝94.
又因为a1<0，所以a1＝－32.
所以an＝－32×23n－1＝－23n－2(n∈N*)．
(2)解：令an＝－23n－2＝－1681，
则n－2＝4，n＝6∈N*，
所以－1681是这个等比数列中的项，且是第6项．
B级 能力提升
1．在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则an＝( )
A．2n－1 B．2n－1－1 C．2n－1 D．2(n－1)
解析：等式两边同时加1，得an＋1＋1＝2(an＋1)，所以数列{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，q＝2为公比的等比数列，所以an＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n－1.
答案：A
2．已知等比数列{an}为递增数列，a1＝－2，且3(an＋an＋2)＝
10an＋1，则公比q＝________．
解析：因为等比数列{an}为递增数列，且a1＝－2<0，
所以0又因为3(an＋an＋2)＝10an＋1，两边同除an，
可得3(1＋q2)＝10q，
即3q2－10q＋3＝0，解得q＝3或q＝13.
而0答案：13
3．设关于x的二次方程anx2－an＋1x＋1＝0(n＝1，2，3，…)有两根α和β，且满足6α－2αβ＋6β＝3.
(1)试用an表示an＋1；
(2)求证：an－23是等比数列；
(3)当a1＝76时，求数列{an}的通项公式及项的最大值．
(1)解：根据根与系数的关系，
得α＋β＝an＋1an，αβ＝1an.
代入题设条件6(α＋β)－2αβ＝3，
得6an＋1an－2an＝3.
所以an＋1＝12an＋13.
(2)证明：因为an＋1＝12an＋13，
所以an＋1－23＝12an－23.
若an＝23，则方程anx2－an＋1x＋1＝0可化为23x2－23x＋1＝0，
即2x2－2x＋3＝0.
此时Δ＝(－2)2－4×2×3<0，
所以an≠23，即an－23≠0.
所以数列an－23是以12为公比的等比数列．
(3)解：当a1＝76时，a1－23＝12，
所以数列an－23是以首项为12，公比为12的等比数列．
所以an－23＝12×12n－1＝12n，
所以an＝23＋12n，n＝1，2，3，…，
即数列{an}的通项公式为
an＝23＋12n，n＝1，2，3，….
由函数y＝12x在(0，＋∞)上单调递减知，当n＝1时，an的值最大，即最大值为a1＝76.
课件29张PPT。第二章 数 列
