A级 基础巩固
一、选择题
1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为( )
A．63 B．64 C．127 D．128
解析：设数列{an}的公比为q(q＞0)，则有a5＝a1q4＝16，
所以q＝2，数列的前7项和为S7＝a1（1－q7）1－q＝1－271－2＝127.
答案：C
2．设在等比数列{an}中，公比q＝2，前n项和为Sn，则S4a3的值为( )
A.154 B.152 C.74 D.72
解析：根据等比数列的公式，得S4a3＝a1（1－q4）（1－q）?a1q2＝（1－q4）（1－q）q2＝1－24（1－2）×22＝154.
答案：A
3．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )
A．190 B．191 C．192 D．193
解析：设最下面一层灯的盏数为a1，则公比q＝12，n＝7，由a11－1271－12＝381，解得a1＝192.
答案：C
4．已知数列{an}满足3an＋1＋an＝0，a2＝－43，则{an}的前10项和等于( )
A．－6(1－3－10) B.19(1－3－10)
C．3(1－3－10) D．3(1＋3－10)
解析：因为3an＋1＋an＝0，a2＝－43≠0，
所以an≠0，所以an＋1an＝－13，
所以数列{an}是以－13为公比的等比数列．
因为a2＝－43，所以a1＝4，
所以S10＝41－－13101－－13＝3(1－3－10)．
答案：C
5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足S2mSm＝9，a2mam＝5m＋1m－1，则数列{an}的公比为( )
A．－2 B．2 C．－3 D．3
解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则S2mSm＝2，与题中条件矛盾，故q≠1.
因为S2mSm＝a1（1－q2m）1－qa1（1－qm）1－q＝qm＋1＝9，所以qm＝8.
所以a2mam＝a1q2m－1a1qm－1＝qm＝8＝5m＋1m－1，
所以m＝3，所以q3＝8，
所以q＝2.
答案：B
二、填空题
6．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________．
解析：因为S99＝30，即a1(299－1)＝30，
数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，
所以a3＋a6＋a9＋…a99＝4a1（1－833）1－8＝4a1（299－1）7＝47×30＝1207.
答案：1207
7．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝1，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________．
解析：因为an＋1－an＝2n，应用累加法可得an＝2n－1，
所以Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
＝2＋22＋23＋…＋2n－n
＝2（1－2n）1－2－n
＝2n＋1－n－2.
答案：2n＋1－n－2
8．(2016?浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________．
解析：a1＋a2＝4，a2＝2a1＋1?a1＝1，a2＝3，
再由an＋1＝2Sn＋1，an＝2Sn－1＋1(n≥2)?an＋1－an＝2an?an＋1＝3an(n≥2)，又a2＝3a1，
所以an＋1＝3an(n≥1)，S5＝1－351－3＝121.
答案：1 121
三、解答题
9．在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.
(1)求an及其前n项和Sn；
(2)设bn＝1＋log3an，求数列1bn?bn＋1的前10项和T10.
解：(1)设{an}的公比为q，依题意得a1q＝3，a1q4＝81，解得a1＝1，q＝3.
因此，an＝3n－1，Sn＝1（1－3n）1－3＝3n－12.
(2)由(1)知bn＝1＋log3an＝1＋(n－1)＝n，
则1bnbn＋1＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1，
所以T10＝11×2＋12×3＋…＋110×11
＝1－12＋12－13＋…＋110－111
＝1－111＝1011.
10．数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.
(1)证明：数列ann是等差数列；
(2)设bn＝3n?an，求数列{bn}的前n项和Sn.
(1)证明：由已知可得an＋1n＋1＝ann＋1，
即an＋1n＋1－ann＝1，
所以ann是以a11＝1为首项，1为公差的等差数列．
(2)解：由(1)得ann＝1＋(n－1)?1＝n，
所以an＝n2.从而bn＝n?3n.
Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n?3n，①
3Sn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)?3n＋n?3n＋1.②
① —②得，－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n?3n＋1＝3?（1－3n）1－3－
n?3n＋1＝（1－2n）?3n＋1－32.
所以Sn＝（2n－1）?3n＋1＋34.
B级 能力提升
1．在等比数列{an}中，a1＋a2＋…＋an＝2n－1(n∈N*)，则a21＋a22＋…＋a2n等于( )
A．(2n－1)2 B.13(2n－1)2
C．4n－1 D.13(4n－1)
解析：a1＋a2＋…＋an＝2n－1，即Sn＝2n－1，则Sn－1＝2n－1－1(n≥2)，则an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝2n－1，a2n＝4n－1，所以a21＋a22＋…＋a2n＝13(4n－1)．
答案：D
2．等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋a2＋a3＋a4＝1，a5＋a6＋a7＋a8＝2，Sn＝15，则该数列的项数n＝________．
解析：a5＋a6＋a7＋a8a1＋a2＋a3＋a4＝（a1＋a2＋a3＋a4）q4a1＋a2＋a3＋a4＝q4＝2.
因为a1＋a2＋a3＋a4＝a1（1－q4）1－q＝a1（1－2）1－q＝－a11－q＝1，所以a11－q＝－1.
所以Sn＝a1（1－qn）1－q＝qn－1＝15，
所以qn＝16，即(q4)n4＝24，所以n4＝4，所以n＝16.
答案：16
3．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1＋2a2＝5，4a23＝a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝2，且bn＋1＝bn＋an，求数列{bn}的通项公式；
(3)设cn＝anbnbn＋1，求数列{cn}的前n项和Tn.
解：(1)设等比数列{an}的公比为q，由4a23＝a2a6得4a23＝a24，所以q2＝4，由条件可知q>0，故q＝2，由a1＋2a2＝5得a1＋2a1q＝5，所以a1＝1，故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
(2)由bn＋1＝bn＋an得bn＋1－bn＝2n－1，
故b2－b1＝20，b3－b2＝21，……，bn－bn－1＝2n－2(n≥2)，
以上n－1个等式相加得
bn－b1＝1＋21＋…＋2n－2＝1?（1－2n－1）1－2＝2n－1－1，
由b1＝2，所以bn＝2n－1＋1(n≥2)．
当n＝1时，符合上式，故bn＝2n－1＋1(n∈N*)．
(3)cn＝anbnbn＋1＝bn＋1－bnbnbn＋1＝1bn－1bn＋1，
所以Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝1b1－1b2＋1b2－1b3＋…＋1bn－1bn＋1＝1b1－1bn＋1＝12－12n＋1.
课件32张PPT。第二章 数 列
