A级 基础巩固
一、选择题
1．一个等差数列共有2n＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为( )
A．30 B．31 C．32 D．33
解析：中间项为an＋1.
S奇＝（a1＋a2n＋1）2?(n＋1)＝(n＋1)an＋1＝512.
S偶＝a2＋a2n2?n＝n?an＋1＝480.
所以an＋1＝S奇－S偶＝512－480＝32.
答案：C
2．等差数列{an}的公差d＝12且S100＝145，则a1＋a3＋a5＋…＋a99的值为( )
A．52.5 B．72.5 C．60 D．85
答案：C
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12为( )
A.310 B.13 C.18 D.19
解析：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9，构成一个新的等差数列，令S3＝1，S6－S3＝3－1＝2，所以S9－S6＝3，S12－S9＝4.
所以S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝1＋2＋3＋4＝10.
所以S6S12＝310.
答案：A
4．若数列{an}的前n项和是Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于( )
A．15 B．35 C．66 D．100
解析：易得an＝－1，n＝1，2n－5，n≥2.
|a1|＝1，|a2|＝1，|a3|＝1，
令an>0则2n－5>0，所以n≥3.
所以|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝－(a1＋a2)＋a3＋…＋a10
＝2＋(S10－S2)
＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.
答案：C
5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝－11，a5＋a9＝－2，则当Sn取最小值时，n＝( )
A．9 B．8 C．7 D．6
解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由a2＝－11，a5＋a9＝－2，得a1＋d＝－11，2a1＋12d＝－2，
解得a1＝－13，d＝2.所以an＝－15＋2n.
由an＝－15＋2n≤0，解得n≤152.
又n为正整数，所以当Sn取最小值时，n＝7.
答案：C
二、填空题
6．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝________．
解析：S3，S6－S3，S9－S6为等差数列，
即2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)．
因为S3＝9，S6－S3＝27，
所以S9－S6＝45，
所以a7＋a8＋a9＝S9－S6＝45.
答案：45
7．(2019?全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，a1≠0，a2＝3a1，则S10S5＝________．
答案：4
8．若等差数列{an}的前n项和为Sn(n∈N*)，若a2∶a3＝5∶2，则S3∶S5＝________．
解析：S3S5＝3（a1＋a3）5（a1＋a5）＝3a25a3＝35×52＝32.
答案：3∶2
三、解答题
9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝12，且S12＞0，S13＜0.
(1)求公差d的范围；
(2)问前几项的和最大，并说明理由．
解：(1)因为a3＝12，所以a1＝12－2d，
因为S12＞0，S13＜0，
所以12a1＋66d＞0，13a1＋78d＜0，即24＋7d＞0，3＋d＜0，
所以－247＜d＜－3.
(2)因为S12＞0，S13＜0，
所以a1＋a12＞0，a1＋a13＜0，所以a6＋a7＞0，a7＜0，
所以a6＞0.又由(1)知d＜0.
所以数列前6项为正，从第7项起为负．
所以数列前6项和最大．
10．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
解：法一 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sn＝na1＋n（n－1）2d.
由已知得10a1＋10×92d＝100，①100a1＋100×992d＝10，②
①×10－②，整理得d＝－1150，
代入①，得a1＝1 099100.
所以S110＝110a1＋110×1092d
＝110×1 099100＋110×1092×－1150
＝110×1 099－109×11100＝－110.
故此数列的前110项之和为－110.
法二 数列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100为等差数列，设公差为d′，则10S10＋10×92×d′＝S100＝10，
因为S10＝100，代入上式得d′＝－22，
所以S110－S100＝S10＋(11－1)×d′＝100＋10×(－22)＝－120，
所以S110＝－120＋S100＝－110.
法三 设等差数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn.
因为S10＝100，S100＝10，
所以102a＋10b＝100，1002a＋100b＝10，
所以a＝－11100，b＝11110，
所以Sn＝－11100n2＋11110n，
所以S110＝－11100×1102＋11110×110＝－110.
B级 能力提升
1．(2019?全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10
C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝12n2－2n
答案：A
2．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a2 003＋a2 004＞0，a2 003?a2 004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是________．
解析：由条件可知数列单调递减，故知
a2 003＞0，a2 004＜0，
故S4 006＝4 006（a1＋a4 006）2＝2 003?(a2 003＋a2 004)＞0，
S4 007＝4 007（a1＋a4 007）2＝4 007×a2 004＜0，
故使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是4 006.
答案：4 006
3．等差数列{an}的前n项和为Sn.已知a1＝10，a2为整数，且Sn≤S4.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝1anan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由a1＝10，a2为整数知，等差数列{an}的公差d为整数．
因为Sn≤S4，故a4≥0，a5≤0，
于是10＋3d≥0，10＋4d≤0.
解得－103≤d≤－52.
因此d＝－3.
数列{an}的通项公式为an＝13－3n.
(2)bn＝1（13－3n）（10－3n）＝13110－3n－113－3n，
于是Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1317－110＋14－17＋
…＋110－3n－113－3n＝13(110－3n－110)＝n10（10－3n）.
课件36张PPT。第二章 数 列
