A级 基础巩固
一、选择题
1．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是( )
A．lg(x2＋1)≥lg(2x) B．x2＋1＞2x
C.≤1 D．x＋≥2
解析：对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x＜0时，不成立．对于C，x2＋1≥1，所以≤1成立．
答案：C
2．若a≥0，b≥0且a＋b＝2，则( )
A．ab≤ B．ab≥
C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3
解析：因为a2＋b2≥2ab，
所以(a2＋b2)＋(a2＋b2)≥(a2＋b2)＋2ab，
即2(a2＋b2)≥(a＋b)2＝4，
所以a2＋b2≥2.
答案：C
3．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则( )
A.＞ B.＜
C.＝ D.≤
解析：因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d＞0且不相等，所以b＋c＞2，故＞.
答案：A
4．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )
A．a2＋b2≥2|ab|
B．a2＋b2＝2|ab|
C．a2＋b2≤2|ab|
D．a2＋b2＞2|ab|
解析：因为a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，
所以a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号成立)．
答案：A
5．若a>b>0，则下列不等式中总成立的是( )
A.<< B.≥≥
C.>> D.<<
解析：a>b>0，>，<＝.
从而>>.
答案：C
二、填空题
6．设正数a，使a2＋a－2>0成立，若t>0，则logat____loga(填“>”“≥”“≤”或“<”)．
解析：因为a2＋a－2>0，所以a>1或a<－2(舍)，
所以y＝logax是增函数，
又≥，所以loga≥loga＝logat.
答案：≤
7．设a>0，b>0，给出下列不等式：
①a2＋1>a；②≥4；
③(a＋b)≥4；④a2＋9>6a.
其中恒成立的是________(填序号)．
答案：①②③
8．若0＜a＜b且a＋b＝1，试判断、a、b、2ab、a2＋b2的大小顺序：_________________________________________________.
解析：因为0＜a＜b，a＋b＝1，
所以a＜＜b， ①
2ab＜a2＋b2， ②
下面寻找②中数值在①中的位置．
因为a2＋b2＞2＝，
a2＋b2＝a·a＋b2＜a·b＋b2＝(1－b)b＋b2＝b，
所以＜a2＋b2＜b.
又2ab＜2＝，2ab＞2×a＝a，
所以a＜2ab＜.
所以a＜2ab＜＜a2＋b2＜b.
答案：a＜2ab＜＜a2＋b2＜b
三、解答题
9．已知a，b，c都是非负实数，试比较＋＋与(a＋b＋c)的大小．
解：对，，分别利用不等式2(a2＋b2)≥(a＋b)2，即可比较出二者的大小．
因为a2＋b2≥2ab，
所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，
当且仅当a＝b时，等号成立．
又因为a，b都是非负实数，
所以≥(a＋b)，当且仅当a＝b时，等号成立.
同理≥(b＋c)，当且仅当b＝c时，等号成立，≥(c＋a)，当且仅当a＝c时，等号成立．
所以＋＋≥[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝(a＋b＋c)，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
故＋＋≥(a＋b＋c)．
10．已知a，b，c为不全相等的正实数，则abc＝1.
求证：＋＋＜＋＋.
证明：因为 a，b，c都是正实数，且abc＝1，
所以＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
＋≥2＝2，
以上三个不等式相加，得
2≥2(＋＋)，
因为a，b，c为不全相等实数，
所以＋＋＜＋＋.
B级 能力提升
1．设f(x)＝ln x，0
A．q＝rp
C．p＝rq
解析：因为0，
又因为f(x)＝ln x在(0，＋∞)上为增函数，
故f >f()，即q>p.
又r＝(f(a)＋(b))＝(ln a＋ln b)
＝ln a＋ln b＝ln.
＝f()＝p.
故p＝r答案：C
2．有下列不等式：①a2＋1>2a；②≥2；③≥2；④x2＋≥1，其中正确的是________(填序号)．
解析：因为a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以a2＋1≥2a，故①不正确．对于②，当x>0时，＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取“＝”)；当x<0时，＝－x－≥2(当且仅当x＝－1时取“＝”)，所以②正确．对于③，若a＝b＝－1，则＝－2<2，故③不正确．对于④，x2＋＝x2＋1＋－1≥1(当且仅当x＝0时取“＝”)，故④正确．
答案：②④
3．设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1.证明：
(1)ab＋bc＋ac≤；
(2)＋＋≥1.
证明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.
得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
由题设得(a＋b＋c)2＝1，
即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.
所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.
(2)因为＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c.
故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.
课件28张PPT。第三章 不等式
