3. 1.1空间向量及其运算（一）
教学目标：
㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；
㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会
用联系的观点看待事物．
教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．
教学难点：应用向量解决立体几何问题．
教学方法：讨论式．
教学过程：
Ⅰ.复习引入
［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？
［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：．
［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．
［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：
⒈向量的加法：
⒉向量的减法：
⒊实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|
(2)当λ＞0时，λa与a同向；
当λ＜0时，λa与a反向；
当λ＝0时，λa＝0.
［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？
［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本
Ⅱ.新课讲授
［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？
［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．
［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？
［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：
=a+b，
（指向被减向量），
λa
［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．
［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：
⑴加法交换律：a + b = b + a；
⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）
⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb．
［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
．
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．
例１已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
说明：平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．
平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．
说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．
例2、如图中，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1体对角线的交点，点P是任意一点，则．
分析：
将要证明等式的左边分解成两部分：与，第一组向量和中各向量的终点构成平行四边形ABCD，第二组向量和中的各向量的终点构成平行四边形A1B1C1D1，于是我们就想到了应该先证明：
将以上所述结合起来就产生了本例的证明思路．
解答：
设E，E1分别是平行六面体的面ABCD与A1B1C1D1的中心，于是有
点评：
在平面向量中，我们证明过以下命题：已知点O是平行四边形ABCD对角线的交点，点P是平行四边形ABCD所在平面上任一点，则，本例题就是将平面向量的命题推广到空间来．
Ⅲ.巩固练习
Ⅳ. 教学反思
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．
关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．
Ⅴ.课后作业
⒈课本 1、2、
⒉预习下一节：
⑴怎样的向量叫做共线向量？
⑵两个向量共线的充要条件是什么？
⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？
⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？
⑸怎样的向量叫做共面向量？
⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？
⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？
3.1.1空间向量及其运算（一）
课前预习学案
预习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
预习内容：1.———————————————叫空间向量．
空间向量的表示方法有： -------------------
2． --------------------------叫相等向量
3.空间向量的运算法则：——————————————————
提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：
㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；
㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
学习重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．
学习难点：应用向量解决立体几何问题．
学习过程：
例１已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
例2、如图中，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1体对角线的交点，点P是任意一点，则．
当堂检测：
1、下列说法中正确的是（ ）
A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同
B．若非零向量与是共线向量，则A、B、C、D四点共线
C．若
D．四边形ABCD是平行四边形的充要条件是=
2、已知空间四边形ABCD，连AC，BD，设M、G分别是BC、CD中点，则（ ）
A． B． C． D．
3、如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是 （ ）
五、课后练习与提高：
1．对于空间任意一点和不共线三点，点满足是点共面的 （ ）
充分不必要条件 必要不充分条件
充要条件 既不充分也不必要条件
2．已知正方体，点分别是上底面和侧面的中心，求下列各式中的的值：
（1），则 ；
（2），则 ； ；
（3），则 ； ；
3．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并填上化简后的结果向量：
（1） ；（2） 。
4．设是平行六面体，是底面的中心，是侧面对角线上的点，且，设，试求的值。
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．对于空间中任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是( )
A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量
【解析】 由共面向量定理易得答案A.
【答案】 A
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【解析】 ＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，＝－＝－a－2b，∴＝－2，
∴与共线，
又它们经过同一点B，
∴A，B，D三点共线．
【答案】 A
3．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断
【解析】 ∵＋＋＝1，
∴点P，A，B，C四点共面．
【答案】 B
4．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，用向量，，表示向量的结果为( )
图3-1-11
A.＝－＋
B.＝＋－
C.＝＋－
D.＝＋＋
【解析】 ＝＋＋＝－＋＋.故选B.
【答案】 B
5．如图3-1-12，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( )
图3-1-12
A.＋＋＝0
B.－－＝0
C.＋－＝0
D.－＋＝0
【解析】 由题图观察，、、平移后可以首尾相接，故有＋＋＝0.
【答案】 A
二、填空题
6．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．(填序号)
①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．
【解析】 当λ＝0时，a＝μe2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μe2知，a与e1，e2共面．
【答案】 ①②③
7．已知O为空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z的值为________．
【解析】 由题意知A，B，C，D共面的充要条件是对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得＝x1＋y1＋z1，且x1＋y1＋z1＝1，因此2x＋3y＋4z＝－1.
【答案】 －1
8．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.
【解析】 由已知可得：＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵A，B，D三点共线，
∴与共线，即存在λ∈R使得＝λ.
∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，
∵e1，e2不共线，
∴解得k＝－8.
【答案】 －8
三、解答题
9．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x，y的值．
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
【解】 如图所示，
(1)∵＝－
＝－(＋)
＝－－，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，
∴＝2－.
又∵＋＝2，
∴＝2－.
从而有＝2－(2－)
＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
10.如图3-1-13，四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．
图3-1-13
【解】 ∵M，N分别是AC，BF的中点，
又四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋.
又∵＝＋＋＋＝－＋－－，
∴＋＋＝－＋－－.
∴＝＋2＋＝2(＋＋)，
∴＝2，∴∥，即与共线．
[能力提升]
1．若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.
【答案】 C
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必( )
A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内
C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内
【解析】 由于＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C.
【答案】 C
3．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μ e2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________.
①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．
【解析】 当λ＝0时，a＝μ e2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μ e2，知a与e1，e2共面．
【答案】 ①②③
4.如图3-1-14所示，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点．试判断向量与向量，是否共面．
图3-1-14
【解】 由题图可得：＝＋＋， ①
∵＝＋＋， ②
又＝－，＝－，
所以①＋②得：
2＝＋，
即＝＋，故向量与向量，共面.
第三章 空间向量与立体几何
§3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
课时目标
1．理解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示．
2．掌握空间向量的加减运算及其运算律，能借助图形理解空间向量及其运算的意义．
2．几类特殊向量
(1)零向量：____________的向量叫做零向量，记为________．
(2)单位向量：________的向量称为单位向量．
(3)相等向量：方向________且模________的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量．
(4)相反向量：与向量a长度______而方向________的向量，称为a的相反向量，记为________．
3．空间向量的加减法与运算律
空间向量
的加减法
类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：
＝＋＝__________；＝－＝________.
加法运
算律
(1)交换律：a＋b＝________
(2)结合律：(a＋b)＋c＝____________.；
一、选择题
1．下列命题中，假命题是( )
A. 向量与的长度相等
B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共线的单位向量都相等
2.如图所示，平行四边形ABCD的对角线的交点为O，则下列等式成立的是( )
A. ＋＝ B. ＋＝
C. －＝ D. －＝
3.已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点且2＋＋=0，则等于( )
A. B. C. D.2
4.已知向量，，满足||＝||＋||，则( )
A. ＝＋ B. ＝－－
C. 与同向 D. 与与同向
5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，向量表达式-+化简后的结果是( )
A. B. C. D.
6．平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( )
A.＋＋＝0 B. －－＝0
C.＋－＝0 D.－＋＝0
二、填空题
7.在平行六面体ABCD－A’B’C’D’中，与向量的模相等的向量有________个．
8.若G为△ABC内一点，且满足＋＋＝0，则G为△ABC的________．(填“外心”“内心”“垂心”或“重心”)
9．判断下列各命题的真假：
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；
④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．
其中假命题的个数为________．
三、解答题
10．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一条直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝；⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件．
11.如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点，请化简：＋＋，(2)＋＋，并标出化简结果的向量．
能力提升
12.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
13．证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分．
1．在掌握向量加减法的同时，应首先掌握有特殊位置关系的两个向量的和或差，如共线、共起点、共终点等．
2．通过掌握相反向量，理解两个向量的减法可以转化为加法．
3．注意向量的三角形法则和平行四边形法则的要点．对于向量加法运用平行四边形法则要求两向量有共同起点，运用三角形法则要求向量首尾顺次相连．对于向量减法要求两向量有共同的起点．
4．a－b表示的是由b的终点指向a的终点的一条有向线段．
第三章 空间向量与立体几何
§3.1 空间向量及其运算
3．1.1 空间向量及其加减运算
知识梳理
1．大小 方向 (2)大小 模 (3)①有向线段
②
2．(1)长度为0 0 (2)模为1 (3)相同 相等
(4)相等 相反 －a
3．a＋b a－b (1)b＋a (2)a＋(b＋c)
作业设计
1．D [共线的单位向量是相等向量或相反向量．]
2．D [－＝＝.]
3．C [∵D为BC边中点，∴＋＝2，
∴＋＝0，∴＝.]
4．D [由||＝||＋||＝||＋||，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以与同向．]
5．A
[如图所示，
∵＝，1－
＝－＝，
＋＝1，
∴－＋＝.]
6．A [观察平行六面体ABCD—A1B1C1D1可知，向量，，平移后可以首尾相连，于是＋＋＝0.]
7．7
解析 ||＝||＝||＝||＝||
＝||＝||＝||.
8．重心
解析
如图，取BC的中点O，AC的中点D，连结OG、DG.由题意知＝－－＝＋＝2，同理＝2，故G为△ABC的重心．
9．3
解析 ①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．
10．解 ①不正确，共线向量即平行向量，只要求两个向量方向相同或相反即可，并不要求两个向量，在同一条直线上．②不正确，单位向量模均相等且为1，但方向并不一定相同．③不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的．④正确．⑤正确．
11．解 (1) ＋＋＝＋＝.
(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点．
∴＝，＝.
∴＋＋
＝＋＋＝.
故所求向量，，如图所示．
12．D [＝＋＝a＋
＝a＋(b－a)＝a＋b.]
13．证明
如图所示，平行六面体ABCD—A′B′C′D′，设点O是AC′的中点，
则＝
＝(＋＋)．
设P、M、N分别是BD′、CA′、DB′的中点．
则＝＋＝＋
＝＋(＋＋)
＝＋(－＋＋)
＝(＋＋)．
同理可证：＝(＋＋)
＝(＋＋)．
由此可知O，P，M，N四点重合．
故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分．
课件34张PPT。第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算 ⒈定义：既有大小又有方向的量叫向量． 几何表示法：用有向线段表示.字母表示法：用字母a,b等或者用有向线段
的起点与终点字母 表示．相等的向量： 长度相等且方向相同的向量． 引入 复习平面向量⑴向量的加法：平行四边形法则三角形法则(首尾相连)⒉平面向量的加减法运算⑵向量的减法三角形法则 减向量终点指向被减向量终点看下面建筑 这个建筑钢架中有很多向量，但它们有些并不在同一平面内——这就是我们今天要学习的空间向量.1. 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.
2. 了解空间向量的概念.
3. 掌握空间向量的加减运算. （重点） 1. 空间向量
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量（space vector ）.
向量的大小叫做向量的长度或模 (modulus).探究点1 概念2. 空间向量的表示 （1）我们规定，长度为0的向量叫做零向量
（zero vector），记为 .当有向线段的起点A与
终点B重合时，AB= .
（2）模为1的向量称为单位向量（unit
vector）.
（3）两个向量不能比较大小，因为决定向量
的两个因素是大小和方向，其中方向不能比较大
小.提升总结 3. 相反向量
与向量 长度相等而方向相反的向量,
称为 的相反向量，记为 – .
4. 相等向量（equal vector）
方向相同且模相等的向量称为相等向量. （1）空间的一个平移就是一个向量.
（2）向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 .
（3）空间的两个向量可用同一平面内的
两条有向线段来表示. 提升总结 结论：空间任意两个向量都是共面向量，
所以它们可用同一平面内的两条有向线段表示.1. 空间向量的加减运算
由于任意两个空间向量都能平移到同一空间，所以空间向量的加减运算与平面向量的加减运算相同.探究点2 空间向量的加减运算a-ba+baboABC加法: OB=OA+AB=a+b，
减法：CA=OA-OC=a-b.2. 空间向量的加法运算律
（1）加法交换律
a + b = b + a
（2）加法结合律
(a + b) + c = a + (b + c) 你能证明下列性质吗？证明加法交换律:aa+baboABCb因为 OA = CB = a，
AB = OC = b，
所以 a + b = b + a.证明加法结合律:因为 OC=OB+BC=(OA+AB)+BC=(a+b)+c,
OC=OA+AC=OA+(AB+BC)=a+(b+c),
所以 (a + b) + c = a + (b + c). (1)空间向量的运算就是平面向量运算的推广.
(2)两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立.
(3)空间向量的加法运算可以推广至若干个向量相加.3.对空间向量的加减法的说明4.扩展 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由
起始向量的起点指向末尾向量的终点的量．
即： （2）首尾相接的若干向量构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：例 已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量.解:..提升总结
始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的体对角线所表示的向量.1.给出以下命题：
（1）两个空间向量相等，则它们的起点、终点相同.
（2）若空间向量 满足 ，则 .
（3）在正方体 中，必有 .
（4）若空间向量 满足 ，
则 .
（5）空间中任意两个单位向量必相等.
其中不正确命题的个数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4C②③答案：②③D提升总结
1.两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．
2.熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法满足的运算法则及运算律是解决好这类问题的关键．一、回顾本节课你有什么收获？1.空间向量的概念.
在空间，具有大小和方向的量.
2.空间向量的加减运算.
空间向量的加减运算应用三角形法则和平行四边形法则.3.空间向量的加法符合交换律，结合律.
4.平面向量与空间向量.
空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.
因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们. 字母表示法 向量的大小平面向量空间向量具有大小和方向的量在空间，具有大小和方向的量 几何表示法几何表示法字母表示法 向量的大小二、空间向量的基本概念平面向量空间向量 长度为零的向量 长度为零的向量模为1的向量模为1的向量长度相等且方向
相反的向量长度相等且方向
相反的向量方向相同且模相等的向量方向相同且模相等的向量加法:三角形法则或
平行四边形法则减法:三角形法则加法交换律加法结合律三、空间向量的加法、减法运算 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行.第三章 空间向量与立体几何
课题：空间向量及其运算（1）
课时：01
课型：新授课
教学目标：
㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律；
㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法；
⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；
⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题．
㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会
用联系的观点看待事物．
教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律．
教学难点：应用向量解决立体几何问题．
教学方法：讨论式．
教学过程：
Ⅰ.复习引入
［师］在必修四的第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？
［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：．
［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．
［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：
⒈向量的加法：
⒉向量的减法：
⒊实数与向量的积：
实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝|λ||a|
(2)当λ＞0时，λa与a同向；
当λ＜0时，λa与a反向；
当λ＝0时，λa＝0.
［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？
［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律
加法交换律：a＋b＝b＋a
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c）
数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb
［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本P26～P27．
Ⅱ.新课讲授
［师］如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量．例如空间的一个平移就是一个向量．那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？
［生］与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量．
［师］由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．
［师］空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？
［生］空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：
=a+b，
（指向被减向量），
λa
［师］空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律．
［生］空间向量加法与数乘向量有如下运算律：
⑴加法交换律：a + b = b + a；
⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）
⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb．
［师］空间向量加法的运算律要注意以下几点：
⑴首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量．即：
因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量．
⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量．即：
．
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立．
因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则．
例１已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：
说明：平行四边形ABCD平移向量 a 到A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体．记作ABCD—A’B’C’D’．
平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱．
解：（见课本P27）
说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广．
Ⅲ.巩固练习
课本P92 练习
Ⅳ. 教学反思
平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移．
关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法．
Ⅴ.课后作业
本P107 1、2、
⒉预习课本P92～P96，预习提纲：
⑴怎样的向量叫做共线向量？
⑵两个向量共线的充要条件是什么？
⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？
⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？
⑸怎样的向量叫做共面向量？
⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？
⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？
板书设计：
§9.5 空间向量及其运算（一）
平面向量复习 二、空间向量 三、例1
⒈定义及表示方法 ⒈定义及表示
⒉加减与数乘运算 ⒉加减与数乘向量 小结
⒊运算律 ⒊运算律
教学后记：
课件31张PPT。3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算自主学习 新知突破1．经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念．
2．掌握空间向量的加法、减法运算法则及其表示．
3．理解并掌握空间向量的加、减法的运算律． 李老师下班回家，先从学校大门口骑自行车向北行驶1 000 m，再向东行驶1 500 m，最后乘电梯上升15 m到5楼的住处，在这个过程中，李老师从学校大门口回到住处所发生的总位移就是三个位移的合成(如右图所示)，它们是不在同一平面内的位移，如何刻画这样的位移呢？
[问题1] 李老师的位移是空间向量吗？
[提示1] 是．
[问题2] 空间向量的加法与平面向量类似吗？
[提示2] 类似．空间向量大小 方向 大小 模 有向线段 特殊向量理解特殊向量应注意的几个问题
(1)零向量和单位向量均是从向量模的角度进行定义的，|0|＝0，单位向量e的模|e|＝1.
(2)零向量不是没有方向，它的方向是任意的．
(3)注意零向量的书写，必须是0这种形式．
(4)两个向量不能比较大小．空间向量的加减法与运算律a＋b a－b 空间向量与平面向量的加减运算的联系
(1)空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面内的两个向量，因而空间任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加、减法运算．
(2)向量加法的平行四边形法则在空间仍成立，在运用三角形法则或平行四边形法则求两个向量的和或差向量时要注意起点和终点；a－b表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．2．如图所示，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析： 共四个：AB，A1B1，CD，C1D1.
答案： D
3．两向量共线是两向量相等的________条件．
解析： 两向量共线就是两向量同向或反向，包含相等的情况．
答案： 必要不充分合作探究 课堂互动空间向量的有关概念
思路点拨： 空间向量的概念与平面向量的概念相类似，平面向量的其他有关概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、单位向量等都可以扩展为空间向量的相应概念． (1)熟练掌握好空间向量的概念，零向量，单位向量，相等向量，相反向量的含义以及向量加减法的运算法则和运算律是解决问题的关键；只要两个向量的方向相同、模相等，这两个向量就相等，起点和终点未必对应相同，即起点和终点对应相同是两个向量相等的充分不必要条件．
(2)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素：大小和方向，两者缺一不可，相互制约． 答案： B 已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1，化简下列各向量表达式，并标出化简结果的向量．空间向量的加减运算 (1)计算两个空间向量的和或差时，与平面向量完全相同．运算中掌握好三角形法则和平行四边形法则是关键．
(2)计算三个或多个空间向量的和或差时，要注意以下几点：
①三角形法则和平行四边形法则；
②正确使用运算律；
③有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量即表示这有限个向量的和向量． 谢谢观看！
