3. 1.2空间向量及其运算（2）
教学目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．
教学重、难点：共线、共面定理及其应用．
教学过程：
（一）复习：空间向量的概念及表示；
（二）新课讲解：
1．共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：．
2．共线向量定理：
对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）．
推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，其中向量叫做直线的方向向量。在上取，则①式可化为或②
当时，点是线段的中点，此时③
①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段的中点公式．
3．向量与平面平行：
已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
说明：空间任意的两向量都是共面的．
4．共面向量定理：
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使．
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①
上面①式叫做平面的向量表达式．
（三）例题分析：
例1．已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，
试判断：点与是否一定共面？
解：由题意：，
∴，
∴，即，
所以，点与共面．
说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式 （其中）的四点是否共面？
解：∵，
∴，
∴，∴点与点共面．
例2．已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴
所以，平面平面．
课堂练习：
课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；
2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．
作业：
1．已知两个非零向量不共线，如果，，，
求证：共面．
2．已知，，若，求实数的值。
3．如图，分别为正方体的棱的中点，
求证：（1）四点共面；（2）平面平面．
4．已知分别是空间四边形边的中点，
（1）用向量法证明：四点共面；
（2）用向量法证明：平面．
3.1.2空间向量及其运算（2）
课前预习学案
预习目标：1.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式
预习内容：
⑴怎样的向量叫做共线向量？
⑵两个向量共线的充要条件是什么？
⑶空间中点在直线上的充要条件是什么？
⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式？
⑸怎样的向量叫做共面向量？
⑹向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？
⑺空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？
提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．
学习重、难点：共线、共面定理及其应用．
学习过程：
例1．已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，
试判断：点与是否一定共面？
【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式 （其中）的四点是否共面？
．
例2．已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
当堂检测：
1、如图中，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且分所成的定比为2，现用基向量（ ）
A． B．
C． D．
2．下列命题正确的是 （ ）
若与共线，与共线，则与共线；
向量共面就是它们所在的直线共面；
零向量没有确定的方向；
若，则存在唯一的实数使得；
3．已知A、B、C三点不共线，O是平面ABC外的任一点，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是 （ ）
4．已知两个非零向量不共线，如果，，，
求证：共面．
课堂练习与提高：
1．已知，，若，求实数的值。
2．如图，分别为正方体的棱的中点，
求证：（1）四点共面；（2）平面平面．
3．已知分别是空间四边形边的中点，
（1）用向量法证明：四点共面；
（2）用向量法证明：平面．
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．对于空间中任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是( )
A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量
【解析】 由共面向量定理易得答案A.
【答案】 A
2．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
【解析】 ＝＋＝－5a＋6b＋7a－2b＝2a＋4b，＝－＝－a－2b，∴＝－2，
∴与共线，
又它们经过同一点B，
∴A，B，D三点共线．
【答案】 A
3．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断
【解析】 ∵＋＋＝1，
∴点P，A，B，C四点共面．
【答案】 B
4．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，用向量，，表示向量的结果为( )
图3-1-11
A.＝－＋
B.＝＋－
C.＝＋－
D.＝＋＋
【解析】 ＝＋＋＝－＋＋.故选B.
【答案】 B
5．如图3-1-12，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则( )
图3-1-12
A.＋＋＝0
B.－－＝0
C.＋－＝0
D.－＋＝0
【解析】 由题图观察，、、平移后可以首尾相接，故有＋＋＝0.
【答案】 A
二、填空题
6．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________．(填序号)
①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．
【解析】 当λ＝0时，a＝μe2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μe2知，a与e1，e2共面．
【答案】 ①②③
7．已知O为空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且＝2x＋3y＋4z，则2x＋3y＋4z的值为________．
【解析】 由题意知A，B，C，D共面的充要条件是对空间任意一点O，存在实数x1，y1，z1，使得＝x1＋y1＋z1，且x1＋y1＋z1＝1，因此2x＋3y＋4z＝－1.
【答案】 －1
8．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.
【解析】 由已知可得：＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵A，B，D三点共线，
∴与共线，即存在λ∈R使得＝λ.
∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，
∵e1，e2不共线，
∴解得k＝－8.
【答案】 －8
三、解答题
9．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x，y的值．
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
【解】 如图所示，
(1)∵＝－
＝－(＋)
＝－－，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，
∴＝2－.
又∵＋＝2，
∴＝2－.
从而有＝2－(2－)
＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
10.如图3-1-13，四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．
图3-1-13
【解】 ∵M，N分别是AC，BF的中点，
又四边形ABCD、四边形ABEF都是平行四边形，
∴＝＋＋＝＋＋.
又∵＝＋＋＋＝－＋－－，
∴＋＋＝－＋－－.
∴＝＋2＋＝2(＋＋)，
∴＝2，∴∥，即与共线．
[能力提升]
1．若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则有＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.
【答案】 C
2．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有＝＋7＋6－4，那么M必( )
A．在平面BAD1内 B．在平面BA1D内
C．在平面BA1D1内 D．在平面AB1C1内
【解析】 由于＝＋7＋6－4＝＋＋6－4＝＋＋6－4＝＋6(－)－4(－)＝11－6－4，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C.
【答案】 C
3．已知两非零向量e1，e2，且e1与e2不共线，若a＝λe1＋μ e2(λ，μ∈R，且λ2＋μ2≠0)，则下列三个结论有可能正确的是________.
①a与e1共线；②a与e2共线；③a与e1，e2共面．
【解析】 当λ＝0时，a＝μ e2，故a与e2共线，同理当μ＝0时，a与e1共线，由a＝λe1＋μ e2，知a与e1，e2共面．
【答案】 ①②③
4.如图3-1-14所示，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点．试判断向量与向量，是否共面．
图3-1-14
【解】 由题图可得：＝＋＋， ①
∵＝＋＋， ②
又＝－，＝－，
所以①＋②得：
2＝＋，
即＝＋，故向量与向量，共面.
3.1.2 空间向量的数乘运算
课时目标 1.掌握空间向量数乘运算的定义和运算律，了解共线(平行)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.2.能理解共线向量定理和共面向量定理及其推论，并能运用它们证明空间向量的共线和共面的问题．
1．空间向量的数乘运算
(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积仍然是一个向量，记作________，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方向________；当λ<0时，λa与向量a方向________；λa的长度是a的长度的________倍．
(2)空间向量的数乘运算满足分配律与结合律．
分配律：______________；结合律：______________.
2．共线向量
(1)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相________或________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(2)对空间任意两个向量a、b(b≠0)，a∥b的充要条件是________________．
(3)
方向向量：如图l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使____________，其中向量a叫做直线l的方向向量．
3．共面向量
(1)共面向量：平行于________________的向量，叫做共面向量．
(2)如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使__________．空间内一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使______________．
对空间任意一点O，点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使________________．
一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．零向量没有确定的方向
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
2．满足下列条件，能说明空间不重合的A、B、C三点共线的是( )
A. ＋＝ B. －＝
C.＝ D.||＝||
3.如图，空间四边形OABC中，M、N分别是OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG=2GN，则=x＋y＋z，则( )
A．x＝，y＝，z＝
B．x＝，y＝，z＝
C．x＝，y＝，z＝
D．x＝，y＝，z＝
4．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是( )
A. ＝2－－
B. ＝＋＋
C. ＋＋＝0
D. ＋＋＋＝0
5.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量，，是( )
A．有相同起点的向量 B．等长向量
C．共面向量 D．不共面向量
6．下列命题中是真命题的是( )
A．分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反
C.若向量,，满足||>||，且与同向，则>
D.若两个非零向量与满足＋＝0，则∥
二、填空题
7.在空间四边形ABCD中，连结AC、BD,若△BCD是正三角形，且E为其中心，则＋－－的化简结果为________．
8.在正四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______________(用a，b，c表示)．
9.已知P和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，都有＝2＝2＋＋λ，则λ＝________.
三、解答题
10．已知ABCD—A′B′C′D′是平行六面体．
(1)化简＋＋；
(2)设M是底面ABCD的中心，N是侧面BC C′ B′对角线B C′上的分点，设＝α＋β＋γ，试求α，β，γ的值．
11．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M，N，P，Q四点共面．
能力提升
12.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1 中，M为AC与BD的交点，若＝a， ＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a－b＋c D．－a－b＋c
13.如图所示，已知点O是平行六面体ABCD－A1B1C1D1 对交线的交点，点P是空间任意一点.试探求＋＋＋＋＋＋＋与的关系．
1．向量共线的充要条件及其应用
(1)利用向量共线判定a，b所在的直线平行．
(2)利用向量共线可以证明三点共线．
2．利用共面向量的充要条件可以证明空间四点共面．
3．1.2 空间向量的数乘运算
知识梳理
1．(1)λa 相同 相反 |λ| (2)λ(a＋b)＝λa＋λb λ(μa)＝(λμ)a
2．(1)平行 重合 (2)存在实数λ，使a＝λb
(3) ＝＋ta
3．(1)同一个平面
(2)p＝xa＋yb ＝x＋y
＝＋x＋y
作业设计
1．C [A中，若b＝0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ.]
2．C [由＝知与共线，又因有一共同的点B，故A、B、C三点共线．]
3．D [∵＝＋＝＋，①
＝＋＋，②
＝＋＋，③
又＝－，＝－2，
∴①＋②＋③，得3＝＋＋，
即x＝，y＝，z＝.]
4．C [∵＋＋＝0，∴＝－－.
∴M与A、B、C必共面．只有选项C符合．]
5．C [
如图所示，因为－＝，而＝，
∴－＝，
即＝＋，
而与不共线，所以，，三向量共面．]
6．D [A错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面．
B错．因为|a|＝|b|仅表示a与b的模相等，与方向无关．
C错．因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有>这种写法．
D对．∵＋＝0，∴＝－，∴与共线，故∥正确．]
7．0
解析
如图，取BC的中点F，连结DF，则＝，
∴＋－－＝＋－＋＝＋＋＝0.
8.a＋b＋c
解析
如图，＝(＋)
＝＋×(＋)
＝a＋b＋c.
9．－2
解析 P与不共线三点A，B，C共面，
且＝x＋y＋z (x，y，z∈R)，
则x＋y＋z＝1是四点共面的充要条件．
10．解 (1)方法一 取AA′的中点为E，
则＝.
又＝，＝，取F为D′C′的一个三等分点
(D′F＝D′C′)，
则＝.
∴＋＋
＝＋＋＝.
方法二 取AB的三等分点P使得＝，
取CC′的中点Q，则＋＋
＝＋＋＝＋＋
＝＋＋＝.
(2)连结BD，则M为BD的中点，
＝＋
＝＋
＝(＋)＋(＋)
＝(－＋)＋(＋)
＝＋＋.
∴α＝，β＝，γ＝.
11．证明 ∵＝，＝，
∴＝2，＝2.
又∵＝＋＋
＝＋＋(＋)
＝(＋)＋＋(＋)
＝(＋)，①
又A，B，C及A1，B1，C1分别共线，
∴＝λ＝2λ，＝ω＝2ω.
代入①式，得＝(2λ＋2ω)
＝λ＋ω.
∴，，共面．∴M，N，P，Q四点共面．
12．A [＝＋＝＋
＝c＋(＋)＝－＋＋c
＝－a＋b＋c.]
13．解
设E、E1分别是平行六面体的面ABCD与A1B1C1D1的中心，
于是有＋＋＋＝(＋)＋(＋)
＝2＋2＝4，
同理可证：＋＋＋＝4，
又因为平行六面体对角线的交点O是EE1的中点，所以＋＝2，
所以＋＋＋＋＋＋＋＝4＋4＝4(＋)＝8.
课件25张PPT。3.1.2 空间向量的数乘运算 加法:三角形法则或
平行四边形法则减法:三角形法则加法结合律 注:两个空间向量的加、减法与两个平面向量的加、减法实质是一样的. 上一节课,我们把平面向量的有关概念及加减运算扩展
到了空间. 我们知道平面向量还有数乘运算.
类似地,同样可以定义空间向量的数乘运算,其
运算律是否也与平面向量完全相同呢?1.空间向量的数乘运算.(重点)
2.共线向量及共面向量的应用.(重点、难点)
3.向量的共面、共线与直线的位置关系． 观察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B之间的关系吗?(1) A={1,3,5}, B={2,4,6} ,C={1,2,3,4,5,6}.(2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数},
C={x|x是实数}.集合C是由所有属于集合A和集合B的元素组成的.例如: 显然,空间向量的数乘运算满足分配律及结合律如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或
重合,则这些向量叫做共线向量或平行向量.①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定.
由此可判断空间任意三点是否共线.lABPO探究点2 共面向量共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面.由平面向量基本定理知，如果 ，
是平面内的两个不共线的向量，那么
对于这一平面内的任意向量 ，有且
只有一对实数 ， 使 那么什么情况下三个向量共面呢？空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x,y)使C或对空间任一点O,有C③ 式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定.③OP与A,B,C共面例1.若对任一点O和不共线的三点A，B，C，有 则x+y+z=1
是四点P，A，B，C共面的 （ ）A.必要不充分条件C.充要条件B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件C OBAHGFECD1．下列命题中正确的个数是( )
①若 与 共线， 与 共线，则 与 共线；
②向量 , , 共面即它们所在的直线共面；
③若 ∥ ，则存在惟一的实数λ，使 ＝λ .
A．1 B．2
C．3 D．0DC3.下列说法正确的是（ ） A.在平面内共线的向量在空间不一定共线
B.在空间共线的向量在平面内不一定共线
C.在平面内共线的向量在空间一定不共线
D.在空间共线的向量在平面内一定共线1.空间向量的数乘运算.
2.共线向量的概念.
3.直线l的方向向量.
4.共面向量的概念. 天才是不足恃的，聪明是不可靠的，要想顺手拣来的伟大科学发明是不可想象的.课题：空间向量及其运算（2）
课时：02
课型：新授课
教学目标：
1．理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；
2．掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式．
教学重、难点：共线、共面定理及其应用．
教学过程：
（一）复习：空间向量的概念及表示；
（二）新课讲解：
1．共线（平行）向量：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：．
2．共线向量定理：
对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）．
推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式①，其中向量叫做直线的方向向量。在上取，则①式可化为或②
当时，点是线段的中点，此时③
①和②都叫空间直线的向量参数方程，③是线段的中点公式．
3．向量与平面平行：
已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：．
通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量．
说明：空间任意的两向量都是共面的．
4．共面向量定理：
如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使．
推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有①
上面①式叫做平面的向量表达式．
（三）例题分析：
例1．已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，
试判断：点与是否一定共面？
解：由题意：，
∴，
∴，即，
所以，点与共面．
说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算．
【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式 （其中）的四点是否共面？
解：∵，
∴，
∴，∴点与点共面．
例2．已知，从平面外一点引向量
，
（1）求证：四点共面；
（2）平面平面．
解：（1）∵四边形是平行四边形，∴，
∵，
∴共面；
（2）∵，又∵，
∴
所以，平面平面．
五、课堂练习：课本第96页练习第1、2、3题．
六、课堂小结：1．共线向量定理和共面向量定理及其推论；
2．空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式．
七、作业：
1．已知两个非零向量不共线，如果，，，
求证：共面．
2．已知，，若，求实数的值。
3．如图，分别为正方体的棱的中点，
求证：（1）四点共面；（2）平面平面．
4．已知分别是空间四边形边的中点，
（1）用向量法证明：四点共面；
（2）用向量法证明：平面．
课件47张PPT。3.1 空间向量及其运算
3.1.2 空间向量的数乘运算自主学习 新知突破1．掌握空间向量的数乘运算．
2．理解共线向量定理、共面向量定理及推论．
3．体会向量共线、向量共面与直线位置关系之间的转化．空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．
[问题1] 向量a与向量b共线的条件是什么？
[提示1] b＝λa.
[问题2] 空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？
[提示2] 空间中任意两个向量一定共面．任意三个向量不一定共面．1．定义：实数λ与空间向量a的乘积——仍然是一个————，称为向量的数乘运算．
2．向量a与λa的关系空间向量的数乘运算相同 相反 |λ| 向量λa
3.空间向量的数乘运算律
(1)分配律：λ(a＋b)＝——————；(λ＋μ)a＝———————；
(2)结合律：λ(μa)＝——————.λa＋λbλa＋μa(λμ)a对空间向量数乘运算的理解
(1)λa是一个向量．
(2)λa＝0?λ＝0或a＝0.
(3)因为a，b可以平移到同一平面内，所以λa，μb，a＋b，λa＋μb都在这个平面内，因而平面向量的数乘运算律适用于空间向量．共线向量与共面向量互相平行或重合 共线向量 同一平面 a＝λb p＝xa＋yb 方向向量 共线向量的特点及三点共线的充要条件
(1)共线向量不具有传递性
因零向量0＝0·a，故零向量和空间任一向量a是共线(平行)向量，这一性质使共线向量不具有传递性，即若a∥b，b∥c.则a∥c不一定成立．因为当b＝0时，a∥0，0∥c，但a与c不一定共线．1．下列命题中正确的个数是( )
①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；
②向量a，b，c共面即它们所在的直线共面；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.
A．1 B．2
C．3 D．0
解析： ①中，若b为0，则a与c不共线．②中，a，b，c共面时，它们所在的直线不一定共面．③中，b＝0时，不存在实数λ，使a＝λb.
答案： D合作探究 课堂互动空间向量的数乘运算思路点拨： 运用向量的运算法则表示出指定向量，根据对应向量的系数相等就可求得相应的x，y，z的值． 已知点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，其中E，H是中点，F，G是三等分点，且CF＝2FB，CG＝2GD.试判断四边形EFGH的形状．空间向量的共线问题 (1)判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体图形，通过化简、计算得出a＝λb，从而得到a∥b.
(2)a∥b表示a与b所在的直线平行或重合两种情况． 向量共面问题 (1)关于向量共面的几点认识
①共面向量不一定在同一平面内，但可以平移到同一平面内；
②空间任意的两个向量都是共面的；
③共面向量定理及其推论可以用于解决空间中四点共面的问题． 3.如图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面交于AB，AM＝FN.求证：MN∥平面BCE.【错因】 要研究非零向量a，b是否共线，不能光从表面上看，而应根据a，b共线的充要条件来判断，即看a能否表示为λb的形式．谢谢观看！
