3. 1.3．空间向量的数量积
教学目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
教学过程
学生探究过程：
（一）复习：空间向量基本定理及其推论；
（二）新课讲解：
1．空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；
若，则称与互相垂直，记作：；
2．向量的模：
设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：；
3．向量的数量积：
已知向量，则叫做的数量积，记作，即．
已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影；可以证明的长度．
4．空间向量数量积的性质：
（1）．
（2）．
（3）．
5．空间向量数量积运算律：
（1）．
（2）（交换律）．
（3）（分配律）．
（三）例题分析：
例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。
已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且
求证：．
证明：在内作不与重合的任一直线，
在上取非零向量，∵相交，
∴向量不平行，由共面定理可知，存在
唯一有序实数对，使，
∴，又∵，
∴，∴，∴，
所以，直线垂直于平面内的任意一条直线，即得．
例2．已知空间四边形中，，，求证：．
证明：（法一）
．
（法二）选取一组基底，设，
∵，∴，即，
同理：，，
∴，
∴，∴，即．
说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。
例3．如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值。
解：∵，
∴
∴，
所以，与的夹角的余弦值为．
说明：由图形知向量的夹角时易出错，如易错写成，切记！
巩固练习
1、已知，，且与的夹角为，，，求当m为何值时
2、已知，，，则 。
3、已知和是非零向量，且==，求与的夹角
4、已知，，且和不共线，求使与的夹角是锐角时的取值范围
5、已知向量，向量与的夹角都是，且，
试求：（1）；（2）；（3）．
教学反思：空间向量数量积的概念和性质。
作业布置：课本第3、4题
3.1.3．空间向量的数量积
课前预习学案
预习目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
预习内容：1．空间向量的夹角及其表示----------------------------------------------------------------
2．向量的模----------------------------------------------------------------------------------
3. 向量的数量积：--------------------------------------------------------------------
4．空间向量数量积的性质
5．空间向量数量积运算律：
提出疑惑：
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
学习重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
学习过程：
例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。
例2．已知空间四边形中，，，求证：．
例3．如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值。
当堂检测
1、已知，，且与的夹角为，，，求当m为何值时
2、已知，，，则 。
课后练习与提高：
1、已知和是非零向量，且==，求与的夹角
2、已知，，且和不共线，求使与的夹角是锐角时的取值范围
3、已知向量，向量与的夹角都是，且，
试求：（1）；（2）；（3）．
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．设a，b，c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|＝；③a2b＝b2a；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的有( )
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
【解析】 由于数量积不满足结合律，故①不正确，由数量积的性质知②正确，③中，|a|2·b＝|b|2·a不一定成立，④运算正确．
【答案】 D
2．已知a＋b＋c＝，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则a与b的夹角〈a，b〉＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
【解析】 ∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，∴a·b＝，∴cos〈a，b〉＝＝.
【答案】 D
3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是( )
A.与 B.与
C.与 D.与
【解析】 用排除法，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0，排除D；因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故·＝0，排除B，同理·＝0，排除C.
【答案】 A
4.如图3-1-25，已知空间四边形每条边和对角线都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是( )
图3-1-25
A．2· B．2·
C．2· D．2·
【解析】 2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错；2·＝2＝a2，故只有C正确．
【答案】 C
5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有下列命题：
①(＋＋)2＝32；
②·(－)＝0；
③与的夹角为60°.
其中正确命题的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．0个
【解析】 由题意知①②都正确，③不正确，与的夹角为120°.
【答案】 B
二、填空题
6．已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝60°，则|2a－3b|＝________．
【解析】 |2a－3b|2＝(2a－3b)2＝4a2－12a·b＋9b2
＝4×|a|2＋9×|b|2－12×|a|·|b|·cos 60°＝61，
∴|2a－3b|＝.
【答案】
7．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
【解析】 由题意知
即
得λ2＋2λ－2<0.
∴－1－<λ<－1＋.
【答案】 (－1－，－1＋)
8.如图3-1-26，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
图3-1-26
【解析】 不妨设棱长为2，则1＝－，＝＋，
cos〈，〉＝
＝＝0，故填90°.
【答案】 90°
三、解答题
9．如图3-1-27，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面BDG.
图3-1-27
【证明】 设＝a，＝b，＝c.
则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.
而＝＋
＝＋(＋)
＝c＋(a＋b)，
＝－＝b－a，
＝＋
＝(＋)＋
＝(a＋b)＋c.
∴·＝·(b－a)
＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)
＝c·b－c·a＋(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥.
∴A1O⊥BD.
同理可证⊥.
∴A1O⊥OG.
又OG∩BD＝O且A1O?平面BDG，
∴A1O⊥平面BDG.
10．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)·；(2)·；(3)·.
【解】 如图所示，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·(＋)
＝·
＝b·
＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)
＝·(＋)
＝·(a＋c)
＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)·＝(＋)·(＋)
＝·
＝·
＝(－a＋b＋c)·
＝－|a|2＋|b|2＝2.
[能力提升]
1．已知边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】 ＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝(2＋2)＝1，故选C.
【答案】 C
2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为( )
A．30° B．60°
C．90° D．45°
【解析】 由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝2＝1.
cos〈，〉＝＝，得〈，〉＝60°.
【答案】 B
3．已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝________.
【解析】 设＝m，由于＝＋，＝＋m，
又·＝0，
得×1×1×＋4m＝0，
解得m＝.
【答案】
4.如图3-1-28，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．
图3-1-28
【解】 ∵＝＋＋，
∴||＝＝
.
∵AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，
∴〈，〉＝90°，〈，〉＝〈，〉＝60°，
∴||
＝
＝.
3.1.3 空间向量的数量积运算
课时目标 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的夹角及距离问题．
1．空间向量的夹角
定义
已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角
记法
范围
,想一想：〈a，b〉与〈b，a〉相等吗？〈a，b〉与〈a，－b〉呢？
2．空间向量的数量积
(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.
(2)数量积的运算律
数乘向量与向量数
量积的结合律
(λa)·b＝________
交换律
a·b＝______
分配律
a·(b＋c)＝____________
(3)数量积的性质
两个向
量数量
积的
性质
①若a，b是非零向量，则a⊥b?__________.
②若a与b同向，则a·b＝________；
若反向，则a·b＝________.
特别地：a·a＝|a|2或|a|＝.
③若θ为a，b的夹角，则cos θ＝______
④|a·b|≤|a|·|b|.
一、选择题
1．设a、b、c是任意的非零向量，且它们相互不共线，下列命题：
①(a·b)·c－(c·a)·b＝0；
②|a|－|b|<|a－b|；
③(b·a)·c－(c·a)·b不与c垂直；
④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.
其中正确的有( )
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
2．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于( )
A. B. C. D．4
4.在棱长为1的正四面体ABCD中，E,F分别是BC,AD的中点，则·等于( )
A．0 B. C．－ D．－
5.
如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于( )
A．6 B．6
C．12 D．144
6．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb (λ，μ∈R且λ、μ≠0)，则( )
A．m∥n
B．m⊥n
C．m不平行于n，m也不垂直于n
D．以上三种情况都有可能
二、填空题
7．已知a，b是空间两向量，若|a|＝3，|b|＝2，|a－b|＝，则a与b的夹角为________．
8．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.
9．在△ABC中，有下列命题：
①－＝；
②＋＋＝0；
③(＋)·(－)＝0，则△ABC为等腰三角形；
④若·>0，则△ABC为锐角三角形．
其中正确的是________．(填写正确的序号)
三、解答题
10.
如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC.
11．在正四面体ABCD中，棱长为a，M、N分别是棱AB、CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝|ND|，求|MN|.
能力提升
12.平面式O,A.B三点不共线，设＝a，＝b，则△OAB的面积等于( )
A.
B.
C.
D.
13.
如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．
1．空间向量数量积直接根据定义计算．
2．利用数量积可以解决两直线夹角问题和线段长度问题：
(1)利用a⊥b?a·b＝0证线线垂直(a，b为非零向量)．(2)利用a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，cos θ＝，求两直线的夹角．(3)利用|a|2＝a·a，求解有关线段的长度问题．
3．1.3 空间向量的数量积运算
知识梳理
1．〈a，b〉 [0，π]
2．(2)λ(a·b) b·a a·b＋a·c
(3)①a·b＝0 ②|a|·|b| －|a|·|b|
③
作业设计
1．D [①错；②正确，可以利用三角形法则作出a－b，三角形的两边之差小于第三边；③错，当b·a＝c·b＝0时，(b·a)·c－(c·a)·b与c垂直；④正确，直接利用数量积的运算律．]
2．A [a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|?cos〈a，b〉＝1?〈a，b〉＝0，当a与b反向时，不能成立．]
3．C [|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2
＝1＋6·cos 60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝.]
4．D [·＝(＋)·
＝·＋·－·－||2
＝cos 60°＋cos 60°－cos 60°－＝－.]
5．C [∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝108＋2×6×6×＝144，∴||＝12.]
6．B [由题意m⊥a，m⊥b，则有m·a＝0，m·b＝0，
m·n＝m(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，
∴m⊥n.]
7．60°
解析 由|a－b|＝，得(a－b)2＝7，
即|a|2－2a·b＋|b|2＝7，∴2a·b＝6，
∴|a||b|cos〈a，b〉＝3，∴cos〈a，b〉＝，〈a，b〉＝60°.即a与b的夹角为60°.
8.
解析 |a＋b|＝
＝＝.
9．②③
解析 ①错，－＝；②正确；③正确，||＝||；④错，△ABC不一定是锐角三角形．
10．证明 ∵OB＝OC，AB＝AC，OA＝OA，
∴△OAC≌△OAB.∴∠AOC＝∠AOB.
∵·＝·(－)
＝·－·
＝||||cos∠AOC－||||·cos∠AOB＝0，∴OA⊥BC.
11．解
如图所示，||＝||＝||＝a，把题中所用到的量都用向量、、表示，于是＝＋＋
＝＋(－)＋(－)＝－＋＋.
又·＝·＝·
＝||2cos 60°＝||2＝a2，
∴·＝·
＝2－·－·＋·＋2＋2＝a2－a2＋a2＋a2＝a2.
故||＝＝a，即|MN|＝a.
12.
C [如图所示，
S△OAB＝|a||b|·sin〈a，b〉
＝|a||b|
＝|a||b|
＝|a||b|
＝.]
13.
解 由AC⊥α，可知AC⊥AB，
过点D作DD1⊥α，D1为垂足，
连结BD1，则∠DBD1为BD与α所成的角，即∠DBD1＝30°，
∴∠BDD1＝60°，
∵AC⊥α，DD1⊥α，∴AC∥DD1，
∴〈，〉＝60°，∴〈，〉＝120°.
又＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·∵BD⊥AB，AC⊥AB，
∴·＝0，·＝0.
故||2＝||2＋||2＋||2＋2·
＝242＋72＋242＋2×24×24×cos 120°＝625，
∴||＝25.
课件21张PPT。3.1.3 空间向量的数量积运算 W= |F| |s| cos? 根据功的计算,我们定义了平面两向量的数量积运算.一旦定义出来,我们发现这种运算非常有用,它能解决有关长度和角度的问题.1．了解空间向量夹角的概念及表示方法.
2．掌握空间向量数量积的计算方法及应用.（重点）
3．能将立体几何问题转化为向量运算问题．（难点）注:①两个向量的数量积是数量，而不是向量.
②规定:零向量与任意向量的数量积都等于零.A1B1BA注：性质①是证明两向量垂直的依据；
性质②是求向量的长度（模）的依据.注：
向量的数量积运算类似于多项式运算,平方差公式、完全平方公式、十字相乘等均成立.例1 在平面内的一条直线,如果和这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也和这条斜线垂直.分析：用向量来证明两直线垂直，只需证明两直线的方向向量的数量积为零即可！逆命题成立吗?分析：要证明一条直线与一个平面
垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.mn 取已知平面内的任一条直线g,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?DD6．如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC夹角的余弦值．
通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题：
1.证明两直线垂直.
2.求两点之间的距离或线段长度.
3.证明线面垂直.
4.求两直线所成角的余弦值等.
为了不让生活留下遗憾和后悔，我们应该尽可能抓住一切改变生活的机会.课题：空间向量的数量积（1）
课时：03
课型：新授课
教学目标：
1．掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；
2．掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。
教学重、难点：空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。
教具准备：与教材内容相关的资料。
教学设想：激发学生的学习热情，激发学生的求知欲，培养严谨的学习态度，培养积极进取的精神．
教学过程
学生探究过程：（一）复习：空间向量基本定理及其推论；
（二）新课讲解：
1．空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角，记作；且规定，显然有；
若，则称与互相垂直，记作：；
2．向量的模：
设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作：；
3．向量的数量积：
已知向量，则叫做的数量积，记作，即．
已知向量和轴，是上与同方向的单位向量，作点在上的射影，作点在上的射影，则叫做向量在轴上或在上的正射影；可以证明的长度．
4．空间向量数量积的性质：
（1）．
（2）．
（3）．
5．空间向量数量积运算律：
（1）．
（2）（交换律）．
（3）（分配律）．
（三）例题分析：
例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。
已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且
求证：．
证明：在内作不与重合的任一直线，
在上取非零向量，∵相交，
∴向量不平行，由共面定理可知，存在
唯一有序实数对，使，
∴，又∵，
∴，∴，∴，
所以，直线垂直于平面内的任意一条直线，即得．
例2．已知空间四边形中，，，求证：．
证明：（法一）
．
（法二）选取一组基底，设，
∵，∴，即，
同理：，，
∴，
∴，∴，即．
说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。
例3．如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值。
解：∵，
∴
∴，
所以，与的夹角的余弦值为．
说明：由图形知向量的夹角时易出错，如易错写成，切记！
五．巩固练习：课本第99页练习第1、2、3题。
六．教学反思：空间向量数量积的概念和性质。
七．作业：课本第106页第3、4题
补充：
1．已知向量，向量与的夹角都是，且，
试求：（1）；（2）；（3）．
课题：2-1.3.4向量的数量积（2）
课时：04
课型：新授课
教学目标：①向量的数量积运算
②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角
教学重点：①向量的数量积运算
②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角
教学方法：练习法，纠错法，归纳法
教学过程：
1.向量的数量积运算
（1）、知识要点：
1）定义：① 设<>=,则 （的范围为 ）
②设，则 。
注：①不能写成，或 ②的结果为一个数值。
2）投影：在方向上的投影为 。
3）向量数量积运算律：
① ② ③
注：①没有结合律
例题1讲练
1、若，，满足，且，则= 。
2、已知，且与的夹角为，则在上的投影为 。
向量数量积性质应用
一）、知识要点：
①（用于判定垂直问题）
②（用于求模运算问题）
③（用于求角运算问题）
例题2讲练
1、已知，，且与的夹角为，，，求当m为何值时
2、已知，， ，则 。
巩固练习
1、已知和是两个单位向量，夹角为，则（）等于（ ）
A.-8 B. C. D.8
2、已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（ ）
A. B. C. D.
3、在中，设，，，若，则（ ）
直角三角形 锐角三角形 钝角三角形 无法判定
4、已知和是非零向量，且与垂直，与垂直，求与的夹角。
课后反思：高考要求选择、填空题不出空间向量，只是大题理科考核。
课后预习：空间向量运算的坐标表示
课件55张PPT。3.1 空间向量及其运算
3.1.3 空间向量的数量积运算自主学习 新知突破1．掌握空间向量的数量积的概念、有关简单性质以及数量积运算的运算律．
2．能运用向量的数量积，判断向量的共线与垂直，并用于证明两直线平行与垂直．为了帮助地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件，已知它的质量为5 000 kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹角都是60°.(其中g＝10 N/kg)
[问题1] 向量F1和－F2夹角为多少？
[提示1] 120°.[问题2] 每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？空间向量的夹角∠AOB 〈a，b〉 [0，π]
如果〈a，b〉＝，那么向量a，b_________，记作______.互相垂直a⊥b空间向量的数量积λ(a·b) b·a a·b＋a·c a·b＝0 对空间向量的数量积的理解
(1)数量积是数量(数值)，可以为正，可以为负，也可以为零；
(2)a·b＝0?a⊥b(a，b为非零向量)；
(3)向量a，b的夹角〈a，b〉与点的坐标(a，b)不同；
(4)a·b的几何意义：a与b的数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积．
解析： 命题①②③正确，④不正确．
答案： D4．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，AD＝2，AA1＝3，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．合作探究 课堂互动 已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积：空间向量数量积的计算 此类问题通常是先用已知向量表示目标向量，然后再利用运算律和数量积定义计算．所谓已知向量就是模和夹角已知的向量． 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点，若正方体的棱长为1.用数量积解决夹角问题2．如图所示，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角． 如图，已知线段AB⊥平面α，BC?α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．用数量积解决两点间的距离 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G是CC1的中点．
求证：A1O⊥平面GBD.用数量积解决垂直问题4．已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC.M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点．
求证：OG⊥BC.◎“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的________条件．
【错因】 两个向量的夹角为钝角会误以为只要满足数量积小于零即可，而忽略当两个向量共线且反向时数量积也小于零．同理由向量的数量积大于零而判断夹角为锐角时，是忽略了向量共线且同向的情形．
【正解】 当〈a，b〉＝π时，a·b<0，但此时夹角不为钝角，所以“a·b<0”是“〈a，b〉为钝角”的必要不充分条件．谢谢观看！
