3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
教学目标
1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
重、难点
1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。
2．坐标判断两个空间向量平行。
教学过程
1．情景创设：
平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？
2．建构数学：
如图：在空间直角坐标系中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量作为基向量，对于空间任一向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使；有序实数组（x，y，z）叫做向量的空间直角坐标系中的坐标，记作＝（x，y，z）。
在空间直角坐标系O－xyz中，对于空间任意一点A（x，y，z），向量是确定的，容易得到
。
因此，向量的坐标为（x，y，z）。
这就是说，当空间向量a的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a的坐标。
类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。
设a＝（），b＝（），则
a+b＝（），
a－b＝（），
a＝（）。
空间向量平行的坐标表示为
a∥b（a≠0）。
例题分析：
例1：已知a＝（1，－3，8），b＝（3，10，－4），求a+b，a－b，3a。
例2：已知空间四点A（－2，3，1），B（2，－5，3），C（10，0，10）和D（8，4，9），求证：四边形ABCD是梯形。
例3：求点A（2，－3，－1）关于xOy平面，zOx平面及原点O的对称点。
练习：见学案
小结：
作业：见作业纸
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示
课前预习学案
预习目标：1、空间向量与有序数组之间的一一对应关系；
2．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
预习内容：
1、空间直角坐标系：（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示；（2）在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫 ．我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量 都叫坐标向量． 叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；
2、空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点， ，使 ，有序实数组 叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作 ，叫 ，叫 ，叫 ．
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：1、理解空间向量与有序数组之间的一一对应关系；
2．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
重点难点：空间向量的坐标表示
学习过程：
例1：已知a＝（1，－3，8），b＝（3，10，－4），求a+b，a－b，3a。
例2：已知空间四点A（－2，3，1），B（2，－5，3），C（10，0，10）和D（8，4，9），求证：四边形ABCD是梯形。
。
当堂检测：
1求点A（2，－3，－1）关于xOy平面，zOx平面及原点O的对称点
课后练习与提高：
1．一向量的终点在点B(2,-1,7),它在坐标轴上的射影顺次是4，-4和7，则这向量的终点A的坐标是（ ）
A、(-2,3,0) B、(-1,3,5) C、(3,-1,2) D、(0,2,-2)
2．点(1,-3,2)关于点(-1,2,1)的对称点是（ ）
A、(-2,7,1) B、(-3,7,0) C、(1,-7,0) D、(1,2,5)
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．点A(－1，2，1)在x轴上的投影点和在xOy平面上的投影点的坐标分别为( )
A．(－1，0，1)，(－1，2，0)
B．(－1，0，0)，(－1，2，0)
C．(－1，0，0)，(－1，0，0)
D．(－1，2，0)，(－1，2，0)
【解析】 点A在x轴上的投影点的横坐标不变，纵、竖坐标都为0，在xOy平面上的投影点横、纵坐标不变，竖坐标为0，故应选B.
【答案】 B
2．在空间直角坐标系Oxyz中，下列说法正确的是( )
A．向量的坐标与点B的坐标相同
B．向量的坐标与点A的坐标相同
C．向量与向量的坐标相同
D．向量与向量－的坐标相同
【解析】 因为A点不一定为坐标原点，所以A，B，C都不对；由于＝－，故D正确．
【答案】 D
3．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则可表示为( )
A.a＋b＋c B.a－b＋c
C．－a－b＋c D．－a＋b＋c
【解析】 由于＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c，故选D.
【答案】 D
4．正方体ABCD-A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{1，2，3}为基底，＝x1＋y＋z3，则x，y，z的值是( )
A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2
【解析】 ＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋＝＋＋，
由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.
【答案】 A
5．已知空间四点A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，D(x，－1，3)共面，则x的值为( )
A．4 B．1
C．10 D．11
【解析】 ＝(－2，2，－2)，＝(－1，6，－8)，＝(x－4，－2，0)，
∵A，B，C，D共面，
∴，，共面，
∴存在实数λ，μ，使＝λ＋μ，
即(x－4，－2，0)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)，
∴得
【答案】 D
二、填空题
6．设{i，j，k}是空间向量的单位正交基底，a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k，则向量a与b的位置关系是________．
【解析】 ∵a·b＝－6i2＋8j2－2k2＝－6＋8－2＝0.
∴a⊥b.
【答案】 a⊥b
7.如图3-1-32, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝________．
图3-1-32
【解析】 ＝－
＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－c.
【答案】 －a＋b－c
8．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(2，1，3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为________．
【解析】 由题意知点A对应的向量为2a＋b＋3c＝2(4i＋2j)＋(2j＋3k)＋3(3k－j)＝8i＋3j＋12k，
∴点A在基底{i，j，k}下的坐标为(8，3，12)．
【答案】 (8，3，12)
三、解答题
9．已知{e1，e2，e3}为空间一基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，能否以，，作为空间的一个基底？
【解】 假设，，共面，
根据向量共面的充要条件有＝x＋y，
即e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)
＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.
∴此方程组无解．
∴，，不共面．
∴{，，}可作为空间的一个基底．
10．如图3-1-33，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝－，＝，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
图3-1-33
【解】 连接AN，则＝＋.
由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得
＝＋＝a＋b，
＝－＝－(a＋b)，
又＝－＝b－c，
故＝＋＝－＝－
＝b－(b－c)，
＝＋＝－(a＋b)＋b－(b－c)
＝(－a＋b＋c)．
[能力提升]
1．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB.M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则等于( )
A.＋＋
B.(＋＋)
C.(＋＋)
D.＋＋
【解析】 如图，
＝(＋)
＝＋×(＋)
＝＋＋
＝(＋＋)．
【答案】 B
2．若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合无三点共线，则能使向量，，成为空间一组基底的关系是( )
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.＝2－
【答案】 C
3．在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝________．
【解析】 ＝(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＋＋＝(＋)＝3a－b＋3c.
【答案】 3a－b＋3c
4.在直三棱柱ABO -A1B1O1中，∠AOB＝，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点，在如图3-1-34所示的空间直角坐标系中，求，的坐标．
图3-1-34
【解】 ∵＝－＝－(＋)
＝－[＋(＋)]＝－－－.
又||＝||＝4，||＝4，||＝2，
∴＝(－2，－1，－4)．
∵＝－＝－(＋)
＝－－.
又||＝2，||＝4，||＝4，
∴＝(－4，2，－4).
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
课时目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标．
1．空间向量基本定理
(1)设i、j、k是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O，那么，对于空间任一向量p，存在一个______________，使得____________，我们称______，______，______为向量p在i、j、k上的分向量．
(2)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c________，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得________________．
(3)如果三个向量a，b，c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是___________．这个集合可看作是由向量a，b，c生成的，我们把{a，b，c}叫做空间的一个________，a，b，c都叫做__________．空间中任何三个________的向量都可构成空间的一个基底．
2．空间向量的坐标表示
若e1、e2、e3是有公共起点O的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为____________________，以e1、e2、e3的公共起点O为原点，分别以e1、e2、e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz，那么，对于空间任意一个向量p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3，把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作____________．
一、选择题
1．在以下3个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面；
②若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线；
③若a，b是两个不共线向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底．
A．0 B．1 C．2 D．3
2.已知O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a、b不能构成空间基底的是( )
A. B． C. D.或
3．以下四个命题中，正确的是( )
A.若＝＋，则P、A、B三点共线
B．设向量{a，b，c}是空间一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底
C．|(a·b)c|＝|a|·|b|·|c|
D. △ABC是直角三角形的充要条件·＝0
4.设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3G,G1若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为( )
A．(，，) B．(，，)
C．(，，) D．(，，)
5．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是( )
A．(12,14,10) B．(10,12,14)
C．(14,12,10) D．(4,3,2)
6.已知空间四边形OABC中＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，则等于( )
A.a－b＋c B．－a＋b＋c
C.a＋b－c D.a＋b－c
二、填空题
7．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，则向量a＝3i＋2j－k，b＝－2i＋4j＋2k的坐标分别是____________．
8.已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则＝____________.
9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O为AC1与BD1的交点，＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝______.
三、解答题
10.四棱锥P－OABC的底面为一矩形，PO平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E、F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示、、、.
11.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，并且PA=AD,求、的坐标．
能力提升
12．甲、乙、丙三名工人搬运石头，分别作用于石头的力为F1，F2，F3，若i、j、k是空间中的三个不共面的基向量，F1＝i＋2j＋3k，F2＝－2i＋3j－k，F3＝3i－4j＋5k，则这三名工人的合力F＝xi＋yj＋zk，求x、y、z.
13.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点，求证：EF⊥平面B1AC.
1．空间的一个基底是空间任意三个不共面的向量，空间的基底可以有无穷多个．一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量指一个基底的某一个向量．
2. ＝x＝x＋y＋z，当且仅当x＋y＋z＝1时，P、A、B、C四点共面．
3．对于基底{a，b，c}除了应知道a，b，c不共面，还应明确：
(1)空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定以后，空间的所有向量均可由基底惟一表示．
(2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面，就隐含着它们都不是0.
3．1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
知识梳理
1．(1)有序实数组{x，y，z} p＝xi＋yj＋zk xi yj zk (2)不共面 p＝xa＋yb＋zc (3){p|p＝xa＋yb＋zc，x，y，z∈R} 基底 基向量 不共面
2．单位正交基底 p＝(x，y，z)
作业设计
1．C [命题①，②是真命题，命题③是假命题．]
2．C [∵＝(a－b)，与a、b共面，
∴a，b，不能构成空间基底．]
3．B [A中若＝＋，则P、A、B三点共线，故A错；
B中，假设存在实数k1，k2，使c＋a＝k1(a＋b)＋k2(b＋c)＝k1a＋(k1＋k2)b＋k2c，
则有方程组无解，
即向量a＋b，b＋c，c＋a不共面，故B正确．
C中，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉≤|a|·|b|，故C错．
D中，由·＝0?△ABC是直角三角形，但△ABC是直角三角形，可能角B等于90°，则有·＝0.故D错．]
4．A [因为＝＝(＋)
＝＋×[(＋)]
＝＋[(－)＋(－)]
＝＋＋，
而＝x＋y＋z，
所以x＝，y＝，z＝.]
5．A [设点A在基底{a，b，c}下对应的向量为p，
则p＝8a＋6b＋4c＝8i＋8j＋6j＋6k＋4k＋4i
＝12i＋14j＋10k，故点A在基底{i，j，k}下的坐标为(12,14,10)．]
6．B [＝－＝(＋)－
＝－a＋b＋c.]
7．(3,2，－1)，(－2,4,2)
8．3a＋3b－5c
解析 ∵＝＋＋，
又＝＋＋，
∴两式相加得
2＝(＋)＋＋＋(＋)．
∵E为AC中点，故＋＝0，同理＋＝0，
∴2＝＋＝(a－2c)＋(5a＋6b－8c)
＝6a＋6b－10c，∴＝3a＋3b－5c.
9.
解析 ＝＝(＋＋)．
故x＝y＝z＝，∴x＋y＋z＝.
10．解 ＝＝(＋)
＝(c－b－a)＝－a－b＋c.
＝＋＝－a＋
＝－a＋(＋)
＝－a－b＋c.
＝＋
＝＋＋(＋)
＝－a＋c＋(－c＋b)
＝－a＋b＋c.
＝＝＝a.
11．解
∵PA＝AD＝AB，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，
∴可设＝e1，＝e2，＝e3.
以e1、e2、e3为坐标向量建立空间直角坐标系Axyz，如图所示．
∵＝＋＋
＝＋＋
＝＋＋(＋＋)
＝－e2＋e3＋(－e3－e1＋e2)
＝－e1＋e3，
∴＝，＝＝e2＝(0,1,0)．
12．解 由题意，得F＝F1＋F2＋F3＝(i＋2j＋3k)＋(－2i＋3j－k)＋(3i－4j＋5k)＝2i＋j＋7k.
又因为F＝xi＋yj＋zk，所以x＝2，y＝1，z＝7.
13．证明 设＝a，＝c，＝b，
则＝＋
＝(＋)
＝(＋)
＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，
＝＋＝＋＝a＋b.
∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)
＝(b2－a2－a·b＋a·b＋c·a＋c·b)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥，即EF⊥AB1.
同理，EF⊥B1C.
又AB1∩B1C＝B1，∴EF⊥平面B1AC.
课件20张PPT。3.1.4 空间向量的正交分解
及其坐标表示 共线向量定理:共面向量定理:平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决
一些几何问题.（重点）
2.用基底表示已知向量.(难点)
3.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.
4.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系
中写出向量的坐标. ACBC(1,1，－1)(－1,0,1)1.选定空间不共面的三个向量作为基向量,并用它们表示出指定的向量,是用向量解决立体几何问题的基本要求.
2.求解时要结合已知和所求观察图形,联想相关的运算法则和公式,就近表示所需向量,再对照目标进行调整,直到符合要求. 每一个成功者都有一个开始.勇于开始，才能找到成功的路.课题：空间向量运算的坐标表示【示范课】
课时:05
课型：新授课
教学目标：
知识目标
通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题.
（2）能力目标
①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；
②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力.
教学重点：空间向量运算的坐标表示
教学难点：空间向量运算的坐标表示的应用
教学方法：启发诱导、练讲结合
教学用具：多媒体、三角板
教学过程：
一、复习引入：平面向量的坐标运算：
设，则
(1)
(2)即
(3)
思考：你能由平面向量的坐标运算类比得到空间向量的坐标运算吗？它们是否成立？为什么？
二、新授：
（一）空间向量的正交分解
（1）单位正交基底：i,j,k是空间三个方向的单位向量，而且两两垂直，则{i,j,k}就叫做单位正交基底。
（2）空间向量的基本定理：如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p，存在有序实数组{i,j,k}，使得p= xi+yj+zk
（二）空间向量运算的坐标表示：
设，则
(1)
(2)即
(3)
（二）应用举例
例1已知向量 ，若 ，则 ______；
若 则 ______.
答案：
（2）；
例2．如图，在正方体中，点分别是的一个四等分点，求直线与所成角的余弦值.
解：略
练习：如图，棱长为1的正方体中，点是的中点，求与所成的角的余弦值.
思考：你能总结出利用空间向量的坐标运算解决简单立体几何问题的一般步骤吗？
（1）建立适当的空间直角坐标系，并求出相关点的坐标.（建系求点）
（2）将空间图形中的元素关系转化为向量关系表示.（构造向量并坐标化）
（3）经过向量运算确定几何关系，解决几何问题.（向量运算、几何结论）
练习：
探究：
三、课堂总结：
1.知识
（1）空间向量的坐标运算；
（2）利用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题.
2.方法
（1）类比
（2）数形结合
四、作业布置：
课本P98：
习题3.1 A组 T5---T10（必做） T11（选做）
五、教后记（教学反馈及反思）：
课件44张PPT。3.1 空间向量及其运算
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示自主学习 新知突破1．了解空间向量基本定理及其意义，并能用基本定理解决一些几何问题．
2．理解基底、基向量的概念，掌握空间向量的正交分解的意义．
3．掌握空间向量的坐标表示，会确定一些简单几何体的顶点坐标．某次反恐演习中，一特别行动小组获悉：“恐怖分子”将“人质”隐藏在市动物园往南500米，再往东400米处的某大厦12楼．行动小组迅速赶到市动物园，然后按标识顺利到达目的地，完成解救“人质”的任务．从标识中可以看出：确定市动物园的位置后，大厦的位置就随之确定，“人质”的隐藏地由“南500米”“东400米”“12楼”这三个量确定．设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．
[问题1] 这三个向量能做为该空间的一组基底吗？
[提示1] 能．
[问题2] 能否用e1，e2，e3把人质的位置表示出来？
[提示2] 能．定理：如果三个向量a，b，c_________，那么对于空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝___________.其中__________叫做空间的一个基底，________都叫做基向量．空间向量基本定理不共面xa＋yb＋zc{a，b，c}a，b，c对空间向量基本定理的理解
(1)空间向量基本定理表明，用空间三个不共面向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的．
(2)空间中的基底是不唯一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底．空间向量的正交分解及其坐标表示两两垂直 公共点 e1，e2，e3 平移 起点 xe1＋ye2＋ze3 x，y，z p＝(x，y，z) 建立空间直角坐标系的方法
(1)建立空间直角坐标系的关键是根据几何图形的特征，尽量寻找三条互相垂直且交于一点的直线，如若找不到，要想办法去构造．
(2)同一几何图形中，由于建立的空间直角坐标系不同，从而各点的坐标在不同的坐标系中也不一定相同，但本质是一样的．解析： 向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，所以终点的坐标也不确定．
答案： D2．若{a，b，c}是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( )
A．a,2b,3c
B．a＋b，b＋c，c＋a
C．a＋2b,2b＋3c,3a－9c
D．a＋b＋c，b，c
解析： －3(a＋2b)＋3(2b＋3c)＋(3a－9c)＝0.
答案： C合作探究 课堂互动基底的判断 判断三个向量能否作为基底的方法
判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助，进行判断． 1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：
①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}；
⑤{x，y，a＋b＋c}．
其中可以作为空间基底的向量组有________．空间向量基本定理及应用 用基底表示向量时，
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．
(2)若没给定基底时，首先选择基底．选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求． 空间向量的坐标表示 用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为： 谢谢观看！
