3. 1.5空间向量运算的坐标表示
教学目标
1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。
2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。
重、难点
1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。
2．坐标判断两个空间向量平行。
教学过程：
（一）复习上一节内容
（二）新课讲解：
设a＝，b＝
(1) a±b＝ 。 (2) a＝ ．(3) a·b＝ ．
(4) a∥b ；ab ．
（5）模长公式：若， 则．
（6）夹角公式：．
（7）两点间的距离公式：若，，则
(8) 设
则＝ ， ．
AB的中点M的坐标为 ．
例题分析：
例1、（1）已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（ ）
A. ：||=：|| B.a1·b1=a2·b2=a3·b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k，使=k
（2）已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（ ）
A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1
（3）下列各组向量共面的是（ ）
A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)
B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)
C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)
D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)
解析：（1）D；点拨：由共线向量定线易知；
（2）A 点拨：由题知或；
（3）A 点拨：由共面向量基本定理可得。
点评：空间向量的坐标运算除了数量积外就是考查共线、垂直时参数的取值情况。
例2、已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.
思维入门指导：本题考查向量夹角公式以及垂直条件的应用，套用公式即可得到所要求的结果.
解：∵A(－2，0，2)，B（－1，1，2），C(－3，0，4)，=，=，
∴=(1，1，0)，=（－1，0，2）.
(1)cos==－，∴和的夹角为－。
(2)∵k+=k（1，1，0）+（－1，0，2）＝（k－1，k，2），
k－2=（k+2，k，－4），且(k+)⊥（k－2），
∴（k－1，k，2）·（k+2，k，－4）=(k－1)(k+2)+k2－8=2k2+k－10=0。
则k=－或k=2。
点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做。（+）(k－2)=k22－k·－22=2k2+k－10=0，解得k=－，或k=2。
巩固练习
1． 已知，则向量与的夹角是（ ）
2．已知，则的最小值是 （ ）
3．已知为平行四边形，且，则点的坐标为_____.
4．设向量，若，
则 ， 。
5．已知向量与向量共线，且满足，，则 ，
教学反思(1) 共线与共面问题；(2) 平行与垂直问题；(3) 夹角问题；(4) 距离问题；运用向量来解决它们有时会体现出一定的优势．用空间向量解题的关键步骤是把所求向量用某个合适的基底表示，本节主要是用单位正交基底表示，就是适当地建立起空间直角坐标系，把向量用坐标表示，然后进行向量与向量的坐标运算，最后通过向量在数量上的关系反映出向量的空间位置关系，从而使问题得到解决．在寻求向量间的数量关系时，一个基本的思路是列方程，解方程．
作业布置：见学案
3.1.5空间向量运算的坐标表示
课前预习学案
预习目标： 1、理解空间向量坐标的概念；
2、掌握空间向量的坐标表示方法
预习内容：
设a＝，b＝
(1) a±b＝ 。 (2) a＝ ．(3) a·b＝ ．
(4) a∥b ；ab ．
（5）模长公式：
（6）夹角公式：
（7）两点间的距离公式：若，，则
(8) 设
则＝ ， ．
AB的中点M的坐标为 ．
提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点
疑惑内容
课内探究学案
学习目标：1、理解空间向量与有序数组之间的一一对应关系；
2、掌握空间向量的坐标表示方法
重点难点：空间向量的坐标表示方法
学习过程：
例1、(1)、已知两个非零向量=（a1，a2，a3），=（b1，b2，b3），它们平行的充要条件是（ ）
A. ：||=：|| B.a1·b1=a2·b2=a3·b3
C.a1b1+a2b2+a3b3=0 D.存在非零实数k，使=k
(2)、已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（ ）
A. －3或1 B.3或－1 C. －3 D.1
(3)、下列各组向量共面的是（ ）
A. =(1，2，3)，=(3，0，2)，=(4，2，5)
B. =(1，0，0)，=(0，1，0)，=(0，0，1)
C. =(1，1，0)，=(1，0，1)，=(0，1，1)
D. =(1，1，1)，=(1，1，0)，=(1，0，1)
例2、已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4）。设=，=，（1）求和的夹角；（2）若向量k+与k－2互相垂直，求k的值.
当堂检测：
1． 已知，则向量与的夹角是（ ）
2．已知，则的最小值是 （ ）
3．已知为平行四边形，且，则点的坐标为_____.
4．设向量，若，
则 ， 。
5．已知向量与向量共线，且满足，，则 ，
。
课后练习与提高：
1、已知为原点，向量∥，求．
2．若，且与的夹角为钝角，则的取值范围是 （ ）
3．设，则与平行的单位向量的坐标为 ，
同时垂直于的单位向量 .
4.已知，为坐标原点，
（1）写出一个非零向量，使得平面；
（2）求线段中点及的重心的坐标；
（3）求的面积。
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4，2) B．(－2，4，－2)
C．(－2，0，－2) D．(2，1，－3)
【解析】 b＝a－(－1，2，－1)＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2)．
【答案】 A
2．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵AB的中点M，∴＝，故|CM|＝||＝ ＝.
【答案】 C
3．已知向量a＝(2，3)，b＝(k，1)，若a＋2b与a－b平行，则k的值是( )
A．－6 B．－
C. D．14
【解析】 由题意得a＋2b＝(2＋2k，5)，且a－b＝(2－k，2)，又因为a＋2b和a－b平行，则2(2＋2k)－5(2－k)＝0，解得k＝.
【答案】 C
4．如图3-1-36，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝，E，F分别是平面A1B1C1D1、平面BCC1B1的中心，则E，F两点间的距离为( )
图3-1-36
A．1 B.
C. D.
【解析】 以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1，1，)，F，所以|EF|＝
＝，故选C.
【答案】 C
5．已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值是( )
A. B.
C. D.
【解析】 b－a＝(1＋t，2t－1，0)，
∴|b－a|2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋02
＝5t2－2t＋2＝5＋.
∴|b－a|＝.
∴|b－a|min＝.
【答案】 C
二、填空题
6．已知点A(1，2，3)，B(2，1，2)，P(1，1，2)，O(0，0，0)，点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，点Q的坐标为________．
【解析】 设＝λ＝(λ，λ，2λ)，故Q(λ，λ，2λ)，故＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．则·＝6λ2－16λ＋10＝6－，当·取最小值时，λ＝，此时Q点的坐标为.
【答案】
7．若＝(－4，6，－1)，＝(4，3，－2)，|a|＝1，且a⊥，a⊥，则a＝________．
【解析】 设a＝(x，y，z)，由题意有代入坐标可解得或
【答案】 或
8．若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三点共线，则m＋n＝________．
【解析】 因为＝(m－1，1，m－2n－3)，＝(2，－2，6)，由题意得∥，则＝＝，所以m＝0，n＝0，m＋n＝0.
【答案】 0
三、解答题
9．已知向量a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)．
(1)求|2a＋b|;
(2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点)
【解】 (1)2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)
＝(0，－5，5)，
故|2a＋b|＝＝5.
(2)＝＋＝＋t＝(－3，－1，4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t，4－2t)，
若⊥b，则·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝，
因此存在点E，使得⊥b，E点坐标为.
10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，O是正方形ABCD的中心．
求证：⊥.
【证明】 建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的棱长为1个单位，则A(1，0，0)，A1(1，0，1)，M，O.
∴＝，＝.
∵·＝×(－1)＋×0＋1×＝0，
∴⊥.
[能力提升]
1．已知向量a＝(－2，x，2)，b＝(2，1，2)，c＝(4，－2，1)，若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
【解析】 ∵b－c＝(－2，3，1)，a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.
【答案】 A
2．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
【解析】 a＋b＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．
【答案】 A
3．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1，1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是________．
【解析】 因为a与b的夹角为钝角，所以a·b<0，所以3×(－1)＋(－2)×(x－1)＋(－3)×1<0，解得x>－2.若a与b的夹角为π，则x＝，
所以x∈∪.
【答案】 ∪
4．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC和平面A1B1C1为正三角形，所有的棱长都是2，M是BC边的中点，则在棱CC1上是否存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°？
【解】 以A点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知A(0，0，0)，C(0，2，0)，B(，1，0)，B1(，1，2)，M.
又点N在CC1上，可设N(0，2，m)(0≤m≤2)，
则＝(，1，2)，＝，
所以||＝2，||＝，·＝2m－1.
如果异面直线AB1和MN所夹的角等于45°，那么向量和的夹角等于45°或135°.
又cos〈，〉＝＝.
所以＝±，解得m＝－，这与0≤m≤2矛盾．
所以在CC1上不存在点N，使得异面直线AB1和MN所夹的角等于45°.
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
课时目标 1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标.2.掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直.3.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．
1．空间向量的直角坐标运算律
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
(1)a＋b＝______________；
(2)a－b＝________________；
(3)λa＝____________(λ∈R)；
(4)a·b＝________________；
(5)a∥b?________________；
(6)a⊥b?________________.
2．几个重要公式
(1)若A(x1，y1，z1)、B(x2，y2，z2)，则＝________________________.即一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的________的坐标减去________的坐标．
(2)模长公式：若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则|a|＝＝______________，|b|＝＝________________.
(3)夹角公式：cos〈a，b〉＝________________
＝________________________ (a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))．
(4)两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)．则＝=_________.
一、选择题
1．在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(－1,2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则( )
A.＝(－1,2,1) B.＝(1,3,4)
C..＝(2,1,3) D.＝(－2，－1，－3)
2．已知a＝(1,2，－y)，b＝(x,1,2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，则( )
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
3．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则＝＝是a∥b的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B. C. D.
5．已知a＝(2，－1,2)，b＝(2,2,1)，则以a、b为邻边的平行四边形的面积为( )
A. B. C．4 D．8
6．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)则|b－a|的最小值是( )
A. B. C. D.
二、填空题
7．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1,3)在平面ABC内，则x＝______.
8．若(a＋3b)⊥(7a－5b)，且(a－4b)⊥(7a－5b)，则a与b的夹角的余弦值为________．
9.已知A（1，－1,2），B(5,-6,2)C(1,3-1)则在上的投影为______．
三、解答题
10．设a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，求k；
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，求k.
11．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2, 并取A1B1、A1A的中点分别为P、Q.
（1）求向量的长；
（2）cos〈，〉，cos〈，〉，并比较〈，〉与〈，〉的大小；
(3)求证：AB1⊥C1P.
能力提升
12．在长方体OABC—O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：
(1)求直线AO1与B1E所成的角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．
13．在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，在棱BB1上是否存在点M，使得D1M⊥平面EFB1?
1．空间向量在几何中的应用
有了向量的坐标表示，利用向量的平行、垂直判定几何中线线、线面的平行与垂直，利用向量长度公式、夹角公式求两点间的距离和两异面直线所成的角，只需通过简单运算即可．在此处，要认真体会向量的工具性作用．
2．关于空间直角坐标系的建立
建系时，要根据图形特点，充分利用图形中的垂直关系确定原点和各坐标轴．同时，使尽可能多的点在坐标轴上或坐标平面内．这样可以较方便的写出点的坐标．
3．1.5 空间向量运算的坐标表示
知识梳理
1．(1)(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (2)(a1－b1，a2－b2，a3－b3) (3)(λa1，λa2，λa3) (4)a1b1＋a2b2＋a3b3 (5)a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) (6)a1b1＋a2b2＋a3b3＝0
2．(1)(x2－x1，y2－y1，z2－z1) 终点 起点
(2)
(3)
(4)
作业设计
1．C
2．B [∵a＋2b＝(1＋2x,4,4－y)，2a－b＝(2－x,3，－2y－2)，且(a＋2b)∥(2a－b)，∴3(1＋2x)＝4(2－x)且3(4－y)＝4(－2y－2)，∴x＝，y＝－4.]
3．A [设＝＝＝k，易知a∥b，即条件具有充分性．又若b＝0时，b＝(0,0,0)，
虽有a∥b，但条件＝＝显然不成立，所以条件不具有必要性，故选A.]
4．D [∵ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，
∴3(k－1)＋2k－4＝0.∴k＝.]
5．A [设向量a、b的夹角为θ，
于是cos θ＝＝，由此可得sin θ＝.
所以以a、b为邻边的平行四边形的面积为
S＝2××3×3×＝.]
6．C [∵|b－a|＝＝
＝≥ ＝，
∴|b－a|的最小值是.]
7．11
解析 ∵点P在平面ABC内，∴存在实数k1，k2，
使＝k1＋k2，
即(x－4，－2,0)＝k1(－2,2，－2)＋k2(－1,6，－8)，
∴ 解得
∴x－4＝－2k1－k2＝8－1＝7，即x＝11.
8．1
解析 由题意知(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－5a·b＋21a·b－15|b|2＝7|a|2＋16a·b－15b2＝0，①
且(a－4b)·(7a－5b)＝7|a|2－33a·b＋20|b|2＝0，②
①－②得49a·b＝35|b|2.
∴|a|2＝|b|2，∴＝.
∴cos〈a，b〉＝＝＝·＝1.
9．－4
解析 ∵＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0)．
＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)，
∴cos〈，〉＝
＝－，
在上的投影为||cos〈，〉
＝×＝－4.
10．解 ka＋b＝(k－2,5k＋3，－k＋5)，
a－3b＝(7，－4，－16)．
(1)若(ka＋b)∥(a－3b)，
则＝＝，
解得k＝－.
(2)若(ka＋b)⊥(a－3b)，则(k－2)×7＋(5k＋3)×(－4)＋(－k＋5)×(－16)＝0，解得k＝.
11．解
以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，则由已知，得C(0,0,0)，A(1,0,0)，B(0,1,0)，
C1(0,0,2)，
P，Q(1,0,1)，
B1(0,1,2)，A1(1,0,2)．
∴＝(1，－1,1)，＝(0,1,2)，
＝(1，－1,2)，＝(－1,1,2)，
＝.
(1)| |＝＝＝.
(2)∵·＝0－1＋2＝1，||＝，
||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又·＝0－1＋4＝3，
||＝＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝.
又0<<<1，
∴〈，〉，〈，〉∈.
又y＝cos x在内单调递减，
∴〈，〉>〈，〉．
(3)证明 ∵·＝(－1,1,2)·＝0，
∴⊥.
12．解
建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)由题意得A(2,0,0)，O1(0，0,2)，B1(2,3,2)，E(1,3,0)．
∴＝(－2,0,2)，
＝(－1,0，－2)，
∴cos〈，〉＝＝－，
∴AO1与B1E所成角的余弦值为.
(2)由题意得⊥，∥，
∵C(0,3,0)，设D(x，y,0)，
∴＝(x，y，－2)，＝(x－2，y,0)，＝(－2,3,0)，
∴ 解得
∴D，
∴O1D＝||＝ ＝.
即点O1到点D的距离为.
13．解
如图所示，分别以，，为单位正交基底，建立空间直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，B1(1,1,1)，
E，F，设M(1,1，m)，∴＝，
＝，＝(1,1，m－1)．
若D1M⊥平面EFB1，
则D1M⊥EF且D1M⊥B1E.
即·＝0，·＝0，
∴，∴m＝，
即存在点M且为B1B的中点，使D1M⊥平面EFB1.
课件22张PPT。3.1.5 空间向量运算的
坐标表示 由平面向量的坐标运算，推广到空间向量运算. 向量 a 在平面上可用有序实数对（x,y）
表示，在空间则用有序实数组{x,y,z}表示. 平面向量运算的坐标表示：空间向量运算的坐标表示又是怎样的呢 ?类比是我们探究规律的重要方法1.理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单
几何体的顶点坐标.
2．掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个
向量的共线或垂直.（重点）
3．掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离
公式，并能运用这些知识解决一些相关问题．
（难点）探究点1 空间向量运算的坐标表示1.距离公式（1）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度.探究点2 距离与夹角设 =(a1,a2,a3), =(b1,b2,b3).在空间直角坐标系中，已知 、
，则（2）空间两点间的距离公式2.两个向量夹角公式注意：
（1）当 时， 同向.
（2）当 时， 反向.
（3）当 时， .思考：当 及
时，夹角在什么范围内？解：设正方体的棱长为1，如图建
立空间直角坐标系 ，则例2 如图, 在正方体 中，
，求 与 所成的角的余弦值. 347、如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．
(1)求证：EF⊥CF.
(2)求CE的长．1.基本知识：（1）向量的长度公式与两点间的距离公式.（2）两个向量的夹角公式. 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题
时，可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐
标化，借助向量的直角坐标运算法则进行计算或
证明.平面向量的坐标表示空间向量的坐标表示 拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力.课件46张PPT。3.1 空间向量及其运算
3.1.5 空间向量运算的坐标表示自主学习 新知突破1．理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标．
2．掌握空间向量的线性运算的坐标表示，掌握空间向量数量积的坐标表示．
3．能运用向量的数量积的坐标表示解决一些相关问题．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).空间向量运算的坐标表示(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3) a1b1＋a2b2＋a3b3 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 空间中向量的坐标及两点间的距离公式 (a2－a1，b2－b1，c2－c1) 对空间向量运算的坐标表示的几点认识
(1)空间向量的加法、减法、数乘、数量积的坐标运算类似于平面向量的加法、减法、数乘、数量积的坐标运算．
(2)空间中相等向量的坐标是唯一的．
(3)空间两向量平行与平面向量平行的表达式不一样，但实质一样，即对应坐标成比例．1．已知向量a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，则b等于( )
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－2)
解析： b＝(a＋b)－a＝(－2,4，－2)．
答案： B合作探究 课堂互动 已知a＝(－2,0，－5)，b＝(3,2，－1)，求下列各式的值：
(1)a·a；
(2)|b|；
(3)(3a＋2b)·(a－b)．
思路点拨： 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和．空间向量的坐标运算 空间向量的坐标运算应注意的问题
(1)数乘、加减法运算及数量积运算可类比平面向量的坐标运算．
(2)要熟练记住以下公式
①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
②(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
③(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(3)在进行运算时可适当地选择求解方法
如计算(a＋b)·(a－b)，可以先求出a＋b与a－b，再点乘，也可以使用公式写成a2－b2＝|a|2－|b|2然后计算．1．已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)．求：
(1)a＋b；(2)a－b；(3)a·b；
(4)2a·(－b)；(5)(a＋b)·(a－b)．
解析： (1)a＋b＝(2，－1，－2)＋(0，－1,4)
＝(2＋0，－1－1，－2＋4)
＝(2，－2,2)．
(2)a－b＝(2，－1，－2)－(0，－1,4)
＝(2－0，－1＋1，－2－4)
＝(2,0，－6)．
(3)a·b＝(2，－1，－2)·(0，－1,4)
＝2×0＋(－1)×(－1)＋(－2)×4＝－7.
(4)(2a)·(－b)＝2(2，－1，－2)·(0,1，－4)＝4×0＋(－2)×1＋(－4)×(－4)＝14.
(5)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋4－(0＋1＋16)＝－8.利用坐标运算解决平行、垂直问题利用坐标运算解决距离、夹角问题【错因】 a，b的夹角为钝角与a·b<0并不等价，a·b<0中包含着〈a，b〉＝180°的情形，〈a，b〉＝180°的情形可利用a＝λb(λ<0)，也可利用a·b＝－|a|·|b|，即cos〈a，b〉＝－1求得，同样a·b>0也包含着〈a，b〉＝0°的情形，解题时应把这种情况剔除．谢谢观看！
