学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．l1的方向向量为v1＝(1，2，3)，l2的方向向量v2＝(λ，4，6)，若l1∥l2，则λ＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ∵l1∥l2，∴v1∥v2，则＝，∴λ＝2.
【答案】 B
2．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．平行或在平面内
【解析】 ∵＝λ＋μ，∴，，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．
【答案】 D
3．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1，1) B.
C. D.
【解析】 对于B，＝，
则n·＝(3，1，2)·＝0，
∴n⊥，则点P在平面α内．
【答案】 B
4．已知直线l的方向向量是a＝(3，2，1)，平面α的法向量是u＝(－1，2，－1)，则l与α的位置关系是( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l?α
【解析】 因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u.所以l∥α或l?α.
【答案】 D
5．若u＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )
A．(0，－3，1) B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
【解析】 同一个平面的法向量平行，故选D.
【答案】 D
二、填空题
6．若平面α，β的法向量分别为(－1，2，4)，(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为________．
【解析】 因为α⊥β，那么它们的法向量也互相垂直，则有－x－2－8＝0，所以x＝－10.
【答案】 －10
7．若a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________．
【解析】 由题意得＝＝，∴x＝，y＝－.
【答案】 －
8．已知A(4，1，3)，B(2，3，1)，C(3，7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝________．
【解析】 ＝(－2，2，－2)，＝(－1，6，－8)，
＝(x－4，－2，0)，由题意知A，B，C，P四点共面，
∴＝λ＋μ＝(－2λ，2λ，－2λ)＋(－μ，6μ，－8μ)＝(－2λ－μ，2λ＋6μ，－2λ－8μ)．
∴∴
而x－4＝－2λ－μ，∴x＝11.
【答案】 11
三、解答题
9.已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点(如图3-2-6所示)，并且＝k，＝k，＝k，＝＋m，＝＋m.求证：
图3-2-6
(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；
(2)∥；
(3)＝k.
【解】 (1)由＝＋m，＝＋m，知A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面．
(2)∵＝＋m＝－＋m(－)
＝k(－)＋km(－)＝k＋km
＝k(＋m)＝k，
∴∥.
(3)由(2)知＝－＝k－k
＝k(－)＝k.
∴＝k.
10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：是平面A1D1F的法向量．
【证明】 设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，E，D1(0，0，1)，F，A1(1，0，1)，＝，
＝，＝(－1，0，0)．
∵·＝·
＝－＝0，
又·＝0，
∴⊥，⊥.
又A1D1∩D1F＝D1，
∴AE⊥平面A1D1F，
∴是平面A1D1F的法向量．
[能力提升]
1．已知平面α的一个法向量是(2，－1，1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是( )
A．(4，2，－2) B．(2，0，4)
C．(2，－1，－5) D．(4，－2，2)
【解析】 ∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2，2)＝2(2，－1，1)，解得应选D.
【答案】 D
2．已知直线l过点P(1，0，－1)，平行于向量a＝(2，1，1)，平面α过直线l与点M(1，2，3)，则平面α的法向量不可能是( )
A．(1，－4，2) B.
C. D．(0，－1，1)
【解析】 因为＝(0，2，4)，直线l平行于向量a，若n是平面α的法向量，则必须满足把选项代入验证，只有选项D不满足，故选D.
【答案】 D
3．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．
【解析】 因为＝，
＝，
又因为a·＝0，a·＝0，
所以
解得
所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
【答案】 2∶3∶(－4)
4.如图3-2-7，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由.
图3-2-7
【解】 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0), 设E(0，y，z)，则
＝(0，y，z－1)，
＝(0，2，－1)，
∵∥，∴y(－1)－2(z－1)＝0， ①
∵＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，
＝(－1，y－1，z)，
∴由CE∥平面PAB, 可得⊥，
∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝2(y－1)＝0，
∴y＝1，代入①式得z＝.∴E是PD的中点，
即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB.
课题： 立体几何中的向量方法求空间距离(1)【教学简案】
课时：06
课型：新授课
教学目标：利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．
（1）点到平面的距离：
1．（一般）传统方法：
利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，
再计算这个垂线段的长度；
2．还可以用等积法求距离；
3．向量法求点到平面的距离.
在中，
又
（其中为斜向量，为法向量）
例１：如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，求点B到平面EFG的距离．
分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂直，可以由此建立空间直角坐标系．用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点B到平面EFG的距离．
解：如图，设4i，4j，2k，以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C－xyz．
由题设C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
∴ ，，
，，
．
设平面EFG，M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c，使得，
∴ ＝(2a+4b,－2b－4c,2c)．
由平面EFG，得，，于是
，．
∴
整理得：，解得．
∴ ＝(2a+4b,－2b－4c,2c)＝．
∴
故点B到平面EFG的距离为．
说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以了．
例2：
如图，在正方体中，棱长为1，为的中点，求下列问题：
（1） 求到面的距离；
解：如图，建立空间直角坐标系，则
，设为面的法向量
则
取，得，
选点到面的斜向量为
得点到面的距离为
课后练习：
1．如图在直三棱柱中，, ，，求点到面的距离.
2.在三棱锥中， 是边长为4的正三角形，平面平面，黄肌瘦，、分别为、的中点,求点到平面的距离.
教学反思:
课题： 立体几何中的向量方法求空间距离(2)【教学简案】
课时：07
课型：新授课
教学目标：利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．
（1）空间线线距离：
异面直线的距离
如图，异面直线也是转化为点到线的距离：
（其中为两条异面直线上各取一点组成的向量，是与都垂直的向量）
例1：
如图，在正方体中，棱长为1，为的中点， 求异面直线与的距离.
都垂直的向量，则
，取，得一个法向量为
选的两点向量
得的距离为
例2：已知棱长为1的正方体，求直线和间的距离。
课堂练习：已知棱长为1的正方体，求直线和AC1间的距离。
（2）空间线面距离及面面距离：
直线到平面的距离 转化为点到线的距离：
（其中为斜向量，为法向量）
平面到平面的距离
也是转化为点到线的距离：
（其中为斜向量，为法向量）
例3：已知棱长为1的正方体，求平面和平面间的距离
例4：已知棱长为1的正方体，求直线A1D和平面间的距离
课后作业：同步练习册 3.2~07
教学反思:
课件42张PPT。3.2 立体几何中的向量方法
3.2.1 用向量方法解决平行与垂直问题自主学习 新知突破1．会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直等位置关系．
2．会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与平行．[问题1] 在空间中给定一个定点A(一个石耳)和一个定方向(绳子方向)，能确定这条直线在空间的位置吗？
[提示1] 能．
[问题2] 石墩夯实地面的过程中，石墩所在的直线和地面垂直吗？
[提示2] 垂直．1．直线的方向向量的定义
直线的方向向量是指和这条直线____________的向量．
2．平面的法向量的定义
直线l⊥α，取直线l的____________，则a叫做平面α的法向量．直线的方向向量与平面的法向量共线或平行方向向量a空间中平行关系的向量表示a＝λb a·u＝0 u∥v?u＝λv 空间垂直关系的向量表示a⊥b a∥u u·v＝0 对空间垂直关系的几点认识
空间中的垂直关系包括线线垂直、线面垂直和面面垂直，这几种垂直关系是可以相互转化的，判定或证明垂直关系的方法主要是用判定定理或直线的方向向量、平面的法向量间的关系进行的．1．若直线l的方向向量为a＝(－1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0,4)，则( )
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l与α斜交
解析： ∵a＝(－1,0,2)，n＝(－2,0,4)，n＝2a，∴n∥a，
∴l⊥α.
答案： B3．已知平面α上两个不共线向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为________．合作探究 课堂互动 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别为棱A1D1，A1B1的中点，求平面EFBD的一个法向量．求空间平面的法向量
(2)求平面法向量的常见类型
①已知平面内三个点的坐标，求这三个点确定的平面的法向量；
②一个几何体中存在线面垂直关系，在建立空间直角坐标系后，平面的垂线的方向向量即为平面的法向量；
③在几何体中找到平面内已知点的坐标或找到与平面平行的向量，然后求平面的法向量．1．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)，试求平面α的一个法向量． 如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点，证明：PQ∥RS.用向量证明平行问题 用向量方法证明空间中的平行关系 2．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.用向量证明垂直问题 空间中垂直关系的证明方法
(1)线线垂直：①可以证明两直线的方向向量的数量积为0.
②可以证明两直线所成角为直角．
(2)线面垂直：①根据判定定理转化为线线垂直．
②证明直线的方向向量与平面的法向量平行．
(3)面面垂直：①根据判定定理证明线面垂直．
②证明两个平面的法向量垂直．3．已知M，N，P分别是正方体ABCD－A1B1C1D1中的棱CC1，BC，CD的中点，求证：A1P⊥平面DMN.◎已知u是平面α的法向量，a是直线l的方向向量，若u＝(4,1，5)，a＝(2，－8,0)，试判断l与α的位置关系．
【错解】 ∵u·a＝8－8＝0，
∴u⊥a，∴l∥α.
【错因】 错解中忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的不同．
【正解】 ∵u·a＝8－8＝0，
∴u⊥a，∴l∥α或l?α.谢谢观看！
