学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )
A．4 B.－4
C．5 D．－5
【解析】 ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.
∴k＝－5.
【答案】 D
2．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )
A.⊥ B.⊥
C.⊥ D.⊥
【解析】 由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．
【答案】 D
3．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )
A.，－，4 B.，－，4
C.，－2，4 D．4，，－15
【解析】 ∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，
又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥，
则解得
【答案】 B
4．已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为( )
A．(1，1，1)
B．(－1，－1，－1)或
C.
D．(1，1，1)或
【解析】 设D(x，y，z)，则＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，＝(0，－1，1)．
又DB⊥AC?－x＋z＝0 ①，
DC⊥AB?－x＋y＝0 ②，
AD＝BC?(x－1)2＋y2＋z2＝2 ③，
联立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－，所以点D的坐标为(1，1，1)或.故选D.
【答案】 D
5．设A是空间一定点，n为空间内任一非零向量，满足条件·n＝0的点M构成的图形是( )
A．圆 B．直线
C．平面 D．线段
【解析】 M构成的图形经过点A，且是以n为法向量的平面．
【答案】 C
二、填空题
6．已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2，1)与平面α平行，则z＝________.
【解析】 由题意知u⊥v，∴u·v＝3＋6＋z＝0，∴z＝－9.
【答案】 －9
7．已知a＝(x，2，－4)，b＝(－1，y，3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝________．
【解析】 由题意，知
解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.
【答案】 (－64，－26，－17)
8．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是________．
【解析】 ∵·＝0，·＝0，
∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确．
又与不平行，
∴是平面ABCD的法向量，则③正确．
由于＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，
∴与不平行，故④错误．
【答案】 ①②③
三、解答题
9.如图3-2-15，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.
图3-2-15
【证明】 以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0，0)，F(，，1)，M.
所以＝，＝(0, ，1)，＝(，－，0)．
设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，
则n⊥，n⊥，
所以?
取y＝1，得x＝1，z＝－.
则n＝(1，1，－)．
因为＝.
所以n＝－ ，得n与共线．
所以AM⊥平面BDF.
10．底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.
【证明】 法一 设AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E.
连接AC，设AC与BD相交于点O，连接OE，则点O的坐标为.
因为＝(0，0，1)，＝，
所以＝.所以OE∥AS.
又因为AS⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD.
又因为OE?平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
法二 设平面BDE的法向量为n1＝(x，y，z)，
因为＝(－1，1，0)，＝，
所以即
令x＝1，可得平面BDE的一个法向量为n1＝(1，1，0)．
因为AS⊥平面ABCD，
所以平面ABCD的一个法向量为n2＝＝(0，0，1)．
因为n1·n2＝0，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
[能力提升]
1.如图3-2-16，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是( )
图3-2-16
A．(1，－2，4)
B．(－4，1，－2)
C．(2，－2，1)
D．(1，2，－2)
【解析】 设平面AEF的一个法向量为n＝(x，y，z)，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，
则A(1，0，0)，E，F.
故＝，＝.
所以
即所以
当z＝－2时，n＝(－4，1，－2)，故选B.
【答案】 B
2.如图3-2-17，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是( )
图3-2-17
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ与平面A1BD垂直
【解析】 以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D，P(0，2，0)，＝(1，0，1)，＝，＝(－1，2，0)，＝.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2，1，－2)．假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1，2，0)＝(－λ，2λ，0)，则＝＋＝，因为也是平面A1BD的法向量，所以n＝(2，1，－2)与＝共线，于是有＝＝＝成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ与平面A1BD垂直，故选D.
【答案】 D
3.如图3-2-18，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系________．
图3-2-18
【解析】 以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则E，F，∴＝，平面PBC的一个法向量n＝(0，1，1)，∵＝－n，
∴∥n，
∴EF⊥平面PBC.
【答案】 垂直
4．如图3-2-19，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA＝AB＝BC＝AD.
图3-2-19
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由.
【解】 因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，1)．
(1)＝(0，0，1)，＝(1，1，0)，＝(－1，1，0)，
可得·＝0，·＝0，所以AP⊥CD，AC⊥CD.
又因为AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.
(2)设侧棱PA的中点是E，则E，＝.
设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则因为＝(－1，1，0)，＝(0，2，－1)，所以取x＝1，则y＝1，z＝2，所以平面PCD的一个法向量为n＝(1，1，2)．
所以n·＝(1，1，2)·＝0，所以n⊥.
因为BE?平面PCD，所以BE∥平面PCD.
综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD.
学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为( )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．以上均不对
【解析】 l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为.应选A.
【答案】 A
2．已知A(0，1，1)，B(2，－1，0)，C(3，5，7)，D(1，2，4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为( )
A. B．－
C. D．－
【解析】 ＝(2，－2，－1)，＝(－2，－3，－3)，
∴cos〈，〉＝＝＝，
∴直线AB，CD所成角的余弦值为.
【答案】 A
3．正方形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，则平面PAB与平面PCD的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设PA＝AB＝1.则A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)．于是＝(0，1，0)．
取PD中点为E，
则E，∴＝，
易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，∴cos?，?＝，
∴平面PAB与平面PCD的夹角为45°.
【答案】 B
4．如图3-2-28，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCD-A1B1C1D1为长方体，AA1＝AB＝2AD，点E，F分别为C1D1，A1B的中点，则二面角B1-A1B-E的余弦值为( )
图3-2-28
A．－ B．－
C. D.
【解析】 设AD＝1，则A1(1，0，2)，B(1，2，0)，因为E，F分别为C1D1，A1B的中点，所以E(0，1，2)，F(1，1，1)，所以＝(－1，1，0)，＝(0，2，－2)，设m＝(x，y，z)是平面A1BE的法向量，则所以所以取x＝1，则y＝z＝1，所以平面A1BE的一个法向量为m＝(1，1，1)，又DA⊥平面A1B1B，所以＝(1，0，0)是平面A1B1B的一个法向量，所以cos〈m，〉＝＝＝，又二面角B1-A1B-E为锐二面角，所以二面角B1-A1B-E的余弦值为，故选C.
【答案】 C
5.如图3-2-29，空间正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )
图3-2-29
A. B.
C. D.
【解析】 以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系，则＝，＝，
cos〈，〉＝＝0.
∴〈，〉＝.
【答案】 D
二、填空题
6．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为A1B1，BB1的中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是________．
【解析】 依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1，0，0)，M，C(0，1，0)，N，
∴＝，
＝，
∴cos〈，〉＝＝，
故异面直线AM与CN所成角的余弦值为.
【答案】
7．在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1，－2，0)，B(2，1，)，则向量与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为________．
【解析】 设平面xOz的法向量为n＝(0，t，0)(t≠0)，＝(1，3, )，所以cos〈n，〉＝＝，因为〈n，〉∈[0，π]，所以sin〈n，〉＝＝.
【答案】
8．已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．
【解析】 如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0，0，1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．
所以A(1，0，0)，E，F，
所以＝，＝，
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1，3)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝.
所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos α＝，sin α＝，所以tan α＝.
【答案】
三、解答题
9.如图3-2-30所示，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.
图3-2-30
(1)求证：AO⊥平面BCD；
(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
【解】 (1)证明：连接OC，
由题意知BO＝DO，AB＝AD，
∴AO⊥BD.
又BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD.
在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝，
又AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC.
∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD.
(2)以O为坐标原点建立空间直角坐标系，
则B(1，0，0)，D(－1，0，0)，C(0, ，0)，A(0，0，1)，
E，
∴＝(－1，0，1)，＝(－1，－，0)，
∴cos〈，〉＝＝.
∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为.
10．四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
(1)求证：平面AEC⊥平面PDB；
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
【解】 如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝a，PD＝h，则
A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，D(0，0，0)，P(0，0，h)，
(1)∵＝(－a，a，0)，＝(0，0，h)，＝(a，a，0)，
∴·＝0，·＝0，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D，
∴AC⊥平面PDB，
又AC?平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB.
(2)当PD＝AB且E为PB的中点时，P(0，0，a)，E，
设AC∩BD＝O，O，连接OE，由(1)知AC⊥平面PDB于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，
∵＝，＝，
∴cos∠AEO＝＝，
∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.
[能力提升]
1．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为( )
A．60° B．90°
C．45° D．以上都不对
【解析】 以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图．
由题意知，A1(1，0，2)，E(1，1，1)，D1(0，0，2)，A(1，0，0)，所以＝(0，1，－1)，＝(1，1，－1)，＝(0，－1，－1)．
设平面A1ED1的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则
得
令z＝1，得y＝1，x＝0，所以n＝(0，1，1)，
cos〈n，〉＝＝＝－1.
所以〈n，〉＝180°.
所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°.
【答案】 B
2.在三棱柱ABC-A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为( )
图3-2-31
A. B.
C. D.
【解析】 不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，
则＝(－2，2，1)，＝(0，－2，1)，
所以cos〈，〉＝
＝＝－.
因为直线BC1与直线AB1的夹角为锐角，所以所求角的余弦值为.
【答案】 A
3．在空间中，已知平面α过(3，0，0)和(0，4，0)及z轴上一点(0，0，a)(a＞0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________．
【解析】 平面xOy的法向量为n＝(0，0，1)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则
即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝.
而cos〈n，u〉＝＝，
又∵a＞0，∴a＝.
【答案】
4.如图3-2-32，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
图3-2-32
(1)求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；
(2)求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值.
【解】 (1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4) ，C1(0，2，4)，
所以＝(2，0，－4)，＝(1，－1，－4).
因为cos〈，〉＝＝＝，
所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.
(2)设平面ADC1的法向量为n1＝(x，y，z)，因为＝(1，1，0)，＝(0，2，4)，所以n1·＝0，n1·＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z＝1，得x＝2，y＝－2，所以n1＝(2，－2，1)是平面ADC1的一个法向量．取平面AA1B的一个法向量为n2＝(0，1，0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ.
由|cos θ|＝＝＝，
得sin θ＝.
因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.
课题:向量计算空间角（1）
课时：08
课型：新授课
教学内容及过程
（一）知识梳理：
1.巩固复习，由学生填写，教师课件演示
1.求两条异面直线所成的角
设,分别是两条异面直线,的方向向量,则
,所成的角
与夹角
范围
求法
2.求直线与平面所成的角
设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为,则
3.求二面角的大小
(1)若,分别是二面角两个半平面内与棱垂直的异面直线,则二面角的大小就是_________________的夹角
(2)设,分别是二面角两个面,的法向量,则向量与的夹角(或其补角)的大小就是____________的大小
（二.）基础自测
让学生独立完成，检验所学知识，教师进行点评
1．在正方体中,是的中点,则异面直线与所成的角余弦值为( )
. . . .
2.在三棱锥中, 平面,,分别是棱的中点, .则直线与平面所成的角正弦值为( )
A． B. C. D.
3. 二面角的棱上有两点,直线分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于,已知,则该二面角的大小为( )
. . . .
4.已知空间四边形的各边和对角线的长都等于,点分别是直线 的中点,则异面直线与所成的角余弦值为___________
（三）、规律方法总结：用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）用空间向量解决立体几三步曲：
1. 化为向量问题或向量的坐标问题
2. 进行向量运算
3 .回到图形
（2）两种思维方法：
用空间向量解决立体几何问题，有两种基本思维：
（1）一种是利用空间向量表示几何量，利用向量的运算进行判断，此种方法不需要建系；
（2）另一种是用空间向量的坐标表示几何量，利用向量的坐标运算进行判断，此种方法需要建系．
（四）、典例分析（教师讲解，师生共同完成）
例1. 如图所示，已知在矩形ABCD中，AB=1，BC=a（a>0），PA⊥平面AC，且PA=1．
（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标；
（2）问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q，
使得PQ⊥QD？
（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ⊥QD时，
求二面角Q-PD-A的大小．
解析：（1）以A为坐标原点，AB、AD、AP分
别为x、y、z轴建立坐标系如图所示．
∵PA=AB=1，BC=a，
∴P（0，0，1），B（1，1，0），
D（0，a，0）．
（2）设点Q（1，x，0），则
．
显然当该方程有实数解时，BC边上才存在点Q，使得PQ⊥QD，故⊿=a2-4≥0．
因a>0，故a的取值范围为a≥0．
（3）易见，当a=2时，BC上仅有一点满足题意，此时x=1，即Q为BC的中点．
取AD的中点M，过M作MN⊥PD，垂足为N，连结QM、QN．则M（0，1，0），P（0，0，1），D（0，2，0）．
∵D、N、P三点共线，
∴．
又，且，
故．
于是．
故．
∵，
∴．
∴∠MNQ为所求二面角的平面角．
∵，
∴所求二面角为．
方法小结：二面角的计算可以二面角的定义和采用平面的法向量间的夹角来实现，进而转化为对平面法向量的求解。最后要注意法向量如果同向的话，其夹角就是二面角平面角的补角，异向的话就是二面角的平面角。
例2. 如右下图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB= 4， AD =3， AA1= 2．E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB= FB=1．
（1）求二面角C-DE-C1的正切值；
（2）求直线EC1与FD1所成的余弦值．
解析：（1）如图，以A为原点，分别为x轴，y轴，z轴的正向建立空间直角坐标系A-xyz，则有D(0，3，0)、D1(0，3，2)、E(3，0，0)、F(4，1，0)、C1(4，3，2)．
于是，，
．
设向量与平面C1DE垂直，则有
．
∴其中z＞0．
取n0=(-1，-1，2)，则n0是一个与平面C1DE垂直的向量．
∵向量=（0，0，2）与平面CDE垂直，
∴n0与所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角．
∵，
∴．
（2）设EC1与FD1所成角为?，则
．
方法小结：空间向量在解决异面直线所成角的计算时，通常要先建立空间直角坐标系，然后利用计算出两个向量的坐标在带入夹角公式中计算，特别注意的是由于向量夹角的范围是 ，而异面直线所成角的范围确是 ，所以一定要注意最后计算的结果应该取正值。
小结: 体会向量方法在研究立体几何问题的作用，体会数学转化的思想。
课题：立体几何中向量方法求角度(2)
课时：09
课型：新授课
课后作业：
1．已知正方体的棱长为2，分别是上的动点，且，确定的位置，使．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，
得，．
那么，
从而，，
由，
即．
故分别为的中点时，．
2．如图4，在底面是直角梯形的四棱锥中，， 面，，求面与面所成二面角的正切值．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
延长交轴于点，易得，
作于点，连结，
则即为面与面所成二面角的平面角．
又由于且，得，
那么，，
从而，
因此．
故面与面所成二面角的正切值为．
3．如图2，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，求与侧面所成的角．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则．
由于是面的法向量，
．
故与侧面所成的角为．
4．平行六面体的底面是菱形，且，试问：当的值为多少时，面？请予以证明．
解：欲使面，只须，且．
欲证，只须证，
即，
也就是，
即．
由于，
显然，当时，上式成立；
同理可得，当时，．
因此，当时，面．
5.如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，
(1)求证：MN⊥平面PCD；(2)求NM与平面ABCD所成的角的大小.
6.一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.
7.正四棱锥S—ABCD中，所有棱长都是2，P为SA的中点，如图.
(1)求二面角B—SC—D的大小；(2)求DP与SC所成的角的大小.
8.如图，直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1，A1A的中点；
(1)求
(2)
(3)求CB1与平面A1ABB1所成的角的余弦值.
课件67张PPT。3.2 立体几何中的向量方法
3.2.2 用向量方法求空间中的角自主学习 新知突破1．理解直线与平面所成角的概念．
2．掌握利用向量方法解决线线角、线面角、二面角的求法．
3．正确运用向量法求异面直线的夹角．山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，A，B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m.[问题1] 如何用向量方法求异面直线AC和BD所成的角？空间角的向量求法|cos〈a·b〉| 〈a，n〉 |cos〈n1，n2〉| 4．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝BC＝AB＝2，AB⊥BC，求二面角B1－A1C－C1的大小．合作探究 课堂互动求异面直线所成的角 求异面直线所成的角的两种方法
(1)几何法
①方法：解决此类问题，关键是通过平移法求解．过某一点作平行线，将异面直线所成的角转化为平面角，最后通过解三角形求解．主要以“作，证，算”来求异面直线所成的角，同时，要注意异面直线所成角的范围．
②关注点：结合图形求角时，应注意平面几何知识的应用，如等腰(边)三角形的性质、中位线的性质及勾股定理、余弦定理及有关推论． (2)向量法
①方法：利用数量积或坐标方法将异面直线所成的角θ转化为两直线的方向向量所成的角φ，若求出的两向量的夹角为钝角，则异面直线的夹角应为两向量夹角的补角，即cos θ＝|cos φ|.
②关注点：求角时，常与一些向量的计算联系在一起，如向量的坐标运算、数量积运算及模的运算． 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A1B与平面A1B1CD的夹角．
思路点拨： 方法一：几何法，作出A1B在平面A1B1CD内的射影，直接求解．求直线与平面的夹角解析： 方法一：连接BC1，与B1C交于点O，连接A1O，
在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
∵B1C⊥BC1，BC1⊥A1B1，B1C∩A1B1＝B1，
∴BC1⊥平面A1B1CD.故A1O为A1B在平面A1B1CD内的投影，即∠BA1O为A1B与平面A1B1C的夹角， 求直线与平面的夹角的方法与步骤
思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)． 2．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，∠ADC＝∠DCB＝90°，AD＝1，BC＝3，PC＝CD＝2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．求直线PC与平面PDE所成角的正弦值．解析： 如图所示，以点C为坐标原点，直线CD，CB，CP分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系C－xyz，则相关点的坐标为C(0，0,0)，P(0，0,2)，D(2,0,0)，E(1,2,0)．求二面角 (1)求二面角的方法 3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中平面AB1D1与平面A1BD所成的夹角为θ，求cos θ的值． 在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，CD的中点，求点B到平面AEC1F的距离．求空间距离思路点拨： AB是平面AEC1F的斜线段，AB在平面AEC1F的法向量方向上的投影长即为点B到平面AEC1F的距离，所以应先求出平面AEC1F的一个法向量，再利用向量的数量积求解． 求点到平面的距离的步骤可简化为：
(1)求平面的法向量；
(2)求斜线段对应的向量在法向量上的投影的绝对值，即为点到平面的距离．
空间中其他距离问题一般都可转化为点到平面的距离求解． 【错因】 由平面的法向量求二面角大小时，必须分清二面角的大小与向量夹角的大小之间的关系，本错解未注意到二面角实际是一个锐二面角．谢谢观看！
