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《11.3.2多边形及其内角和》导学案
课题 多边形及其内角和 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 1、会应用多边形内角和公式进行计算。 2、经历探究多边形内角和计算方法的过程，培养学生的探究能力。3、感受数学的转化思想，认识多边形知识的实际应用价值。
重点难点 重点：多边形的内角和以及外角和 难点：如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和
教学过程
知识链接 1、三角形的内角和等于____________ 2、长方形，正方形的每个内角都是___________,和为________。
合作探究 探索1、四边形的内角和谈一谈你对四边形内角和的认识，你能猜想任意四边形的内角和是多少度吗？证明你的猜想？ 探索2、五边形的内角和类似地，你能知道五边形、六边形…n边形的内角和是多少度吗？观察下面的图形，填空：从五边形一个顶点出发可以引______条对角线，它们将五边形分成______个三角形，五边形的内角和等于______；从六边形一个顶点出发可以引______条对角线，它们将六边形分成______个三角形，六边形的内角和等于______；总结多边形内角和，你会得到什么样的结论？完成下列表格：多边形边数分成三角形的个数图形 内角和计算规律 三角形3 1180° (3－2) ·180° 四边形4 五边形5 六边形6 。。。 。。。 。。。 。。。 。。。 。。。 n边形n ●归纳：从n边形的一个顶点出发，可以作_______条对角线这些对角线将n边形分为 个三角形 n边形的内角和等于 _________例1、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系． 这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也_______． 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？ 已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角．求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值． 多边形的外角和等于_________
自主尝试 1．一个六边形的内角和等于( ) A．180° B．360° C．540° D．720° 2．一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是( ) A．4 B．5 C．6 D．73．四边形ABCD中，若∠A＋∠C＋∠D＝280°，则∠B的度数为( ) A．80° B．90° C．170° D．20° 4．四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数比为 2∶3∶4∶3，则∠D等于( ) A．60° B．75° C．90° D．120° 5．求如图所示的图形中x的值：
当堂检测 1．七边形外角和为( ) A．180° B．360° C．900° D．1 260° 2．已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是( ) A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 3．不能作为正多边形的内角的度数的是( ) A．120° B．108° C．144° D．145° 4．多边形的每个内角都等于150°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有( ) A．8条 B．9条 C．10条 D．11条 5．一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1∶4，那么这个多边形的边数为( ) A．8 B．9 C．10 D．12 6．如图，正六边形ABCDEF，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N，则∠MPN＝________． 7．多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1 350°，求多边形的边数． 8．(1)如图1、2，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系； (2)如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； (3)用你发现的结论解决下列问题：如图3，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数．
小结反思 学生回顾本节课所学内容（包括数学思想方法）
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《11.3.2多边形及其内角和》导学案
课题 多边形及其内角和 学科 数学 年级 八年级上册
知识目标 1、会应用多边形内角和公式进行计算。 2、经历探究多边形内角和计算方法的过程，培养学生的探究能力。3、感受数学的转化思想，认识多边形知识的实际应用价值。
重点难点 重点：多边形的内角和以及外角和 难点：如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和
教学过程
知识链接 1、三角形的内角和等于____________ 2、长方形，正方形的每个内角都是___________,和为________。你知道任意一个四边形的内角和是多少吗？通过今天的学习我们就能明白其中的一些道理，引出课题。
合作探究 探索1、四边形的内角和学生叙述对四边形内角和的认识． （如：通过测量相加求内角和，通过画四边形对角线分成两个三角形来计算内角和等）．建议：①对于学生提出的不同方法加以及时肯定；②对于通过“分割转化”来求内角和的方法加以强调，并提出是数学学习中的一种常用方法；③可以启示学生用其他方法证明四边形内角和为360度 【分成2个三角形180°×2=360°】【分割成4个三角形180°×4-360°=360°】【分割成3个三角形180°×3-180°=360°】小结：借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三角形内角和求得四边形内角和探索2、五边形的内角和类似地，你能知道五边形、六边形…n边形的内角和是多少度吗？观察下面的图形，填空：从五边形一个顶点出发可以引______条对角线，它们将五边形分成______个三角形，五边形的内角和等于______；从六边形一个顶点出发可以引______条对角线，它们将六边形分成______个三角形，六边形的内角和等于______；分法一：如图1，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形．∴五边形的内角和为5×180°-2×180°＝（5-2）×180°=540°．分法二： 如图2，在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5-1）个三角形．∴五边形的内角和为（5-1）×180°-180°＝（5-2）×180°=540°．如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和＝（n-2）×180°． 总结多边形内角和，你会得到什么样的结论？完成下列表格：多边形边数分成三角形的个数图形 内角和计算规律 三角形3 1180° (3－2) ·180° 四边形4 五边形5 六边形6 。。。 。。。 。。。 。。。 。。。 。。。 n边形n ●归纳：从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线这些对角线将n边形分为（n-2）个三角形 n边形的内角和等于 (n－2)．180°例1、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．分析：本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4-2）×180°=360°又∠A＋∠C＝180°∴∠B＋∠D= 360°-（∠A＋∠C）=180° 这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．例2、如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角．求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°．这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．解：∵∠1+∠BAF=180° ∠2+∠ABC=180° ∠3+∠BCD=180° ∠4+∠CDE=180° ∠5+∠DEF=180° ∠6+∠EFA=180°∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180°又∵∠BAF+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=(6-2)×180°=4×180°∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2×180°=360°多边形的外角和等于360°对此，我们也可以这样来理解．如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．结论：n边形的外角和等于360°.
自主尝试 1．一个六边形的内角和等于( )D A．180° B．360° C．540° D．720° 2．一个多边形的内角和是900°，这个多边形的边数是( )D A．4 B．5 C．6 D．73．四边形ABCD中，若∠A＋∠C＋∠D＝280°，则∠B的度数为( )A A．80° B．90° C．170° D．20° 4．四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C，∠D的度数比为 2∶3∶4∶3，则∠D等于( )C A．60° B．75° C．90° D．120° 5．求如图所示的图形中x的值：解：（1）根据图形可知：x＝360－150－90－70＝50. （2）根据图形可知：x＝180－[360－(90＋73＋82)]＝65. （3）根据图形可知：x＋x＋30＋60＋x＋x－10＝540.解得x＝115.
当堂检测 1．七边形外角和为( )B A．180° B．360° C．900° D．1 260° 2．已知一个正多边形的每个外角等于60°，则这个正多边形是( )B A．正五边形 B．正六边形 C．正七边形 D．正八边形 3．不能作为正多边形的内角的度数的是( )D A．120° B．108° C．144° D．145° 4．多边形的每个内角都等于150°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有( )B A．8条 B．9条 C．10条 D．11条 5．一个正多边形的外角与它相邻的内角之比为1∶4，那么这个多边形的边数为( )C A．8 B．9 C．10 D．12 6．如图，正六边形ABCDEF，P是BC边上一动点，过P作PM∥AB交AF于M，作PN∥CD交DE于N，则∠MPN＝________．答案：600 7．多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1 350°，求多边形的边数．解：设这个外角度数为x°，多边形的边数为n， 由题意，得(n－2)×180＋x＝1 350.解得x＝1 710－180n. ∵0＜x＜180， ∴0＜1 710－180n＜180. 解得8.5＜n＜9.5. 又∵n为正整数， ∴n＝9.故多边形的边数是9. 8．(1)如图1、2，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；解：∵∠3、∠4、∠5、∠6是四边形的四个内角，∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°. ∴∠3＋∠4＝360°－(∠5＋∠6)． ∵∠1＋∠5＝180°，∠2＋∠6＝180°， ∴∠1＋∠2＝360°－(∠5＋∠6)． ∴∠1＋∠2＝∠3＋∠4. (2)如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式； 四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角的和． (3)用你发现的结论解决下列问题：如图3，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B＋∠C＝240°，求∠E的度数．解：∵∠B+∠C=2400∴∠MDA+∠NAD=2400∵AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线∴∠ADE=∠MDA ∠DAE=∠NAD ∴∠ADE+∠DAE=(∠MDA+∠NAD)=1200∴∠E=600
小结反思 学生回顾本节课所学内容（包括数学思想方法）
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