A级 基础巩固
一、选择题
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A．y＝ B．y＝x
C．y＝22x D．y＝x－1
解析：显然C中y＝22x＝4x，不是y＝xα的形式，所以不是幂函数，而A，B，D中的α分别为，，－1，符合幂函数的结构特征．
答案：C
2．下列函数中既是偶函数又在(－∞，0)上是增函数的是( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x－2 D．y＝x－
解析：对于幂函数y＝xα，如果它是偶函数，当α<0时，它在第一象限为减函数，在第二象限为增函数，则C选项正确．
答案：C
3．幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x，y＝x－在第一象限内的图象依次是图中的曲线( )
A．C2，C1，C3，C4 B．C4，C1，C3，C2
C．C3，C2，C1，C4 D．C1，C4，C2，C3
解析：由于在第一象限内直线x＝1的右侧时，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，同理，y＝x－1在第一象限的图象为C4，y＝x在第一象限内的图象为C2，y＝x－在第一象限内的图象为C3.
答案：D
4．已知幂函数y＝f(x)的图象过(4，2)点，则f ＝( )
A. B.
C. D.
解析：设幂函数f(x)＝xα，由图象经过点(4，2)，
可得4α＝2，即22α＝2，
所以2α＝1，α＝，
即f(x)＝x.
故f ＝＝.
答案：D
5．设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是( )
A．a
C．c解析：由于函数y＝在它的定义域R上是减函数，所以a＝
>b＝>0.由于函数y＝x在它的定义域R上是增函数，且>，故有c＝>a＝，故a，b，c的大小关系是b答案：B
二、填空题
6．给出下面四个条件：①f(m＋n)＝f(m)＋f(n)；②f(m＋n)＝f(m)·f(n)；③f(mn)＝f(m)·f(n)；④f(mn)＝f(m)＋f(n)．如果m，n是幂函数y＝f(x)定义域内的任意两个值，那么幂函数y＝f(x)一定满足的条件的序号为________．
解析：设f(x)＝xα，则f(m＋n)＝(m＋n)α，f(m)＋f(n)＝mα＋nα，f(m)·f(n)＝mα·nα＝(mn)α，f(mn)＝(mn)α，所以f(mn)＝f(m)·f(n)一定成立，其他三个不一定成立，故填③.
答案：③
7．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m等于________．
解析：因为幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，所以3m－5<0，即m<，又m∈N，
所以m＝0或m＝1，
因为f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，
当m＝0时，f(x)＝x－5，是奇函数；
当m＝1时，f(x)＝x－2，是偶函数．
所以m＝1.
答案：1
8．若f(x)＝xα是幂函数，且满足＝3，则f＝________．
解析：因为＝3，所以＝3，即2α＝3，
所以f＝＝2－α＝3－1＝.
答案：
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时：
(1)f(x)是幂函数？
(2)f(x)是正比例函数？
(3)f(x)是反比例函数？
(4)f(x)是二次函数？
解：(1)因为f(x)是幂函数，
故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，
则－5m－3＝1，解得m＝－.
此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(3)若f(x)是反比例函数，
则－5m－3＝－1，
则m＝－，此时m2－m－1≠0，
故m＝－.
(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，
即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
10．已知幂函数f(x)的图象过点(25，5)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(2－lg x)，求g(x)的定义域、值域．
解：(1)设f(x)＝xα，则由题意可知25α＝5，
所以α＝，所以f(x)＝x.
(2)因为g(x)＝f(2－lg x)＝，
所以要使g(x)有意义，只需2－lg x≥0，
即lg x≤2，解得0所以g(x)的定义域为(0，100]，
又2－lg x≥0，所以g(x)的值域为[0，＋∞)．
B级 能力提升
1．对于幂函数f(x)＝x，若0A．f >
B．f <
C．f ＝
D．无法确定
解析：幂函数f(x)＝x在(0，＋∞)上是增函数，大致图象如图所示．设A(x1，0)，C(x2，0)，其中0|AB|＝f(x1)，|CD|＝f(x2)，
|EF|＝f .
因为|EF|>(|AB|＋|CD|)，
所以f >.
答案：A
2．已知函数f(x)＝(a>0，且a≠1)是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：当x≤0时，由f(x)＝ax为减函数，知00时，由f(x)＝3a－x为减函数，知a∈R，且要满足a0≥3a，解得a≤.综上，可知实数a的取值范围为.
答案：
3．已知幂函数f(x)＝x(m∈N*)．
(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围．
解：(1)因为m2＋m＝m(m＋1)，m∈N*，
所以m与m＋1必定有一个为偶数，
所以m2＋m为偶数，
所以函数f(x)＝x(m∈N*)的定义域为[0，＋∞)，
并且该函数在其定义域上为增函数．
(2)因为函数f(x)经过点(2，)，
所以＝2，即2＝2，
所以m2＋m＝2，即m2＋m－2＝0.
所以m＝1或m＝－2.
又因为m∈N*，所以m＝1.
因为f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以由f(2－a)>f(a－1)得
解得1≤a<.
故m的值为1，满足条件f(2－a)>f(a－1)的实数a的取值范围为.
课件34张PPT。第二章 基本初等函数（Ⅰ） 