2.3.1 数学归纳法 课件（21张PPT）

课件21张PPT。数学归纳法——小明的爸爸有四个小孩我是一毛我是二毛我是三毛我是谁？我不是四毛！我是小明！一、归纳法的原理： 大球中装有若干个小球，以下是试验过程和推理，其结论是否正确？试验（1）从大球中取出了5个小球，发现全是红色的。推理大球中装的全是红球判断考察部分对象，得到一般结论的方法，
叫做不完全归纳法。不完全归纳法得
到的结论不一定正确！不完全归纳法和完全归纳法
均称为归纳法。试验（2）从大球中取出所有的小球，推理大球中装的全是红球判断考察全部对象，得到一般结论的方法，
叫做完全归纳法。完全归纳法得到的
结论一定正确！发现全是红色的。 在等差数列 中，已知首项为 ，公差为 ， 思考：下列推理正确吗？点评：
这个结论是由不完全归纳法得到的，证明结果
不一定可靠！讨论：
如何运用完全归纳法证明上面的等差数列通项
公式是正确的？
二、讲授新课 其中道理可用于数学证明──数学归纳法.（1）第一张骨牌必须能倒下（2）假若第k（k≥1）张能倒下
时，一定能推倒紧挨着它的
第k+1张骨牌（游戏开始的基础）（游戏继续的条件） 分析：

能够使游戏一直连续运行的条件：类似地，把关于自然数n的命题
看作多米诺骨牌，产生一种符合
运行条件的方法：（递推基础）（递推依据）由（1）（2）知，游戏可以一直
连续运行。由（1）（2）知，命题对于一切
n≥n。的自然数n都正确。我们把以上证明关于自然数n的
命题的方法，叫做数学归纳法。数学归纳法：
一个与自然数相关的命题，如果 那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成立。 （1）当n取第一个值n0时命题成立；
（2）在假设当n=k(k∈N+，且k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n=k+1时命题也成立，（2）假设当n=k时等式成立，就是这就是说，当n=k+1时，等式也成立由（1）和（2），可知的等式对任何 都成立．下面用数学归纳法证明等差数列通项公式：那么总结：
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉
例：求证：证明：（1）当n=1时，等式左端等于1，右端也等于1，因此等式对n=1成立；（2）假设当n=k时，等式成立，即假设由此可见在假设等式对n=k成立的前提下，推出等式对n=k+1成立。
于是可以断定等式对一切正整数n成立.三、例题分析 例1 用数学归纳法证明 证明： （1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．（2）假设当 时，等式成立，就是那么这就是说，当n=k+1时，等式也成立．由（1）和（2），可知的等式对任何 都成立．要证明的
目标是：
1＋3＋5＋…
＋（2k-1）＋[2(k+1)－1]=(k+1)^2
用数学归纳法证明: 练习1：2＋4＋6＋…＋2n＝ ＋n+1(n∈N)的步骤如下： 假设当n＝k时等式成立。
即 2＋4＋6＋…＋2k＝ ＋k＋1则 2＋4＋6＋…＋2k＋2（k＋1）
＝ ＋k＋1 ＋2（k＋1）
＝ ＋（k＋1）＋1 这就是说，当n＝k＋1时等式成立。
根据数学归纳法2＋4＋6＋…＋2n＝ ＋n+1对n∈N都正确。评析：
用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的。
没有步骤（1）命题的成立就失去了基础；
没有步骤（2）命题的成立就失去了保证！证明：当n=1时，左边＝2，右边＝3，等式不成立；哪错了？？？？例2．用数学归纳法证明：1+3+5+…+(2n－1)=n2.证明:(1)当n=1时，左边=1，右边=1，
等式成立；
(2)假设当n=k时，等式成立，
即1+3+5+…+(2k－1)=k2.
那么1+3+5+…+(2k－1)+[2(k+1)－1] =k2+[2(k+1)－1]=k2+2k+1=(k+1)2.
这就是说，当n=k+1时，等式也成立，
由(1)和(2)可以断定，等式对任何n∈N+都成立。用数学归纳法证明： 练习2：由(1)和(2)可以断定，等式对任何n∈N+都成立。
以上三道题告诉我们用数学归纳法证明
命题的步骤（2）中，要注意对n=k到n=k+1
的正确理解，以及由n=k到n=k+1的过程中所
变化的部分。评析：练习A1．用数学归纳法证明： 练习3：练习B1.用数学归纳法证明： 练习4：一、数学归纳法适用范围:某些与正整数有关的数学命题.五、小结二、用数学归纳法证明命题的步骤：
(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；
(2)假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.
由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确。数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明
莫忘掉