2.3 数学归纳法（26张）

(共26张PPT)
2.3 数学归纳法
对于数列 ,已知 ,
求通项公式.

猜想：
学 习 目 标
1.了解数学归纳的原理
2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题

(多米诺骨牌游戏)


思考：此游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件？
1.第一块骨牌倒下
2.任意相邻的两块骨牌，
前一块倒下一定导致后一块倒下
递推关系：第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下


















1.第一块骨牌倒下
2.任意相邻的两块骨牌，
前一块倒下一定导致
后一块倒下

（第k块倒下，相邻的第k+1块也倒下）
数列 ,已知

猜想：
2.假设 时成立，那么
时猜想也成立，即
多米诺骨牌
一般地证明一个与正整数
1.（归纳奠基)证明当
2.（归纳递推）假设当
有关的命题，可按下列步骤进行：
取第一个值
时命题成立；
时命题成立，
时命题也成立.
证明当
证明：
（1）当
左边
所以等式成立.
(2)假设当
那么,当
即当
时，
时等式成立,即
时
等式也成立.
都成立.

变式练习1 用数学归纳法证明
证明（1）当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立．
这就是说，当n=k+1时，等式也成立．
由（1）和（2），可知等式对任何正整数n都成立．
（2）假设当n=k时，等式成立，即
递推基础
递推依据
那么当n=k+1时，
分析下列各题用数学归纳法证明过程中的错误：
变式训练2
纠错!
（1）2+4+6+8+…+2n=n2+n+1(n?N*)
证明 ：假设当n=k时等式成立，即
2+4+6+8+…+2k=k2+k+1(k?N*)
那么，当n=k+1时，有
2+4+6+8+…+2k+2（k+1)
=k2+k+1+2(k+1)
=(k+1)2+(k+1)+1 ,
因此，对于任何n?N*等式都成立。
缺乏“递推基础”
事实上，我们可以用等差数列求和公式验证原等式是不成立的！
这就是说，当n=k+1时,命题也成立.
没有用上“假设”，故此法不是数学归纳法
请修改为数学归纳法
证明 ①当n=1时,左边= ,
②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ，即
此时，原等式成立。
那么n=k+1时,
由 ①②知,对一切正整数n,原等式均正确.
这才是数学归纳法
②假设n=k(k∈N*)时原等式成立 ，即
此时，原等式成立。
那么n=k+1时,
这就是说，当n=k+1时,命题也成立.
由 ①②知,对一切正整数n,原等式均正确.




1. 试问等式
解:假设当
则当





所以等式对任何
事实上，当
四、深化理解
归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？
成立吗？某同学用数学
时等式成立，即
时
即当
时等式也成立.
都成立.
时，左边＝2，右边＝3,左边≠右边，等式不
成立.缺少归纳奠基，不属于数学归纳法，是不正确的.
四、深化理解
2. 判断证明下面等式是否使用了数学归纳法：
证明：①当
，等式成立.
②假设当
那么当
即当
根据 ①和②，可知等式对一切正整数
左边
右边
没有用上“假设”，缺少归纳递推，故此法不是数学归纳法.如何修改？由
时,左边=
时等式成立，即
时,
时,等式也成立.
都成立.
到
递推，请学生们自主完成.
五、灵活应用
1.已知数列
项和，计算S1, S2 ,S3 ,S4,根据计算结果，

可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数一致，
分母可用项数
下面用数学归纳法证明猜想：
解析：
时，显然成立；（2）假设
则
也成立
由（1）和（2）可知
设
为数列前
猜想
表示为
,可以猜想
（1）当
时，
对任何的
都成立.
的表达式，并用数学归纳法进行证明.
五、灵活应用
2.比较
分析：当
时，
时，
时，
时，
时，
时，
下面用数学归纳法证明猜想：
时，显然成立；
（2）假设
则当
因为
即证
又
所以
故当
由（1）和（2）可知
和
的大小.
时，
当
当
当
当
当
猜想当
（1）当
时，有
时，只需证
成立.
时，猜想成立.
对任何的
都成立.
六、巩固训练
4.设
D．非以上答案
成立时，
起始值至少应取为＿＿.
答案：C
答案：8
答案：
1．若
则
为(　　)
A.
B.
C.
2.用数学归纳法证明不等式
3．用数学归纳法证明：“
”
时，由
不等式成立，推理
求证：
时，左边应增加的
项数是＿＿.

命题成立，”其本质是证明一个递推关系，有了这种向后传递的关系，就能从一个起点不断发展，以至无穷．如果没有它，即使前面验证了命题对许多正整数都成立，也不能保证命题对后面的所有正整数都成立，证明中要注意用假设与凑结论，增强目标意识．
七、善思多想
1.数学归纳法的第一步

提示:不一定，要看题目中对
2.为什么可以先假设
的初始值是否一定为1?
第一个值
边形的内角和为
大，不一定是从1开始取值．如证明
值也比较
，有时
或
整数中的最小值，有时是
是适合命题的正
的要求，
时命题也成立就可说明命题成立？
当
时命题成立？再证
提示：“假设
时命题成立，证明当
时
1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要 方法.
（1）证明当
（2）假设
（3）由（1）和（2）得出结论，缺一不可，注意完整性.
2.数学归纳法的证明过程主要有两个步骤一个结论:
取第一个值
（即命题允许的最小正整数如
=1或2等）时结论正确；
时，结论成立，当
时，
利用假设证明结论也成立.
解析：当n＝1时，左边＝1＋a＋a1＋1＝1＋a＋a2，故C正确．
答案：C
3．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步验证为______________．
解析：由n∈N*可知初始值为1.
答案：当n＝1时，左边＝4≥右边＝4 ，不等式成立
解析：由n＝k到n＝k＋1时，左边增加(k＋1)2＋k2.
答案：(k＋1)2＋k2
九、作业布置
必做题：习题2.3 A组 1、2
选做题：
1.在各项均为正数的数列 中，数列的前 项和为 ，满足 ．

(1)求 的值；
(2)由(1)猜想出数列 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．
2.用数学归纳法证明凸 边形的对角线有 条．
多米诺骨牌动画演示
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