2.2 阅读欣赏——复平面与高斯（17张PPT）

课件17张PPT。复平面与高斯阅读与欣赏——人教B版2-2 P102 16世纪意大利米兰学者卡尔达诺，第一个把负数的平方根写到公式中，我们以类似的方法，将一元三次方程的一个根也写到带有负数的平方根的式子里。两边同时取立方得A、B不是实数，但是A、B确实存在，复数的代数形式 复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式。 复数的加减运算按照多项式的加法和减法法则进行,也就是实部与实部相加减,虚部与虚部相加减,即设z1 =a+bi, z2=c+di,(a,b,c,d∈R,以下不再说明),则有(a+bi)±(c+di)=(a±c)+(b±d)i两复数的和或差仍是一个复数。复数的乘法复数的乘法运算仍然按照多项式的乘法法则来进行,设z1=a+bi,z2=c+di,z1z2=(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i两个复数a+bi与c+di相除(c+di≠0),先写成分式的形式,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数,并把结果化简,即?=?=?=
? 引例 z1=cosα+isinα, z2= cosβ+isinβ,求z1z2和 引例 z=cosα+isinα, 求z2 、z3、 z4　复数的三角形式 我们知道,与复数z=a+bi对应的向量 ? 的模r叫做这个复数
的模,并且r=?。如图8-21所示,以x轴的正半轴为始边
、向量 ? 所在的射线(起点是O)为终边的角θ,叫做复数z=a
+bi的辐角。非零复数的辐角有无穷多个,它们相差2π的整数倍。例如,i的辐角是2kπ+?(k∈Z),辐角的单位可以用弧度或
度。图　8-21满足0≤θ≤2π的辐角θ的值,叫做辐角的主值,通常记作argz,即0≤argz≤2π。例如,i的辐角主值是?。设复数a+bi的模为r,辐角为θ,从图8-21中,我们可以看出,? 于是,任何一个复数z=a+bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式,其中r=?,tanθ=?(a≠0),θ所在的象限就是与复数相
对应的点Z(a,b)所在的象限。我们把r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角形式。为了同三角形式区别开来,a+bi叫做复数的代数形式。 每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值,并且可由它的模与辐角的主值唯一确定。因此,两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等。 复数的三角形式的乘法和除法1.乘法与乘方运算设复数z1,z2的三角形式分别是z1=r1(cosθ1+isinθ1),z2=r2×(cosθ2+isinθ2),则z1z2=r1(cosθ1+isinθ1)·r2(cosθ2+isinθ2)=r1r2[(cosθ1cosθ2-sinθ1sinθ2)+i(sinθ1cosθ2+cosθ1sinθ2)]=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]。由此可知,两复数相乘,积的模等于两复数模的积,积的辐角等于两复数辐角的和。简单地说,两复数相乘,模相乘,辐角相加。当z1=z2=z3=…=zn=z,即r1=r2=r3=…=rn=r,θ1=θ2=θ3=…=θn=θ时,有zn=[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)????(n∈N)这就是说,复数的n次幂的模等于这个复数模的n次幂,辐角等于这个复数辐角的n倍。这就是复数的乘方法则,这个法则又称为棣莫佛定理。=-? =?[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]由此可知,两复数相除,商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。简单地说,两复数相除,模相除,辐角相减。 某人在宽大的大草原上自由漫步，
突发如下想法：向某一方向走1km后
向左转，后向前走1km后向左转300，
如此下去，能回到出发点吗？