中考几何专题解析：旋转1.基本模型
一、旋转有关概念
把一个平面图形绕平面内一点O转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点O叫做旋转中心，转动的角
叫做旋转角
二、旋转秘籍（旋转前提，有等线段）
?秘籍：四大旋转全等模型（关键找伴随全等三角形）
解读：等腰三角形、等腰直角三角形、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来
?等腰三角形旋转模型图（共顶点旋转等腰出伴随全等）
?等边三角形旋转模型图（共顶点旋转等边出伴随全等）
?等腰直角旋转模型图（共顶点旋转等腰直角出伴随全等）
?不等边旋转模型图（共顶点旋转不等腰出伴随相似）
旋转秘籍：图形中出现等腰三角形，常考虑将以腰为边的某三角形绕等腰三角形的顶角所在的顶点旋转一顶角后与另一腰重合．
图形中出现等边三角形，常考虑将含有等边三角形边长的某个三角形绕顶点旋转角后与另一边重合．
图形中出现正方形时，常考虑将含有正方形边长的某个三角形绕顶点旋转角后与另一边重合．
等边三角形
如图，已知和都是等边三角形，、、在一条直线上，试说明与
相等的理由．
【答案】∵，，
∴
∴
又∵
∴
【巩固】已知：如图，点为线段上一点，是等边三角形．
求证：①；②是等边三角形；③平分
【答案】第三问提示，往角两边作垂线，利用全等三角形高相等．
平面上三个正三角形，，两两共只有一个顶点，求证：与平分．
【答案】连接与
∵，∴，
∴在与中
∴∴
在与中
∴∴∴四边形为平行四边形，∴，互相平分．
已知，在中，为锐角，是射线上一动点(与不重合)，以为一边向右侧
作等边(与不重合)，连接．
（1）若为等边三角形，当点在线段上时(如图1所示)，则直线与直线所夹锐角为__________度；
（2）若为等边三角形，当点在线段的延长线上时(如图2所示)，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）若不是等边三角形，且(如图3所示)．试探究当点在线段上时，你在（1）中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当满足什么条件时，能使（1）中的结论成立，并说明理由．
【答案】（1）；
（2）成立．
∵是等边三角形，∴，
∵是等边三角形，∴，
∴，∴，
∴，
∵，∴，
即直线与直线所夹锐角为．
（3）原结论不成立．当时，才能使⑴中的结论成立．
当时，在上取一点，使得，
则是等边三角形，∴，
∵是等边三角形，∴，
∴，∴，
∴，
∴．
∴当时，能使⑴中的结论成立．
等腰直角三角形
如图，中，，，是中点，，与交于，与
交于．求证：，．
【答案】连结．
∵，
∴
∵是中点
∴且
∵
∴
∵
∴
在与中，，，
∴
∴．∴．
总结：若则
【巩固】 在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动， 交于点，试说明的形状和面积将如何变化．
【答案】连接．因为且，所以．
因为是的中点，所以，
且，则．
因为，所以，
所以，所以．
因此是等腰直角三角形，在的运动过程中形状不变．
的面积与边的大小有关．当点从出发到中点时，面积由大变小；
当是中点时，三角形的面积最小；继续向点运动时，面积又由小变大．
【巩固】等腰直角三角形，，，为中点，，试猜想，、、三者的关系．
【答案】如图，过点作，交于，
连结，易知，
，又∵，
，，
∴，∴
∴
又∵，
∴、、又存在另一关系式
注意：关于三条线段的两个结论．
如图1，已知中，，，把一块含角的直角三角板的直角顶
点放在的中点上(直角三角板的短直角边为，长直角边为)，将直角三角板绕点按逆时针方向旋转．
⑴ 在图1中，交于，交于．
①证明；
②在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
⑵ 继续旋转至如图2的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
⑶ 继续旋转至如图3的位置，延长交于，延长交于，是否仍然成立？请写出结论，不用证明．
【答案】(1) 在中，∵，．
∴，．
方法一：
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
方法二：
∴．
∵．
∴．
∴．
∴．
②四边形的面积不发生变化；
由①知：，
∴．∴．
(2) 仍然成立，
证明：连结．
在中，∵，，
∴，．
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
(3) ．
【巩固】在Rt△ABC中，，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．
（1）当点O为AC中点时，
① 如图1， 三角板的两直角边分别交，于、两点，连接，猜想线段、与之间存在的等量关系（无需证明）；
② 如图2， 三角板的两直角边分别交，延长线于、两点，连接，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
（2）当点O不是AC中点时，如图3,，三角板的两直角边分别交，于、两点，若，
求的值．
图1 图2 图3
【答案】（1）① 猜想：.
② 成立.
证明：连结.
∵,,点为的中点,
∴,,.
∵，∴. 又，
∴.∴.
又∵, .
在Rt中，, ..
（2）解：如图，过点O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N.
,.
°,
∵,∽.
∴
和为等腰直角三角形，
∴∽∴.
∵， ∴.
正方形
如图，正方形的顶点在正方形的中心，且两个正方形的边长都为4，则阴影部分面积为 ( )
2 4 6 8
【答案】
【解析】图中的阴影部分是一个不规则的四边形，直接求它面积比较困难．如果把正方形看作可以
绕着点转动，那就转动到右上图位置，阴影部分就变成一个正方形且面积不变．易得它的面积是原来正方形面积的，所以答案选．
【巩固】如图，正方形绕正方形中点旋转，其交点为、，求证：．
【答案】正方形中，，
而，
∴，∴
∴，∴
注意：正方形的边被覆盖部分的总长度为定值：正方形的边长．
如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于．已
知、的长分别为、，求三角形的面积．
【答案】显然，
所以，
所以，
所以，
则逆时针旋转，则与重合，
落在上．是等腰直角三角形．
则，
容易得到cm2．
所以cm2．
已知：四边形ABCD是正方形，点E在CD边上，点F在AD边上，且AF＝DE．
（1）如图1，判断AE与BF有怎样的位置关系？写出你的结果，并加以证明；
（2）如图2，对角线AC与BD交于点O． BD，AC分别与AE，BF交于点G，点H．
①求证：OG＝OH；
②连接OP，若AP＝4，OP＝，求AB的长．
【答案】（1）解： ．
理由如下：∵四边形 是正方形，
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）①证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
∵ （已证），
∴ ，
即 ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ；
②解：如图2，过点 作 于 ，作 于 ，
∵ （已证），
∴ ，
在 和 中，，
∴ ，
∴ ，
∴四边形 是正方形，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 中， ，
∴正方形 的边长 AB=OA=×=2．
如图所示，在四边形中，，，于，若四边形
的面积是16，求的长．
【答案】如图，过点作，
延长交于点，
容易证得
(实际上就是把逆时针旋转，得到正方形)
正方形的面积等于四边形面积为，∴．
如图，正方形中，．求证：．
【答案】延长至，使得，连接．
易证得：，从而可得：
，
，故．
【巩固】如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．
（1）求证：．
（2）设()，与的面积和是否存在最大值？若存在，求出此时的值及．若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明： 如图，延长至点，使得，连结．
因为是正方形，
∴在和中，，
，．∴，
∴，．又 ∵ 是的平分线．
∴，∴．
即．∵，∴，
∴，∴．即．
∴，得证．
（2）．∵，∴由⑴知，，所以．在中，，，∴，∴．由上式可知，当达到最大值时，最大．而，所以，当时，最大值为．
如图①，一等腰直角三角尺的两条直角边与正方形的两条边分别重合在一起．现正方形保持不动，将三角尺绕斜边的中点(点也是中点)按顺时针方向旋转．
（1）如图②，当与相交于点，与相交于点时，通过观察或测量，的长度，猜想，满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺旋转到如图③所示的位置时，线段的延长线与的延长线相交于点，线段的延长线与的延长线相交于点，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
【答案】⑴．
证明如下：因为是等腰直角三角形，四边形是正方形，
所以，．
又，所以．即．
⑵仍然成立．
理由是：因为是等腰直角三角形，四边形是正方形，
所以，．
所以．又，所以．所以．
如图，和均为等边三角形，，．若，则_______．
【答案】．
【解析】易知≌≌，从而，，
由知是一条高的一部分，
不难算出答案为．
已知中，，，为边的中点，，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、．
当绕点旋转到于时（如图1），易证．当绕点旋转到和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，，，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【答案】图2成立；图3不成立．
证明图2：
过点作，
则
再证，
有
∴
∴
由信息可知S△ABC
∴
图3不成立，、、的关系是：
如图①，在中，、分别是、上的点，且，将绕点顺时针旋转一定角度，连结、，得到图②，然后将、分别延长至、，使，，连结、、，得到图③，请解答下列问题：
（1）若，请探究下列数量关系：
①在图②中，与的数量关系是________________；
②在图③中，猜想与的数量关系、与的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若（），按上述操作方法，得到图④，请继续探究：与的数量关系、与的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明．
图① 图②
图③ 图④
【答案】⑴①
②，
证明：在和中
∵∴，由题意知：，，
∴
∴，，又，，∴
∴,∴,∴,∴
⑵，
证明如下
∵，∴,∵，∴
∴，，∴
又，,∴，，∴，∴
∴，,∴，．
已知，中，，，，为延长线上一点，，点在的平分线上，且满足是等边三角形．
（1）求证：；
（2）求点到的距离．
【答案】⑴ 解法一：连结
∵，∴，
∵，平分，
∴，
∵是等边三角形，∴，
∴，∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，．
解法二：作交于，证明，
证明过程略．
⑵ 解法一：作于，于．
∵，∴，
∵是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
即点到的距离等于．
解法二：作于，
∴，，，
∴．
以下同解法一．
如图1，若和为等边三角形，分别的中点，易证：，是
等边三角形．
（1）当把绕点旋转到图2的位置时，是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；
（2）当绕点旋转到图3的位置时，是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当时，与及的面积之比；若不是，请说明理由．
【答案】（1）．理由如下:
∵和为等边三角形
∴，，
∵，，
∴， ∴
∴
（2）是等边三角形．理由如下：
∵， ∴．
∵分别是的中点， ∴
∵，， ∴．
∴．
∴
∴是等边三角形．
设，则．
∵，∴．
∵为等边三角形，
∴，∴，
∴∴在中，，，
∴ ．∵为中点，∴，
∴．
∵，，为等边三角形，
∴
解法二：是等边三角形．理由如下：
∵，、分别是、的中点，
∴．
∵，∴，∴，
∴
∴是等边三角形
设，则，
易证，∴，
∴ ∴
∵，，为等边三角形
∴
已知：在四边形中,,， 点、分别在、上， 且
∠，试探究AE与EF之间的数量关系.
（1）如图1，若， 则与之间的数量关系为____________；
（2）如图2，若， 你在（1）中得到的结论是否发生变化? 写出你的猜想，并
加以证明；
（3）如图3，若， 你在（1）中得到的结论是否发生变化? 写出你的猜想，并
加以证明.
（09年海淀二模）
图1 图2 图3
【答案】（1）与之间的数量关系为.
（2）猜想：（1）中得到的结论没有发生变化.
证法一：
如图，过点作交于点， 则
，.
，, .
. ，
. ，
.， ，
. . .
证法二：
如图，过点作交于点， 则
.，
，. ∠BAC=∠D，
， ．
. .
，
. ，
. ，
四边形是等腰梯形. .
≌..
（3）猜想： .
证法一：
如图，过点作， 交于点， 则∽.
，
同（2）可证，，.
∽. 即.
证法二：
如图，过点E作，交于点， 则∽.
. ， .
．
同（2）可证，，. ∽.
即 .
如图1，两个等腰直角三角板和有一条边在同一条直线上，， ．将直线绕点逆时针旋转，交直线于点．将图1中的三角板沿直线向右平移，设、两点间的距离为．
图1 图2 图3
解答问题：
（1）①当点与点重合时，如图2所示，可得的值为 ；
②在平移过程中，的值为 （用含的代数式表示）；
（2）将图2中的三角板绕点逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变.当点落在线段上时，如图3所示，请补全图形，计算的值；
（3）将图1中的三角板 绕点 逆时针旋转度，≤，原题中的其他条件保持不变.计算的值（用含k的代数式表示）．
【答案】（1）①1；②；
（2）连接AE.
∵均为等腰直角三角形，，
∴
∴
∴
∴点为的中点.
∴
∴,
∵
∴.
∴
∴∽.
∴ ∴.
∴.
∴.
（3） 过作的垂线交直线于点，连接、.
∴.
∵，
∴.
∴.
∵△为等腰直角三角形，
∴
∴.
∴△≌△. …
∴.
∵，
∴.
∴∥.
∴△∽△.
∴
中考几何专题解析：旋转2.半角及三线共点问题
?半角问题旋转模型图
?秘籍：角含半角要旋转
、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．
【答案】延长至，使，连结，
易证，
，．
再证，
全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，
则有．
如图所示，在正方形中，，点、分别在、上，且，，求的面积．
【答案】如图所示，将绕点顺时针旋转，得到，则、、共线.
而，且，
故，则≌.
由此可得，，.
在Rt中，，，故，
.在Rt中，，则.
故.
【巩固】如图，正方形的边长为1，、上各存一点、，若的周长为2，求的度数．
【答案】把绕点旋转到的位置，
．∵，
又，∴．
又，∴．
∴．∴．
又∵，∴．
【巩固】如图：正方形ABCD的边长为6cm，E是AD的中点，点P在AB上，且∠ECP=45°．则PE的长是________cm．△PEC的面积是__________.
【答案】（1）5（2）15
如图所示，在等腰直角的斜边上取两点、，使，记，，，求证：以、、为边长的三角形的形状是直角三角形.
【答案】解法１：如图所示，将绕点顺时针旋转，
得到.连接，则，，
，故
从而，
则.而，
故在直角三角形中有.
解法2：我们用上一讲学习过的“对称变换”也能得到解答．
如图所示，以为对称轴将翻折到的位置．
易证和关于对称，且为直角三角形，
并且可得，，．
【巩固】请阅读下列材料：
已知：如图1在中，，，点、分别为线段上两动点，若．探究线段、、三条线段之间的数量关系．
小明的思路是：把绕点顺时针旋转，得到，连结，
使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决下列问题：
（1）猜想、、三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
（2）当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，如图2，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．
【答案】（1）
证明：根据绕点顺时针旋转得到
∴
∴，，，
在中
∵∴
∴
即∴
又∵
∴
∴
即
∴
∴
∴
（2）关系式仍然成立
证明：将沿直线对折，得，连
∴
∴，
，
又∵，∴
∵
∴
又∵
∴
∴，
∴
∴在中
即 ．
如图1，Rt≌Rt，，． 绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K．
（1）观察：①如图2、图3，当或时， ______（填“＞”，“＜”或“＝”）．
②如图4，当∠CDF＝时， ______（只填“＞”或“＜”）．
（2）猜想：如图1，当＜∠CDF＜时， ______，证明你所得到的结论．
（3）如果，请直接写出度数和的值．
图1 图2
图3 图4
【答案】（1）①＝ ②＞
（2）＞
证明：作点C关于FD的对称点G，连接GK、GM、GD
则GD＝CD，GK＝CK，∠GDK＝∠CDK
∵D是AB的中点，∴AD＝CD＝GD
∵∠A＝30°，∴∠CDA＝120°
∵∠EDF＝60°，∴∠GDM＋∠GDK＝60°
∠ADM＋∠CDK＝60°
∴∠ADM＝∠GDM．
又,,
∵GM＋GK＞MK，∴AM＋CK＞MK．
（3）∠CDF＝15°，＝
(1)如图，在四边形中，，分别是边上的点，
且．求证：;
(2) 如图在四边形中，，分别是边上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．
(3) 如图，在四边形中，，，分别是边延长线上的点，且， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
【答案】证明：延长到，使，联结．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
又，
∴．
∴．
∵．
∴
(2) (1)中的结论仍然成立．
(3)结论不成立，应当是
证明：在上截取，
使，连接．
∵，
，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴
∴．
∵，
∴
∴
∵
如图所示，是边长为的正三角形，是顶角为的等腰三角形，以为顶点作一个的，点、分别在、上，求的周长．
【答案】2．
【巩固】 在等边的两边，所在直线上分别有两点为外一点，且，，，探究：当点分别爱直线上移动时，之间的数量关系及的周长与等边的周长的关系．
（1）如图①，当点在边上，且时，之间的数量关系式_________；此时__________
（2）如图②，当点在边上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3）如图③，当点分别在边的延长线上时，若，则_________(用 表示)
【答案】第三问提示：利用旋转，即可得到两个阴影部分全等
已知：如图，正方形中，,为对角线，将绕顶点逆时针旋转()，旋转后角的两边分别交于点、点，交,于点、点，联结、．
（1）在的旋转过程中，的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）；
（2）探究与的面积的数量关系，写出结论并加以证明．
【答案】（1）不变； 45°；
（2）结论：S△AEF=2 S△APQ
∵45°，
∴
∴
同理
过点作于
∴△AEF
△APQ
如图(1)，两块等腰直角三角板和，，点与在同一条直线上，
将三角板绕点逆时针旋转角（）得到．设，,．
(1)如图⑵，当，且点与点重合时，连结，将直线绕点逆时针旋转，交直线于点，请补全图形，并求证：．
⑵如图⑶，当，且点与点不重合时，连结，将直线绕点逆时针旋转，交直线于点，求的值（用含x的代数式表示）．[来源:学&科&网]
【答案】⑴补全图形如右图⑴．
② 如图⑵，连结AE，
∵和是等腰直角三角形，
＝＝，,，
∴，,．
∴，，＝．
∴，
∴点为的中点．
∴⊥，平分．
∴＝，＝，．
∵＝＝，
∴＝,
∴Rt∽Rt，
∴＝，∴，
∴，
∴．
⑵如图(3)，过点作⊥交直线于点，连结．
∵＝，＝，∴＝．
∴．
∵＝＝，∴＝．
又∵＝，
∴≌．
∴＝＝，＝．
∵＋＝＋＝，
∴＝，
∴∥．
∴．
边长为2的正方形的两顶点、分别在正方形EFGH的两边、上(如图1)，现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时停止旋转，旋转过程中，边交于点，边交于点.
（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；
（2）旋转过程中，当和平行时(如图2)，求正方形旋转的度数；
（3）如图3，设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.
【答案】∵点第一次落在上时停止旋转，∴旋转了.
∴在旋转过程中所扫过的面积为
（2）∵∥，
∴,.
∴.∴.
又∵，∴.
又∵,,∴.
∴.∴.
∴旋转过程中，当和平行时，正方形旋转的度数为
(3)证明：
延长交轴于点，则，
，
∴.
又∵，.
∴
∴.
又∵,,
∴.
∴.
∴，
∴.
∴在旋转正方形的过程中，值无变化.
已知：如图，正方形ABCD的边长为a，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足
，连结MC，NC，MN．
（1）填空：与△ABM相似的三角形是△ ，= ；（用含a的代数式表示）
（2）求的度数；
（3）猜想线段BM，DN和MN之间的等量关系并证明你的结论．
【答案】（1）与△ABM相似的三角形是△ NDA ，；
（2）由（1）△ABM∽△NDA可得．（如图9）
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB=DC，DA= BC，．∴ ．
∵ BM，DN分别平分正方形ABCD的两个外角，
∴ ．∴ △BCM∽△DNC． ∴ ．
∴
（3）线段之间的等量关系是．（只猜想答案不证明不给分）
证法一：如图9，将绕点顺时针旋转得到，连接．则．
∴ ，．
∴ ．
∴ ．
可得．
∴ 在中，．
∴ ．
证法二：连接，作，与交于点,（如图10）可知，．
∵ ∴ ．
∵ ，
∴ 四边形是矩形
在中，，
∴
．
（1）如图1，点分别是正方形的边上的点，，连接， 则之间的数量关系是：．连结，交于点，且 满足，请证明这个等量关系；
（2）在中， ，点分别为边上的两点．
①如图2，当，时，应满足的等量关系是__________________；
②如图3，当，，时，应满足的等量关系是____________________．【参考：】
【答案】 (1) 在正方形中，，
．
把绕点逆时针旋转得到．
连结．则,
，．
．
∴． ∴．
在中，,
∴
（2）① ；
②
三线共点问题
?考点说明：图形中出现有公共端点的相等线段，可考虑将含有相等线段的图形绕公共端点旋转
两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．
如图，在中，，，是内的一点，且，求的度数．
【答案】
【答案】如图，将绕点旋转，使与重合，
即.∴为等腰，
∴，.
又∵，∴
则.∴.
【巩固】如图，是等边内一点，若，，，求的度数．
【答案】
【解析】如图，过点作，，连接，．
（等于将沿点逆时针旋转）．
，，，．
∴，，
【巩固】为等边内一点，，，求证：以、、为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.
【答案】要判断、、三条线段可以构成一个三角形的三边，常采用判定其中任意两条线段之和大于第三条线段的办法，然而求所构成的三角形各内角的度数时又会束手无策.如果以为中心，将逆时针旋转，则点变到点，线段变到，点变到点，
此时，，并且，.
为等边三角形，所以，.
这时，就是以、、为三边构成的三角形.
易知
而
所以
因此
如图，为正方形内一点，，将绕着点按逆时针旋转
到 的位置．（1）求的值；（2）求的度数．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵是绕着点逆时针旋转得到的,
∴
∴是等腰直角三角形.
∴.
（2）仿照（1）将绕着点按顺时针旋转到的位置（如图），连接．
则
∴是等腰直角三角形.
∴
∵
∴
∴为直角三角形.
∴, ∴.
【巩固】如图所示，是等边中的一点，，，，试求的边长.
【答案】
【解析】由于有等边三角形，故可考虑将绕点旋转，使、、出现在一个三角形中，从而构造出一个直角三角形.
将绕点逆时针旋转，则与重合，点转至点，
点转至点，连接，如图所示，有，，.
故为等边三角形，，
在中，，
故，，
从而有，
故．
所以，在中，，.
【巩固】如图所示，为正方形内一点，若，，.
求：⑴ 的度数；⑵ 正方形的边长.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）将绕点顺时针旋转，得到.连接，因为，，
所以，.
在中，，，，则，
所以，故.
（2）因，则、、三点共线，
故，，
在中，根据勾股定理得
所以.
【巩固】在中，，是内任意一点，已知，求证：．
【答案】因为，所以可将绕点旋转到的位置，
连结、、，则，，
因为，所以
由，可得，则．
，即．
如图，是等边外的一点，，，，求的度数．
【答案】
【解析】以为一边向四边形的外面作正三角形，则，，
∴，，，∴，．
如图，正方形内一点，，连结、，请问：是等边三角形吗？为什么？
【答案】将绕点逆时针旋转，得，
再作关于的轴对称图形，得与经过对折后能够重合.
所以，，
所以为等边三角形，即.
又因为，
所以.
又因为，所以.
所以，，所以.
所以为等边三角形.
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=（），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD。
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC=45°，求的值。
【解析】（1）
（2）为等边三角形[
证明连接、、
∵线段绕点逆时针旋转得到线段
则，
又∵ ∴且为等边三角形.
在与中
∴≌（SSS）∴
∵∴
在与中
∴≌（AAS）∴
∴为等边三角形
（3）∵，∴
又∵∴为等腰直角三角形∴
∵∴而∴
如图，在正方形外面存在一个点，连接,以为直角顶点作一个等腰直角三角形,若恰好三点共线，且,（1）求点到直线的距离（2）求的面积（3）求四边形的面积．
【答案】（1）（2）（3）（解析过程略）
问题：如图1，在正方形ABCD内有一点P，PA=，PB=，PC=1，求∠BPC的度数．
(1) 图2中∠BPC的度数为_______；
(2) 如图3，若在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=，PB=4，PC=2，则∠BPC的度数为________，正六边形ABCDEF的边长为_______．
图1 图2 图3
【答案】（1）135°；（2）120°； ．
已知：如图1，是⊙的内接正三角形，点为弧BC上一动点，
（1）求证：
（2）如图2，四边形是⊙的内接正方形，点为弧BC上一动点，
求证：
（3）如图3，六边形是⊙的内接正六边形，点为弧BC上一动点，请你写出PA，PB，PC三者之间的数量关系表达式．（不需要证明）
【答案】（1）在AP上截取PM=BP,连结BM
∵是⊙的内接正三角形，
∴，AB=BC
∴
∵PM=BP,
∴是正三角形，
∴
∵，
≌
∴AM=PC，∴AP = PB+PC
(2)∵过点B做,交PA于点N
∵四边形是⊙的内接正方形，
∴AB=BC,,
∴,PB=BN
根据勾股定理得：
∵
∴，
∴≌
∴，
∴
(3)结论：
中考几何专题解析：旋转3.对角互补及最值问题
?对角互补旋转模型图
（全等型—90°）
（全等型—120°）
（全等型—任意角）
此类题目有角含半角的旋转图形转化而来。去掉，五边形 就是对角互补模型，此题关键是出现对角互补和连有公共顶点的想等线段，这是解题的关键。
如图所示，在四边形中，，，，、分别是、上的点，若的周长为的2倍，求的度数．
如图所示，在五边形中，，，求此五边形的面积．
【巩固】如图，已知五边形中，，．求该五边形的面积．
五边形中，已知，，，连接．求证：平分．
四边形被对角线分为等腰直角三角形和直角三角形，其中和都是直角，另一条对角线的长度为，求四边形的面积．
如图，已知，在的平分线上有一点，将一个三角板的直角顶点与重合，它的两条直角边分别与、(或它们的反向延长线)相交于点、．
当三角板绕点旋转到与垂直时，如图⑴，易证：．
当三角板绕点旋转到与不垂直时，在图⑵、图⑶这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段、、之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．（和第二问讲义的某题一样）
已知，平分．
（1）在图1中，若，，求证：；
（2）在图2中，若，，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;
（3）在图3中：
①若， ，则= ____
②若，，则= ____（用含的三角函数表示），并给出证明．
已知， 点是的平分线上的一动点，射线交射线于点，将射线绕点逆时针旋转交射线于点，且使．
（1）利用图1，求证：PA=PB；
（2）如图1，若点是与的交点，当时，求PB与PC的比值；
（3）若∠MON=60°，OB=2，射线交于点，且满足且，请借助图3补全图形，并求的长．
图1 图2 图3
最值问题
与共用顶点，固定将绕点旋转过程中的，会出现的最大值与最小值，如图．
如图所示，是等边三角形，在中，，，问：当为何值时，、两点的距离最大？最大值是多少？
已知：，，以为一边作正方形，使、两点落在直线的两侧．
⑴如图，当时，求及的长；
⑵当变化，且其它条件不变时，求的最大值及相应的大小．
已知：，，以为一边作等边三角形ABC．使C、D两点落在直线的两侧．
（1）如图，当∠ADB=60°时，求及的长；
（2）当∠ADB变化，且其它条件不变时，求的最大值，及相应的大小．
已知：中，，中，,． 连接、，点、、分别为、、的中点．
图1 图2
(1) 如图1，若、、三点在同一直线上，且，则的形状是________________，此时________；
(2) 如图2，若、、三点在同一直线上，且，证明，并计算 的值（用含的式子表示）；
(3) 在图2中，固定，将绕点旋转，直接写出的最大值．
如图1，已知是等腰直角三角形，,点是的中点．作正方形，使点、分别在和上，连接，．
（1）试猜想线段和的数量关系是________________；
（2）将正方形绕点逆时针方向旋转，
①判断（1）中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；
②若，当取最大值时，求的值．
在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转，得到．
（1）如图1，当点在线段的延长线上时，求的度数；
（2）如图2，连接，．若的面积为，求的面积；
（3）如图3，点为线段中点，点是线段上的动点，在绕点按逆时针方向旋转的过程中，点的对应点是点，直接写出线段长度的最大值与最小值．
费马点与旋转
?考点说明：到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为°．旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题
皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家．之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作．他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）．费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个．著名的数学史学家贝尔（E． T． Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王“．贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星．
费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的．托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题．这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义．
结论：
（1）平面内一点到△ABC三顶点的之和为，当点P为费马点时，距离之和最小．
特殊三角形中：
(2)．三内角皆小于120°的三角形，分别以,,为边，向三角形外侧做正三角形, ,然后连接,,,则三线交于一点,则点就是所求的费马点．
(3)．若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点．
(4)当为等边三角形时,此时内心与费马点重合
下面简单说明如何找点使它到三个顶点的距离之和最小？这就是所谓的费尔马问题．
图1
解析：如图1，把绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC，所以= PP′+ PB+ P′C′．
点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长 ，所以当B、P、P′、C′ 四点在同一直线上时，最小．
这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，
∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，
∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°
因此，当的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
阅读下列材料
对于任意的，若三角形内或三角形上有一点，若有最小值，则取到最小值时，点为该三角形的费马点．
①若三角形内有一个内角大于或等于，这个内角的顶点就是费马点
②若三角形内角均小于，则满足条件时，点既为费马点
解决问题：
(1)如图，中，三个内角均小于，分别以、为边向外作等边、，连接、交于点，
证明：点为的费马点．(即证明)且
(2)如图，点为三角形内部异于点的一点，证明：
(3)若，，，直接写出的最小值
【巩固】若点P 为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°, 则点P叫做△ABC的费马点．
（1） 若P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4, 则PB的值为_________；
（2）如图8，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′ 过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．
图8
【巩固】如图所示，在四边形中，,，为四边形内部一点，，证明：．
小华遇到这样一个问题，如图1, △ABC中，∠ACB=30?，BC=6，AC=5，在△ABC
内部有一点P，连接PA、PB、PC，求PA+PB+PC的最小值．
小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据“两点之间，线段最短”，就可以求出这三条线段和的最小值了．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题．他的做法是，如图2，将△APC绕点C顺时针旋转60?，得到△EDC，连接PD、BE，则BE的长即为所求．
（1）请你写出图2中，PA+PB+PC的最小值为________；
（2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题：
①如图3，菱形ABCD中，∠ABC=60?，在菱形ABCD内部有一点P，请在图3中画出并指明长度等于PA+PB+PC最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）；②若①中菱形ABCD的边长为4，请直接写出当PA+PB+PC值最小时PB的长．
(1)如图1，和都是等边三角形，且、、三点共线，联结、
相交于点，求证：．
（2）如图2，在中，，分别以、和为边在外部作等边、等边和等边，联结、和交于点，下列结论中正确的是_______（只填序号即可）
①；②；③；
（3）如图2，在（2）的条件下，求证：．
【巩固】如图，四边形是正方形，是等边三角形，为对角线上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、．
⑴求证：
⑵①当点在何处时，的值最小；
②当点在何处时，的值最小，并说明理由；
⑶当的最小值为时，求正方形的边长．
【巩固】、、、四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，现在要设立、两个交通枢纽，并建设公路连接、、、、，使个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最小，则这个公路系统应当如何修建？
【巩固】已知：中，，是不与重合的定点，求证．
中考几何专题解析：旋转4.综合应用
在做与旋转相关的题目时，利用题目中的中点构造中位线
直角三角形中；为的中点，绕着点逆时针旋转
到，求重叠部分的面积．
在图1至图3中，点是线段的中点，点是线段的中点．四边形和都是
正方形．的中点是．
（1）如图1，点在的延长线上，点与点重合时，点与点重合，求证：，；
（2）将图1中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：是等腰直角三角形；
（3）将图2中的缩短到图3的情况，还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）
若△ABC和△ADE均为等边三角形，M、N分别是BE、CD的中点．
(1)当△ADE绕A点旋转到如图①的位置时，求证：CD=BE，△AMN是等边三角形；
(2) 如图②，当∠EAB=30°，AB＝12，AD=时，求AM的长．
图1 图2
中心
如图，四边形、是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形可以绕中心旋转,正方形静止不动．
（1）如图1，当四点共线时，四边形的面积为_____；
（2）如图2，当三点共线时，请直接写出= _________；
（3）在正方形绕中心旋转的过程中，直线与直线的位置关系是____________,请借助图3证明你的猜想．
图1 图2 图
中点倍长类旋转180°
如图，在△外面作正方形与，为△的高，其反向延长线交于，求证：(1)；(2)
如图，在矩形ABCD中, 点F在AD延长线上，且DF= DC, M为AB边上一点, N为MD的中
点, 点E在直线CF上（点E、C不重合）.且若AB=BC, 点M、A不重合, BN=NE，试探究BN与NE的位置关系及的值, 并证明你的结论;
已知任意，分别以为边作，，
（1）如图a，若是以点为直角顶点的等腰三角形，取中点，连接、，求证：
（2）在第（1）问的条件下，过点做边的垂线，交于点，则
（3）在边上有一动点，连接，以为腰，为直角顶点，作等腰直角三角形，连接，若要使的，求的度数
已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；
（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．
【巩固】如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°,点E在AB上， F是线段BD的中点，连结CE、FE.
（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；
（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连结BD取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连结BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=. 点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点如图2所示．求证：BE-DE=2CF；
【巩固】在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，如图1．
（1）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转90°，取DF的中点G，连接EG，CG，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想；
（2）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转180°，取DF的中点G，连接EG，CG，如图3，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明；
（3）将图1中的△BEF绕点B逆时针旋转任意角度，取DF的中点G，连接EG，CG，如图4，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
图1 图2 图3 图4
利用旋转构造三角形
在凸四边形中，，，，求证：．
已知，以为边在外作等腰，其中．
⑴如图①，若，，四边形是平行四边形，则
⑵如图②，若，是等边三角形，，，求的长；
⑶如图③，若为锐角，作于，当时，是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论．
四边形中的旋转
问题：如图1，在菱形和菱形中，点、、在同一条直线上，是线段的中点，连结,．若探究与的位置关系及的值．
小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．
如图1，在平行四边形中，于点，恰为的中点，．
⑴求证：；
⑵如图2，点在线段上，作于点，连结．
求证：；
⑶请你在图3中画图探究：当为线段上任意一点（不与点重合）时，作垂直直线，垂足为点，连结，线段、与之间有怎样的数量关系？直接写出你的结论．
在平行四边形中，，过点作，且，连接、，
、分别为、的中点，连接．
（1）如图1，若点在上，与交于点，试探究线段NP与线段NM的数量关系及与满足的等量关系，请直接写出你的结论；
（2）如图2，若点在线段EF上，当点在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点的位置，并证明（1）中的结论.
在平行四边形中，的平分线交直线于点，交直线于点．
（1）在图1中证明；
（2）若，是的中点（如图2），直接写出的度数；
（3）若，，，分别连结、（如图3），求的度数．
在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，AE=AB，过点E作直线EF，在EF上取一点G，使得∠EGB=∠EAB，连接AG.
（1）如图1，当EF与AB相交时，若∠EAB=60°，求证：EG =AG+BG；
（2）如图2，当EF与AB相交时，若∠EAB= α（0?﹤α﹤90?），请你直接写出线段EG、AG、BG之间的数量关系（用含α的式子表示）；
（3）如图3，当EF与CD相交时，且∠EAB=90°，请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系，并证明你的结论.
线段的旋转
如图，△ABC中，,，以为边向右侧作等边三角形．
（1）如图1,将线段绕点逆时针旋转，得到线段，联结，
则与长度相等的线段为______________ （直接写出结论）；
（2）如图2，若是线段上任意一点（不与点重合），点绕点逆时针旋转得到点,求的度数；
（3）画图并探究：若是直线上任意一点（不与点重合），点绕点逆时针旋转得到点,是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点的位置，并求出的长；若不存在，请说明理由．
在平行四边形ABCD中，过点作交于点,将线段EC绕点逆时针旋转得到线段(如图1)
（1）在图1中画图探究：
①当为射线上任意一点（不与重合）时，连结绕点逆时针旋转得到线段判断直线与直线的位置关系，并加以证明；
②当为线段的延长线上任意一点时，连结EP2,将线段EP2绕点逆时针旋转得到线段.判断直线与直线的位置关系，画出图形并直接写出你的结论.
（2）若,, ,在①的条件下，设，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围.
已知：是线段上一点，，过点作直线，在上取一点，使得，联结.
（1）若直线与线段相交于点，当时，如图1，求证：；
（2）若直线与线段相交于点，当（）时，如图2，请你直接写出线段之间的数量关系（用含的式子表示）；
（3）若直线与线段不相交，当时，如图3，请你补全图形，写出线段之间的数量关系，并证明你的结论.
如图1，已知，△ABC是等边三角形，点为射线上任意一点（点与点不重合），连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结并延长交直线于点.
（1）如图1，猜想 =_______°；
（2）如图2，3，若当是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想的度数，选取一种情况加以证明；
（3）如图3，若，，且，求的长．
图1 图2 图3
已知：等边三角形 中，点 、 、 分别为边 、 、 的中点，点 在直线 上，以点为旋转中心，将线段 顺时针旋转60?至，连接.
（1）如图1，当点M在点B左侧时，线段与MF的数量关系是__________；
（2）如图2，当点 在 边上时，（1）中的结论是否依然成立？如果成立，请利用图2证明，如果不成立，请说明理由；
（3）当点 在点 右侧时，请你在图3中画出相应的图形，直接判断（1）中的结论是否依然成立？不必给出证明或说明理由.
[来源:学科网]
