A级 基础巩固
一、选择题
1．对于函数f(x)，若f(－1)·f(3)<0，则下列判断中正确的是( )
A．方程f(x)＝0一定有根
B．方程f(x)＝0一定无根
C．方程f(x)＝0一定有两根
D．方程f(x)＝0可能无根
解析：因为题中没说f(x)的图象是连续不断的一条曲线，无法确定f(x)＝0是否有根．
答案：D
2．已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于( )
A．1 B．－1 C．0 D．不能确定
解析：因为奇函数的图象关于原点对称，所以若f(x)有三个零点，则其和必为0.
答案：C
3．方程lg x＋x＝0在下列的哪个区间内有实数解( )
A．[－10，－0.1] B．[0.1，1]
C．[1，10] D．(－∞，0]
解析：记f(x)＝lg x＋x，
因为f(0.1)·f(1)＝(lg 0.1＋0.1)(lg 1＋1)＝－0.9×1<0，所以在[0.1，1]内有解．
答案：B
4．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为( )
A.，0 B．－2，0 C. D．0
解析：当x≤1时，令2x－1＝0，得x＝0.
当x＞1时，令1＋log2x＝0，得x＝，此时无解．
综上所述，函数零点为0.
答案：D
5．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下x，f(x)的对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
f(x)
15
10
－7
6
－4
－5
则函数f(x)在区间[1，6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析：由题表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，又f(x)为连续不断的曲线，故f(x)在区间[1，6]上至少有三个零点．
答案：B
二、填空题
6．函数f(x)＝ln x－x＋2的零点个数是________．
解析：作出函数g(x)＝ln x和h(x)＝x－2的图象，由图可知，这两个函数图象有两个交点，所以函数f(x)有两个零点．
答案：2
7．若函数f(x)＝，则g(x)＝f(4x)－x的零点是________．
解析：因为f(x)＝，所以f(4x)＝.
则g(x)＝－x，令g(x)＝0，有－x＝0.
解得x＝.
答案：
8．若函数f(x)＝x2－ax－b的零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．
解析：函数f(x)＝x2－ax－b的零点是2和3，由函数的零点与方程的根的关系，知方程x2－ax－b＝0的两根为2和3，再由根与系数的关系得a＝2＋3＝5，－b＝2×3＝6.所以g(x)＝－6x2－5x－1，令g(x)＝0解得g(x)的零点为－，－.
答案：－，－
三、解答题
9．判断下列函数是否存在零点．如果存在，请求出．
(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；
(2)f(x)＝x2＋x＋2；
(3)f(x)＝；
(4)f(x)＝3x＋1－7；
(5)f(x)＝log5(2x－3)．
解：(1)因为f(x)＝－8x2＋7x＋1＝－(8x＋1)(x－1)，令f(x)＝0，解得x＝－或x＝1，所以函数的零点为－和1.
(2)令x2＋x＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7<0，
所以方程无实数根，所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．
(3)因为f(x)＝＝，
令＝0，解得x＝－6，
所以函数的零点为－6.
(4)令3x＋1－7＝0，解得x＝log3，
所以函数的零点为log3.
(5)令log5(2x－3)＝0，解得x＝2，
所以函数的零点为2.
10．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1，4]．
(1)画出函数y＝f(x)的图象，并写出其值域．
(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点？
解：(1)依题意：f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1，4]，其图象如图所示．其值域为[－4，5]．
(2)因为函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点，
所以方程f(x)＝－m在x∈[－1，4]上有两个相异的实数根，
即函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点．
由(1)所作图象可知，－4<－m≤0，
所以0≤m<4.
所以当0≤m<4时，函数y＝f(x)与y＝－m的图象有两个交点，故当0≤m<4时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点．
B级 能力提升
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在两个零点，则a的取值范围是( )
A．[－1，0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
解析：因为g(x)＝f(x)＋x＋a存在两个零点，即y＝f(x)与y＝－x－a有两个交点，图象如下：
要使得y＝－x－a与f(x)有两个交点，则有－a≤1即a≥－1.
答案：C
2．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0，1)上恰有一个零点，则a的取值范围是________．
解析：因为f(x)＝0在(0，1)上恰有一个解，有下面两种情况：
①f(0)·f(1)<0或②且其解在(0，1)上，
由①得(－1)(2a－2)<0，所以a>1，
由②得1＋8a＝0，即a＝－，
所以方程－x2－x－1＝0，所以x2＋4x＋4＝0，
即x＝－2?(0，1)，应舍去，综上得a>1.
答案：a>1
3．已知关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0(a≠0)，求a为何值时，方程：
(1)有一正根－负根；
(2)两根都大于1；
(3)一根大小1，一根小于1.
解：(1)因为方程有一正根一负根，
所以由根与系数的关系得＜0，所以0＜a＜1.
又Δ＝12a＋4＞0，解得a＞－，所以0＜a＜1.
(2)方程两根都大于1，函数f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如右图所示：
所以满足或
而两个不等式组均无解，
所以不存在实数a，使方程两根都大于1.
(3)方程有一根大于1，一根小于1，函数f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1的大致图象如右图所示，
所以必须满足或解得a＞0.
课件22张PPT。第三章 函数的应用
