A级 基础巩固
一、选择题
1．某同学最近5年内的学习费用y(千元)与时间x(年)的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是( )
A．y＝ax＋b B．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝a·ex＋b D．y＝aln x＋b
解析：由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.
答案：B
2．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲比乙先到达终点
解析：由题图可知，甲到达终点用时短．
答案：D
3．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下面一组实验数据(见下表)：现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
A.y＝2x－2 B．y＝(x2－1)
C．y＝log2x D．y＝
解析：经验证可知选项B正确．
答案：B
4．衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小，则放进的新丸体积为a，经过t天后体积V与天数t的关系式为V＝a·e－t，已知新丸经过50天后，体积变为a.若一个新丸体积变为a，则需经过的天数为( )
A．125 B．100
C．75 D．50
解析：由已知得a＝a·e－50，即e－50＝＝.
所以a＝·a＝(e－50)·a＝e－75·a，
所以t＝75.
答案：C
5．某学校甲、乙两食堂某年1月份的营业额相等，甲食堂的营业额逐月增加，并且每月的增加值相同；乙食堂的营业额也逐月增加，且每月增加的百分率相同．已知该年9月份两食堂的营业额又相等，则该年5月份( )
A．甲食堂的营业额较高
B．乙食堂的营业额较高
C．甲、乙两食堂的营业额相等
D．不能确定甲、乙哪个食堂的营业额较高
解析：设甲、乙两食堂1月份的营业额均为m，甲食堂的营业额每月增加a(a>0)，乙食堂的营业额每月增加的百分率为x.由题意，可得m＋8a＝m(1＋x)8，则5月份甲食堂的营业额y1＝m＋4a，乙食堂的营业额y2＝m(1＋x)4＝，因为y－y＝(m＋4a)2－m(m＋8a)＝16a2>0，所以y1>y2，故该年5月份甲食堂的营业额较高．
答案：A
二、填空题
6．某商人购货，进价已按原价a扣去25%，他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系是________________．
解析：设新价为b，则售价为b(1－20%)．因为原价为a，所以进价为a(1－25%)．依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)×25%.化简得b＝a，所以y＝b×20%·x＝a×20%·x，即y＝x(x∈N*)．
答案：y＝x(x∈N*)
7．某航空公司规定，乘客所携带行李的质量x(kg)与运费y(元)由下图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的最大质量为________．
解析：设y＝kx＋b(k≠0)，将点(30，330)、(40，630)代入得y＝30x－570，令y＝0，得x＝19，故乘客可免费携带行李的最大质量为19 kg.
答案：19 kg
8．“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数t＝－144lg中，t表示达到某一英文打字水平所需的学习时间，N表示每分钟打出的字数．则当N＝40时，t＝________(已知lg 5≈0.699，lg 3≈0.477)．
解析：当N＝40时，则t＝－144lg＝－144lg＝－144(lg 5－2lg 3)≈36.72.
答案：36.72
三、解答题
9.如图所示，已知边长为8 m的正方形钢板上一个角被锈蚀，其中AE＝4 m，CD＝6 m．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上．
(1)设MP＝x m，PN＝y m，将y表示成关于x的函数，并求其定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值．
解：(1)作PQ⊥AF于点Q，所以PQ＝(8－y)m，
EQ＝(x－4)m.
又△EPQ∽△EDF，所以＝，即＝.
所以y＝－x＋10，
易知定义域为{x|4≤x≤8}．
(2)设矩形BNPM的面积为S(x)m2，
则S(x)＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，4≤x≤8.
当x∈[4，8]时，S(x)单调递增．
所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，为48m2.
10．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，经研究发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝log3，单位是m/s，θ是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧是900个单位时，它的游速是多少？
(2)某条鲑鱼想把游速提高1 m/s，那么它的耗氧量的单位数是原来的多少倍．
解：(1)由v＝log3可知，
当θ＝900时，v＝log3＝log39＝1(m/s)．
所以当一条鲑鱼的耗氧量是900个单位时，它的游速是1 m/s.
(2)由v2－v1＝1，即log3－log3＝1，
得＝9.所以耗氧量的单位数为原来的9倍．
B级 能力提升
1．在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变为c%，则x与y的函数关系式为( )
A．y＝·x B．y＝·x
C．y＝·x D．y＝·x
解析：据题意有＝c%，所以＝c，
即ax＋by＝cx＋cy，所以(b－c)y＝(c－a)x，
所以y＝·x.
答案：B
2．某药厂研制出一种新型药剂，投入市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125.故预计今年药品利润为125万元．
答案：125
3．一片森林原来的面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的.已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.
(1)求每年砍伐面积的百分比．
(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？
(3)今后最多还能砍伐多少年？
解：(1)设每年砍伐面积的百分比为x(0则a(1－x)10＝a，即(1－x)10＝，
解得x＝1－.
(2)设经过m年剩余面积为原来的，
则a(1－x)m＝a，即＝，
所以＝，解得m＝5，故到今年为止，已砍伐了5年．
(3)设从今年开始，以后砍伐了n年，
则n年后剩余面积为a(1－x)n.
令a(1－x)n≥a，即(1－x)n≥，
所以≥，所以≤，解得n≤15.
故今后最多还能砍伐15年．
课件35张PPT。第三章 函数的应用
