21.2 解一元二次方程 教案+练习（14份含答案）

《一元二次方程的根与系数的关系》培优练习
一、选择题
关于x的一元二次方程
??
2
+(
??
2
?2??)??+???1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为(　　)
A. 2 B. 0 C. 1 D. 2或0
若实数a，??(??≠??)分别满足方程
??
2
?7??+2=0，
??
2
?7??+2=0，则
??
??
+
??
??
的值为(　　)
A.
45
2
B.
49
2
C.
45
2
或2 D.
49
2
或2
关于x的一元二次方程
??
2
+2????+2??=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程
??
2
+2????+2??=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②(???1
)
2
+(???1
)
2
≥2；③?1≤2???2??≤1，其中正确结论的个数是(　　)
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、解答题
如果关于x的一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”.例如，一元二次方程
??
2
?6??+8=0的两个根是2和4，则方程
??
2
?6??+8=0就是“倍根方程”．(1)若一元二次方程
??
2
?3??+??=0是“倍根方程”，则??= ______ ；(2)若(???2)(???????)=0(??≠0)是“倍根方程”，求代数式4
??
2
?5????+
??
2
的值；(3)若关于x的一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系．
已知：关于x的一元二次方程??
??
2
?(???1)???1=0 (1)求证：方程有两个实数根；(2)当k为何值时，此方程的两个实数根互为相反数；(3)我们定义：若一元二次方程??
??
2
+????+??=0的两个正实数根
??
1
、
??
2
(
??
1
>
??
2
)，满足2<
??
1
??
2
<3，则称这个一元二次方程有两个“梦想根”.如果关于x的一元二次方程??
??
2
?(???1)???1=0有两个“梦想根”，求k的范围．
答案和解析
【答案】
1. B 2. A 3. D
4. 2??
5. 解：(1)关于x的一元二次方程??
??
2
?(???1)???1=0，??=??，??=?(???1)，??=?1，△=
??
2
?4????=[?(???1)
]
2
?4??(?1)=
??
2
+2??+1=(??+1
)
2
≥0，关于x的一元二次方程??
??
2
?(???1)???1=0有两个实数根；(2)关于x的一元二次方程??
??
2
?(???1)???1=0，
??
1
=
???1+|??+1|
2??
，
??
2
=
???1?|??+1|
2??
，方程的两个实数根互为相反数，得
??
1
+
??
2
=
???1+|??+1|
2??
+
???1?|??+1|
2??
=0，即
2(???1)
2??
=0，解得??=1，当??=1时，此方程的两个实数根互为相反数；(3)当??>0时，
??
1
=1，
??
2
=?
1
??
<0，不符合题意；当?1≤??<0时，
??
1
=?
1
??
，
??
2
=1，2<
??
1
??
2
<3，得
?
1
??
>2
?
1
??
<3
，解得?
1
2
1
3
；当????
1
=?
1
??
，
??
2
=1，由2<
??
1
??
2
<3，得2??
2
?(???1)???1=0有两个“梦想根”，k的范围是：?
1
2
1
3
或?3【解析】
1. 解：设方程的两根为
??
1
，
??
2
，根据题意得
??
1
+
??
2
=0，所以
??
2
?2??=0，解得??=0或??=2，当??=2时，方程化为
??
2
+1=0，△=?4<0，故??=2舍去，所以a的值为0．故选：B．设方程的两根为
??
1
，
??
2
，根据根与系数的关系得
??
2
?2??=0，解得??=0或??=2，然后利用判别式的意义确定a的取值．本题考查了根与系数的关系：若
??
1
，
??
2
是一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)的两根时，
??
1
+
??
2
=?
??
??
，
??
1
??
2
=
??
??
.也考查了根的判别式．
2. 解：由实数a，b满足条件
??
2
?7??+2=0，
??
2
?7??+2=0，∴可把a，b看成是方程
??
2
?7??+2=0的两个根，∴??+??=7，????=2，∴
??
??
+
??
??
=
??
2
+
??
2
????
=
(??+??
)
2
?2????
????
=
49?4
2
=
45
2
．故选A．由实数a，b满足条件
??
2
?7??+2=0，
??
2
?7??+2=0，可把a，b看成是方程
??
2
?7??+2=0的两个根，再利用根与系数的关系即可求解．本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是把a，b看成方程的两个根后再根据根与系数的关系解题．
3. 解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，
??
1
?
??
2
=2??>0，
??
1
?
??
2
=2??>0，
??
1
+
??
2
=?2??<0，
??
1
+
??
2
=?2??<0，这两个方程的根都为负根，①正确；②由根判别式有：△=
??
2
?4????=4
??
2
?8??≥0，△=
??
2
?4????=4
??
2
?8??≥0，∵4
??
2
?8??≥0，4
??
2
?8??≥0，∴
??
2
?2??≥0，
??
2
?2??≥0，
??
2
?2??+1+
??
2
?2??+1=
??
2
?2??+
??
2
?2??+2≥2，(???1
)
2
+(???1
)
2
≥2，②正确；③由根与系数关系可得2???2??=
??
1
??
2
+
??
1
+
??
2
=(
??
1
+1)(
??
2
+1)?1，由
??
1
、
??
2
均为负整数，故(
??
1
+1)?(
??
2
+1)≥0，故2???2??≥?1，同理可得：2???2??=
??
1
??
2
+
??
1
+
??
2
=(
??
1
+1)(
??
2
+1)?1，得2???2??≥?1，即2???2??≤1，故③正确．故选：D．①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据根的判别式，以及题意可以得出
??
2
?2??≥0以及
??
2
?2??≥0，进而得解；③可以采用根与系数关系进行解答，据此即可得解．本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，有一定的难度，注意总结．
4. 解：(1)∵一元二次方程
??
2
?3??+??=0是“倍根方程”，∵
??
1
+
??
2
=3，
??
1
??
2
=??，即
??
1
+2
??
1
=3，2
??
1
2
=??，∴??=2，故答案为：2；(2)解方程(???2)(???????)=0(??≠0)得，
??
1
=2，
??
2
=
??
??
．∵方程两根是2倍关系，∴
??
2
=1，当
??
2
=1时，
??
2
=
??
??
=1，即??=??，代入代数式4
??
2
?5????+
??
2
=0，当
??
2
=4时，
??
2
=
??
??
=4，即??=4??，代入代数式4
??
2
?5????+
??
2
=0．综上所述，4
??
2
?5????+
??
2
=0；(3)根据“倍根方程”的概念设一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)的两个根为t和2t．∴原方程可以改写为??(?????)(???2??)=0，∴??
??
2
+????+??=??
??
2
?3??????+2??
??
2
，∴
??=2??
??
2
??=?3????
．解得2
??
2
?9????=0．∴??，b，c之间的关系是2
??
2
?9????=0．(1)由一元二次方程
??
2
?3??+??=0是“倍根方程”，得到
??
1
+2
??
1
=3，2
??
1
2
=??，即可得到结论；(2)解方程(???2)(????+??)=0(??≠0)得，
??
1
=2，
??
2
=
??
??
.2由方程两根是2倍关系，得到
??
2
=1或43，代入解方程即可得到结论；(3)根据“倍根方程”的概念得到原方程可以改写为??(?????)(???2??)=06，解方程即可得到结论．本题考查了根与系数的关系：若
??
1
，
??
2
是一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)的两根时，
??
1
+
??
2
=?
??
??
，
??
1
??
2
=
??
??
.也考查了一元二次方程的解和解一元二次方程．
5. (1)根据方程的判别式，可得答案；(2)根据互为相反数的和为零，可得关于k的方程，根据解方程，可得答案；(3)根据方程的梦想根，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．本题考查了根的判别式，利用了根的判别式，一元二次方程根的公式，解不等式组．
《因式分解法》培优练习
一、选择题
已知实数(
??
2
???
)
2
?4(
??
2
???)?12=0，则代数式
??
2
???+1的值为(　　)
A. ?1 B. 7 C. ?1或7 D. 以上全不正确
方程4
??
2
+4???1=0的两根为
??
1
=
?1+
2
2
,
??
2
=
?1?
2
2
，则把二次三项式4
??
2
+4???1因式分解，结果应是(　　)
A. (??+
?1+
2
2
)(??+
?1?
2
2
) B. 2(2??+1+
2
)(2??+1?
2
)C. (??+1+
2
)(??+1?
2
) D. (2??+1+
2
)(2??+1?
2
)
如果
??
2
????1=(??+1
)
0
，那么x的值为(　　)
A. 2或?1 B. 0或1 C. 2 D. ?1
二、解答题
阅读题例，解答下题：例解方程
??
2
?|???1|?1=0 解：(1)当???1≥0，即??≥1时
??
2
?(???1)?1=0
??
2
???=0 (2)当???1<0，即??<1时
??
2
+(???1)?1=0
??
2
+???2=0 解得：
??
1
=0(不合题设，舍去)，
??
2
=1 解得
??
1
=1(不合题设，舍去)
??
2
=?2 综上所述，原方程的解是??=1或??=?2 依照上例解法，解方程
??
2
+2|??+2|?4=0．
若
??
1
，
??
2
是关于x的方程
??
2
+????+??=0的两个实数根，且|
??
1
|+|
??
2
|=2|??|(??是整数)，则称方程
??
2
+????+??=0为“偶系二次方程”.如方程
??
2
?6???27=0，
??
2
?2???8=0，
??
2
+3???
27
4
=0，
??
2
+6???27=0，
??
2
+4??+4=0，都是“偶系二次方程”．(1)判断方程
??
2
+???12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由；(2)对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程
??
2
+????+??=0是“偶系二次方程”，并说明理由．
答案和解析
【答案】
1. B 2. D 3. C
4. 解：①当??+2≥0，即??≥?2时，
??
2
+2(??+2)?4=0，
??
2
+2??=0，解得
??
1
=0，
??
2
=?2；②当??+2<0，即????
2
?2(??+2)?4=0，
??
2
?2???8=0，解得
??
1
=4(不合题设，舍去)，
??
2
=?2(不合题设，舍去)．综上所述，原方程的解是??=0或??=?2．??
5. 解：(1)不是，解方程
??
2
+???12=0得，
??
1
=3，
??
2
=?4．|
??
1
|+|
??
2
|=3+4=7=2×3.5．∵3.5不是整数，∴
??
2
+???12=0不是“偶系二次方程； (2)存在.理由如下：∵
??
2
?6???27=0和
??
2
+6???27=0是偶系二次方程，∴假设??=??
??
2
+??，当??=?6，??=?27时，?27=36??+??．∵
??
2
=0是偶系二次方程，∴??=0时，??=?
3
4
，∴??=?
3
4
??
2
．∵
??
2
+3???
27
4
=0是偶系二次方程，当??=3时，??=?
3
4
×
3
2
．∴可设??=?
3
4
??
2
．对于任意一个整数b，??=?
3
4
??
2
时，△=
??
2
?4????，=4
??
2
．??=
???±2??
2
，∴
??
1
=?
3
2
??，
??
2
=
1
2
??.∴|
??
1
|+|
??
2
|=2|??|，∵??是整数，∴对于任何一个整数b，??=?
3
4
??
2
时，关于x的方程
??
2
+????+??=0是“偶系二次方程”．??
【解析】
1. 解：∵(
??
2
???
)
2
?4(
??
2
???)?12=0，∴(
??
2
???+2)(
??
2
????6)=0，∴
??
2
???+2=0或
??
2
????6=0，∴
??
2
???=?2或
??
2
???=6．当
??
2
???=?2时，
??
2
???+2=0，
??
2
?4????=1?4×1×2=?7<0，∴此方程无实数解．当
??
2
???=6时，
??
2
???+1=7 故选B．由整体思想，用因式分解法解一元二次方程求出
??
2
???的值就可以求出结论．本题考查了整体思想在一元二次方程的解法中的运用，因式分解法解一元二次方程的运用，代数式求值的运用，解答时因式分解法解一元二次方程是关键．
2. 解：因为方程4
??
2
+4???1=0的两根为
??
1
=
?1+
2
2
,
??
2
=
?1?
2
2
，所以4
??
2
+4???1=4(???
?1+
2
2
)(???
?1?
2
2
) =2(???
?1+
2
2
)?2(???
?1?
2
2
) =(2??+1?
2
)(2??+1+
2
). 故选D．
3. 解：∵
??
2
????1=(??+1
)
0
，∴
??
2
????1=1，即(???2)(??+1)=0，解得：
??
1
=2，
??
2
=?1，当??=?1时，??+1=0，故??≠?1，故选：C．首先利用零指数幂的性质整理一元二次方程，进而利用因式分解法解方程得出即可．此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及零指数幂的性质，注意??+1≠0是解题关键．
4. 根据题中所给的材料把绝对值符号内的??+2分两种情况讨论(??+2≥0和??+2<0)，去掉绝对值符号后再解方程求解．从题中所给材料找到需要的解题方法是解题的关键.注意在去掉绝对值符号时要针对符号内的代数式的正负性分情况讨论．
5. (1)求出原方程的根，再代入|
??
1
|+|
??
2
|看结果是否为2的整数倍就可以得出结论；(2)由条件
??
2
?6???27=0和
??
2
+6???27=0是偶系二次方程建模，设??=??
??
2
+??，就可以表示出c，然后根据公式法就可以求出其根，再代入|
??
1
|+|
??
2
|就可以得出结论．本题考查了一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用根与系数的关系的运用及数学建模思想的运用，解答本题时根据条件特征建立模型是关键．
《配方法》培优练习
（第1课时）
一、选择题
1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）．
（A）x2－=1 （B）x2+y=2 （C）x2=2 （D）x+5=（－7）2
2.若ax2-5x+3=0是一元二次方程，则不等式3a+6>0的解集是（ ）
A．a>-2 B．a<-2 C．a>-2且a≠0 D．a>/
3．生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，如果全组有x名同学，则根据题意列出的方程是（ ）
A．x（x+1）=182 B．x（x-1）=182
C．2x（x+1）=182 D．x（x-1）=182×2
二、填空题
4．若方程kx2+x=3x2+1是一元二次方程，则k的取值范围是_________．
5．根据题意列出方程：有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，这个正方形的边长是多少？设正方形的边长为xm，请列出你求解的方程__________．
6.如图，在宽为20m，长30m的矩形场地上，修筑同样宽的两条道路，余下的部分作为耕地，要使耕地的面积为500m2，若设路宽为xm，则可列方程为：_________．
/
三、简答题
7.若关于x的方程（m+3）/+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m的值，并计算这个方程的各项系数之和．
8． 若m是方程x2+x－1＝0的一个根，试求代数式m3+2m2+2009的值.
9．已知的值为，则代数式的值.
10． a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，且满足+(b－2)2+|a+b+c|=0，求满足条件的一元二次方程.
《配方法》培优练习
（第2课时）
一、选择题
若|
??
2
?4??+4|与
2??????3
互为相反数，则??+??的值为(　　)
A. 3 B. 4 C. 6 D. 9
若一元二次方程式
??
2
?2???3599=0的两根为a、b，且??>??，则2?????的值为(　　)
A. ?57 B. 63 C. 179 D. 181
用配方法解方程2
??
2
+6=7??时，配方后所得的方程为(　　)
A. (??+
7
2
)
2
=
37
4
B. (???
7
2
)
2
=
37
4
C. (??+
7
4
)
2
=
1
16
D. (???
7
4
)
2
=
1
16
无论x、y取任何值，多项式
??
2
+
??
2
?2???4??+6的值总是(　　)
A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 无法确定
若方程
??
2
?8??+??=0可以通过配方写成(?????
)
2
=6的形式，那么
??
2
+8??+??=5可以配成(　　)
A. (?????+5
)
2
=1 B. (??+??
)
2
=1 C. (?????+5
)
2
=11 D. (??+??
)
2
=11
二、填空题
已知
??
2
+
??
2
+2???6??+10=0，则??+??= ______ ．
已知点(5?
??
2
,2??+3)在第四象限内，且在其角平分线上，则??= ______ ．
三、解答题
用配方法解方程：3
??
2
+6???1=0．
有n个方程：
??
2
+2???8=0；
??
2
+2×2???8×
2
2
=0；…
??
2
+2?????8
??
2
=0．小静同学解第一个方程
??
2
+2???8=0的步骤为：“①
??
2
+2??=8；②
??
2
+2??+1=8+1；③(??+1
)
2
=9；④??+1=±3；⑤??=1±3；⑥
??
1
=4，
??
2
=?2.”(1)小静的解法是从步骤______开始出现错误的．(2)用配方法解第n个方程
??
2
+2?????8
??
2
=0.(用含有n的式子表示方程的根)
先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平方公式
??
2
±2????+
??
2
=(??±??
)
2
及(??±??
)
2
的值恒为非负数的特点在数学学习中有着广泛的应用，比如探求多项式2
??
2
+12???4的最大(小)值时，我们可以这样处理：解：原式=2(
??
2
+6???2) =2(
??
2
+6??+9?9?2) =2[(??+3
)
2
?11] =2(??+3
)
2
?22 因为无论x取什么数，都有(??+3
)
2
的值为非负数，所以(??+3
)
2
的最小值为0，此时??=?3，进而2(??+3
)
2
?22的最小值是2×0?22=?22，所以当??=?3时，原多项式的最小值是?22 解决问题：请根据上面的解题思路，探求(1)多项式3
??
2
?6??+12的最小值是多少，并写出对应的x的取值．(2)多项式?
??
2
?2??+8的最大值是多少，并写出对应的x的取值．
《配方法》培优练习
（第1课时）解析和答案
一、
1．【答案】C
解：A选项等号左边不是整式，故不是一元二次方程；
B选项含有两个未知数，故不是一元二次方程；
C选项符合一元二次方程条件，满足题意；
D选项未知数次数是1次，故不是一元二次方程.
故选C.
2．【答案】C
解：不等式3a+6＞0的解集为a＞-2，
又因为ax2-5x+3=0是一元二次方程，故a≠0.
∴a的取值范围是a>-2且a≠0.
故选C
3.【答案】B
解：有x名同学，每位同学需要准备（x-1）个礼物，所有礼物总数为x（x-1）,故方程为x(x-1)=182.
故选B.
二、
4．【答案】k≠3
解：整理为一般形式为（k-3）x2+x-1=0,
∵方程为一元二次方程，
∴k-3≠0，即k≠3.
故答案为k≠3.
5．【答案】（x+5）(x+2)=54.
解：原长方形的长为（x+5）m,宽为（x+2）m，故方程为（x+5）(x+2)=54.
故答案为（x+5）(x+2)=54.
【答案】（30-x）(20-x)=500.
解：可将道路平移到两边，得到耕地长为（30-x）m，宽为（20-x）m,列方程为（30-x）(20-x)=500.
故答案为（30-x）(20-x)=500.
三、
7．解：依题意：m2-7=2且m+3≠0，解得m=3．
原方程可化为：6x2-2x+5=0，
所以各项系数之和为6+（-2）+5=9．
8.解： 把x=m代入方程得m2+m-1=0，即m2+m=1
∴m3+2m2+2009＝m3+ m2+m2+2009
＝m（m2+ m）+ m2+2009
＝m+ m2+2009
＝1+2009
＝2010.
9．解：∵=
∴x2+3x=3，
∴=3（x2+3x）-2=3×3-2=7.
10．解：由+(b－2)2+|a+b+c|=0，
得解得a=1,b=2,c=－3.
∵a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，
∴所求的方程为x2+2x－3=0.
《配方法》培优练习
（第2课时）解析和答案
【答案】
1. A 2. D 3. D 4. A 5. D
6. 2??
7. ?2??
8. 解：把方程
??
2
+2???
1
3
=0的常数项移到等号的右边，得
??
2
+2??=
1
3
，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得
??
2
+2??+1=
1
3
+1 配方得(??+1
)
2
=
4
3
，开方得??+1=±
2
3
3
，解得??=±
2
3
3
?1．??
9. ⑤??
10. 解：(1)3
??
2
?6??+12 =3(
??
2
?2??+4) =3(
??
2
?2??+1?1+4) =3(???1
)
2
+9，∵无论x取什么数，都有(???1
)
2
的值为非负数，∴(???1
)
2
的最小值为0，此时??=1，∴3(???1
)
2
+9的最小值为：3×0+9=9，则当??=1时，原多项式的最小值是9； (2)?
??
2
?2??+8 =?(
??
2
+2???8) =?(
??
2
+2??+1?1?8) =?(??+1
)
2
+9，∵无论x取什么数，都有(??+1
)
2
的值为非负数，∴(??+1
)
2
的最小值为0，此时??=?1，∴?(??+1
)
2
+9的最大值为：?0+9=9，则当??=?1时，原多项式的最大值是9．??
【解析】
1. 解：根据题意得|
??
2
?4??+4|+
2??????3
=0，所以|
??
2
?4??+4|=0，
2??????3
=0，即(???2
)
2
=0，2??????3=0，所以??=2，??=1，所以??+??=3．故选A．根据相反数的定义得到|
??
2
?4??+4|+
2??????3
=0，再根据非负数的性质得
??
2
?4??+4=0，2??????3=0，然后利用配方法求出x，再求出y，最后计算它们的和即可．本题考查了解一元二次方程?配方法：将一元二次方程配成(??+??
)
2
=??的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.也考查了非负数的性质．
2. 解：
??
2
?2???3599=0，移项得：
??
2
?2??=3599，
??
2
?2??+1=3599+1，即(???1
)
2
=3600，???1=60，???1=?60，解得：??=61，??=?59，∵一元二次方程式
??
2
?2???3599=0的两根为a、b，且??>??，∴??=61，??=?59，∴2?????=2×61?(?59)=181，故选D．配方得出(???1
)
2
=3600，推出???1=60，???1=?60，求出x的值，求出a、b的值，代入2?????求出即可．本题考查了有理数的混合运算和解一元二次方程的应用，能求出a、b的值是解此题的关键，主要培养学生解一元二次方程的能力，题型较好，难度适中．
3. 解：2
??
2
+6=7??，2
??
2
?7??=?6，
??
2
?
7
2
??+=?3，
??
2
?
7
2
??+
49
16
=?3+
49
16
，(???
7
4
)
2
=
1
16
，故选D．移项，系数化成1，配方，即可得出选项．本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
4. 解：∵
??
2
+
??
2
?2???4??+6=(
??
2
?2??+1)+(
??
2
?4??+4)+1=(???1
)
2
+(???2
)
2
+1≥1>0，∴多项式的值总是正数．故选：A．利用完全平方公式把多项式分组配方变形后，利用非负数的性质判断即可．此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，利用完全平方公式分组分解是解决问题的关键．
5. 解：∵
??
2
?8??+??=0，∴
??
2
?8??=???，∴
??
2
?8??+16=???+16，∴(???4
)
2
=???+16，依题意有??=4，???+16=6，∴??=4，??=10，∴
??
2
+8??+??=5是
??
2
+8??+5=0，∴
??
2
+8??+16=?5+16，∴(??+4
)
2
=11，即(??+??
)
2
=11．故选：D．已知方程
??
2
?8??+??=0可以配方成(?????
)
2
=6的形式，把
??
2
?8??+??=0配方即可得到一个关于m的方程，求得m的值，再利用配方法即可确定
??
2
+8??+??=5配方后的形式．考查了解一元二次方程?配方法，配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6. 解：∵
??
2
+
??
2
+2???6??+10=0，∴
??
2
+2??+1+
??
2
?6??+9=0，即(??+1
)
2
+(???3
)
2
=0，∴??+1=0，???3=0，∴??=?1，??=3，∴??+??=2．故答案为：2．将10拆成9+1，然后配出两个平方的式子，然后根据非负数的性质“两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0.”解出x、y的值，然后代入??+??中即可解出本题．此题考查了配方法的运用，非负数的性质，两个非负数相加，和为0，这两个非负数的值都为0.题中应先把方程变形为两个平方的和再作答．
7. 解：∵点(5?
??
2
,2??+3)在第四象限内，∴
5?
??
2
>0
2??+3<0
，解得?
5
3
2
；又∵点(5?
??
2
,2??+3)在第四象限的角平分线上，∴5?
??
2
=?2???3，即
??
2
?2???8=0，∴
??
1
=4(不合题意，舍去)，
??
2
=?2．故答案是：?2．根据点的坐标，列出关于k的一元二次方程，然后利用配方法解方程即可．本题主要考查了点的坐标与解一元二次方程--配方法.配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
8. 先把方程两边都除以3，使二次项的系数为1，然后再配上一次项系数一半的平方，利用配方法解方程．本题考查了配方法解方程.配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
9. 解：(1)小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，故答案为：⑤； (2)
??
2
+2?????8
??
2
=0，
??
2
+2????=8
??
2
，
??
2
+2????+
??
2
=8
??
2
+
??
2
，(??+??
)
2
=9
??
2
，??+??=±3??，
??
1
=2?????
??
2
=?4??．(1)移项要变号；(2)移项后配方，开方，即可得出两个方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，题目比较好，难度适中．
10. (1)先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案；(2)根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案．此题考查了配方法的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式．

《一元二次方程的根与系数的关系》基础练习
一、选择题
已知关于x的方程
??
2
+?????=0的一个根为2，则另一个根是(　　)
A. ?3 B. ?2 C. 3 D. 6
设ɑ，??是一元二次方程
??
2
+2???3=0的两个根，则ɑ??的值是(　　)
A. 3 B. ?3 C. 2 D. ?2
已知，??、??是关于x的一元二次方程
??
2
+4???1=0的两个实数根，则??+??的值是(　　)
A. ?4 B. 4 C. 4或?4 D. ?
1
4
已知关于x的方程
??
2
+?????6=0的一个根为2，则m的值及另一个根是(　　)
A. 1，3 B. ?1，3 C. 1，?3 D. ?1，?3
已知m，n是方程
??
2
?2???1=0的两实数根，则
1
??
+
1
??
的值为(　　)
A. ?2 B. ?
1
2
C.
1
2
D. 2
已知方程
??
2
????2=0的两个实数根为
??
1
、
??
2
，则代数式
??
1
+
??
2
+
??
1
??
2
的值为(　　)
A. ?3 B. 1 C. 3 D. ?1
二、填空题
若
??
1
，
??
2
是一元二次方程
??
2
?2??+1=0的两个根，则
??
1
?
??
1
?
??
2
+
??
2
的值为______ ．
设
??
1
、
??
2
是一元二次方程
??
2
??????6=0的两个根，且
??
1
+
??
2
=1，则
??
1
=______，
??
2
=______．
若方程
??
2
+2???11=0的两根分别为m、n，则????(??+??)=______．
若方程
??
2
?????+6=0的两根分别比方程
??
2
+????+6=0的两根大5，则k的值是______ ．
三、解答题
已知关于的方程
??
2
+2??+???2=0．(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围；(2)当该方程的一个根为1时，求m的值及方程的另一根．
已知关于x的一元二次方程
??
2
+(??+3)??+??=0的一个根是1，求该方程的另一个根．
关于x的一元二次方程
??
2
?3?????=0有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)请选择一个整数k值，使方程的两根同号，并求出方程的根．
已知方程
??
2
+3???1=0的两个实数根为??、??，不解方程求
??
2
+
??
2
的值．
已知关于x的方程
??
2
??????3??+???4=0(??为常数)．(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)设
??
1
，
??
2
是方程的两个实数根，求(
??
1
?1)(
??
2
?1)的值．
答案和解析
【答案】
1. A 2. B 3. A 4. C 5. A 6. D
7. 1??
8. ?2；3??
9. 22??
10. 5??
11. 解：(1)依题意得：△=
??
2
?4????=
2
2
?4×1×(???2)=12?4??>0，解得：??<3．∴若该方程有两个不相等的实数根，实数m的取值范围为??<3． (2)设方程的另一根为
??
1
，由根与系数的关系得：
1?
??
1
=???2
1+
??
1
=?2
，解得：
??=?1
??
1
=?3
，∴??的值为?1，该方程的另一根为?3．??
12. 解：将??=1代入原方程，得：1+??+3+??=0，解得：??=?2．设方程的另一个根为
??
1
，根据题意得：1+
??
1
=?(?2+3)，∴
??
1
=?2，∴该方程的另一个根为?2．??
13. 解：(1)∵方程
??
2
?3?????=0有两个不相等的实数根，∴△=(?3
)
2
+4??=9+4??>0，解得：??>?
9
4
．(2)∵方程的两根同号，∴???>0，∴??=?2或?1．当??=?2时，原方程为
??
2
?3??+2=(???1)(???2)=0，解得：
??
1
=1，
??
2
=2．??
14. 解：∵方程
??
2
+3???1=0的两个实数根为??、??，∴??+??=?3，????=?1，∴
??
2
+
??
2
=(??+??
)
2
?2????=9+2=11．??
15. (1)证明：∵关于x的方程
??
2
??????3??+???4=0，∴此方程为
??
2
?(??+3)??+???4=0，∴△=[?(??+3)
]
2
?4(???4)=
??
2
+2??+25=(??+1
)
2
+24，∴△>0，∴关于x的方程
??
2
??????3??+???4=0有两个不相等的实数根．(2)解：∵
??
1
，
??
2
是方程的两个实数根，∴
??
1
+
??
2
=?
??
??
=??+3，
??
1
?
??
2
=
??
??
=???4，∴(
??
1
?1)(
??
2
?1)=
??
1
?
??
2
?(
??
1
+
??
2
)+1=(???4)?(??+3)+1=?6．??
【解析】
1. 解：设方程的另一个根为t，根据题意得2+??=?1，解得??=?3，即方程的另一个根是?3．故选：A．设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+??=?1，然后解一元一次方程即可．本题考查了根与系数的关系：若
??
1
，
??
2
是一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)的两根时，
??
1
+
??
2
=?
??
??
，
??
1
??
2
=
??
??
．
2. 解：根据题意得????=?3．故选B．直接利用根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：若
??
1
，
??
2
是一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)的两根时，
??
1
+
??
2
=?
??
??
，
??
1
??
2
=
??
??
．
3. 解：∵??、??是关于x的一元二次方程
??
2
+4???1=0的两个实数根，∴??+??=?
??
??
=?4．故选A．根据根与系数的关系即可得出??+??的值，此题得解．本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和为?
??
??
是解题的关键．
4. 解：将??=2代入方程中，得：4+2???6=0，解得：??=1．设方程的另一个根为n，由根与系数的关系，得：2??=?6，解得：??=?3．故选C．将??=2代入原方程，即可求出m的值，设方程的另一个根为n，根据根与系数的关系，即可得出2??=?6，解之即可求出方程的另一个根．本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，将??=2代入原方程求出m的值是解题的关键．
5. 解：∵??，n是方程
??
2
?2???1=0的两实数根，∴??+??=2，????=?1，∴
1
??
+
1
??
=
??+??
????
=
2
?1
=?2．故选：A．由根与系数的关系可得出??+??=2、????=?1，将其代入
1
??
+
1
??
=
??+??
????
中，即可求出结论．本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于?
??
??
、两根之积等于
??
??
是解题的关键．
6. 解：∵方程
??
2
????2=0的两个实数根为
??
1
、
??
2
，∴
??
1
+
??
2
=1，
??
1
??
2
=?2，∴
??
1
+
??
2
+
??
1
??
2
=1?2=?1．故选：D．根据根与系数的关系可得出
??
1
+
??
2
=1、
??
1
??
2
=?2，将其代入
??
1
+
??
2
+
??
1
??
2
中即可求出结论．本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于?
??
??
、两根之积等于
??
??
是解题的关键．
7. 解：∵
??
1
，
??
2
是一元二次方程
??
2
?2??+1=0的两个根，∴
??
1
+
??
2
=2，
??
1
??
2
=1，∴
??
1
?
??
1
?
??
2
+
??
2
=(
??
1
+
??
2
)?
??
1
??
2
=2?1=1；故答案为：1．根据一元二次方程根与系数之间的关系得出两根之和，两根之积，再代值计算即可．本题考查了根与系数的关系：若
??
1
，
??
2
是一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)的两根时，则
??
1
+
??
2
=?
??
??
，
??
1
??
2
=
??
??
．
8. 解：∵
??
1
、
??
2
是一元二次方程
??
2
??????6=0的两个根，且
??
1
+
??
2
=1，∴??=1，∴原方程为
??
2
????6=0，即(??+2)(???3)=0，解得：
??
1
=?2，
??
2
=3．故答案为：?2；3．根据根与系数的关系结合
??
1
+
??
2
=1可得出m的值，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可得出结论．本题考查了根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，利用根与系数的关系求出m的值是解题的关键．
9. 解：∵方程
??
2
+2???11=0的两根分别为m、n，∴??+??=?2，????=?11，∴????(??+??)=?2×(?11)=22．故答案为：22．根据根与系数的关系可得出??+??=?2、????=?11，将其代入????(??+??)中即可求出结论．本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于?
??
??
、两根之积等于
??
??
是解题的关键．
10. 解：设方程
??
2
+????+6=0的两根分别为a、b，则方程
??
2
?????+6=0的两根分别为??+5，??+5，根据题意得??+??=???，??+5+??+5=??，所以10???=??，解得??=5．故答案为：5．设方程
??
2
+????+6=0的两根分别为a、b，则方程
??
2
?????+6=0的两根分别为??+5，??+5，根据根与系数的关系得到??+??=???，??+5+??+5=??，然后消去??+??即可得到k的方程，然后解关于k的方程即可．本题考查了根与系数的关系：若
??
1
，
??
2
是一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)的两根时，
??
1
+
??
2
=?
??
??
，
??
1
??
2
=
??
??
．
11. (1)由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；(2)设方程的另一根为
??
1
，由根与系数的关系即可得出关于m、
??
1
的二元一次方程组，解之即可得出结论．本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解二元一次方程组，解题的关键是：(1)熟练掌握“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)利用根与系数的关系找出关于m、
??
1
的二元一次方程组．
12. 将??=1代入原方程可求出k值，设方程的另一个根为
??
1
，根据两根之和等于?
??
??
即可得出关于
??
1
的一元一次方程，解之即可得出结论．本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，代入??=1求出k值是解题的关键．
13. (1)由方程的系数结合根的判别式即可得出△=9+4??>0，解之即可得出结论；(2)由根与系数的关系结合方程两根同号即可得出??=?2或?1，取??=?2，利用分解因式法解一元二次方程即可得出结论．本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：(1)利用根的判别式找出△=9+4??>0；(2)根据两根同号找出??=?2或?1．
14. 根据根与系数的关系找出??+??=?3、????=?1，利用完全平方公式将
??
2
+
??
2
的变形为只含??+??、????的算式，代入数据即可得出结论．本题考查了根与系数的关系，根据根与系数的关系找出??+??=?3、????=?1是解题的关键．
15. (1)将原方程变形为一般式，代入系数求出△=(??+1
)
2
+24>0，由此即可证出结论；(2)由根与系数的关系得出“
??
1
+
??
2
=??+3，
??
1
?
??
2
=???4”，再将(
??
1
?1)(
??
2
?1)变形成含
??
1
+
??
2
和
??
1
?
??
2
的形式，代入数据即可得出结论．本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：(1)找出△=(??+1
)
2
+24>0；(2)结合根与系数的关系找出
??
1
+
??
2
=??+3，
??
1
?
??
2
=???4.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，由根的判别式的符号来判断方程根的个数是关键．
《公式法》基础练习
一、选择题
如果一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)能用公式法求解，那么必须满足的条件是(　　)
A.
??
2
?4????≥0 B.
??
2
?4????≤0 C.
??
2
?4????>0 D.
??
2
?4????<0
用公式法解方程
??
2
???=2时，求根公式中的a，b，c的值分别是(　　)
A. ??=1，??=1，??=2 B. ??=1，??=?1，??=?2C. ??=1，??=1，??=?2 D. ??=1，??=?1，??=2
下列关于方程
??
2
+???1=0的说法中正确的是(　　)
A. 该方程有两个相等的实数根B. 该方程有两个不相等的实数根，且它们互为相反数C. 该方程有一根为
1+
5
2
D. 该方程有一根恰为黄金比例
用公式法解方程4
??
2
?12??=3所得的解正确的是(　　)
A. ??=
?3±
6
2
B. ??=
3±
6
2
C. ??=
?3±2
3
2
D. ??=
3±2
3
2
关于方程
??
2
?2=0的理解错误的是(　　)
A. 这个方程是一元二次方程B. 方程的解是
2
C. 这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D. 这个方程可以用公式法求解
一元二次方程3
??
2
?6??+4=0根的情况是(　　)
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根C. 没有实数根 D. 有两个实数根
二、填空题
方程
??
2
????6=0的解是???????????．
一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)的求根公式是______ ，条件是______ ．
把方程(??+3)(???1)=??(1???)整理成??
??
2
+????+??=0的形式______ ，
??
2
?4????的值是______ ．
一元二次方程
??
2
+2???1=0的根的判别式△ ______ 0.(填“>”、“=”或“<”)
若一元二次方程
??
2
+2??+??=0无实数解，则m的取值范围是______．
三、计算题
解方程：2
??
2
?3???1=0．
已知关于x的方程
??
2
??
2
+(2???1)??+1=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围．
四、解答题
已知：关于x的方程
??
2
+?????2=0(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的一个根是?1，求另一个根及k值．
已知关于x的一元二次方程
??
2
+(2???1)??+??(??+1)=0(??是常数)，它有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；(2)请你从??=2或??=?2或??=?1三者中，选取一个你认为合适的k的数值代入原方程，求解这个一元二次方程的根．
答案和解析
【答案】
1. A 2. B 3. D 4. D 5. B 6. C
7. ?2或3??
8. ??=
???±
??
2
?4????
2??
；
??
2
?4????≥0??
9. 2
??
2
+???3=0；25??
10. >??
11. ??>1??
12. 解：2
??
2
?3???1=0，??=2，??=?3，??=?1，∴△=9+8=17，∴??=
3±
17
4
，
??
1
=
3+
17
4
，
??
2
=
3?
17
4
．??
13. 解：∵
??
2
??
2
+(2???1)??+1=0有两个不相等的实数根，∴△=(2???1
)
2
?4
??
2
=?4??+1>0，且
??
2
≠0，解得：??<
1
4
且??≠0．??
14. (1)证明：∵△=
??
2
?4×1×(?2)=
??
2
+8>0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)解：将??=?1代入原方程，得：1????2=0，∴??=?1．设方程的另一个根为
??
1
，根据题意得：?1?
??
1
=?2，∴
??
1
=2．∴方程的另一个根为2，k值为?1．??
15. 解：(1)△=(2???1
)
2
?4??(??+1) =4
??
2
?4??+1?4
??
2
?4?? =?8??+1>0 解得：??<
1
8
．故k的取值范围是??<
1
8
； (2)根据k的取值范围，选??=?1，得方程???(???3)=0；解得它的两根为
??
1
=0，
??
2
=3．??
【解析】
1. 解：若一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)能用公式法求解，则
??
2
?4????≥0；故选A．若一元二次方程能用公式法求解，则根的判别式必大于或等于0，由此可判断出正确的选项．在应用公式法解一元二次方程的过程中，前提条件是根的判别式△=
??
2
?4????≥0；若
??
2
?4????<0，则一元二次方程无实数根．
2. 解：将方程整理得：
??
2
????2=0，这里??=1，??=?1，??=?2，故选B 方程整理为一般形式，找出a，b，c的值即可．此题考查了解一元二次方程?公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
3. 解：A、△=
1
2
+4×1>0，∴程
??
2
+???1=0有两个不相等的实数根，此选项错误；B、方程两根的和为?1，它们不互为相反数，此选项错误；C、把??=
1+
5
2
代入
??
2
+???1得
??
2
+??≠0，故此选项错误；D、把??=
5
?1
2
代入
??
2
+???1得
??
2
+??=0，故此选项正确．故选：D．根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，以及一元二次方程根的意义逐一进行判断即可．此题考查了一元二次方程的解，根的情况与判别式△的关系：(1)△>0?方程有两个不相等的实数根；(2)△=0?方程有两个相等的实数根；(3)△<0?方程没有实数根．
4. 解：方程整理得：4
??
2
?12???3=0，这里??=4，??=?12，??=?3，∵△=144+48=192，∴??=
12±
192
8
=
3±2
3
2
，故选：D．方程整理后，找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．此题考查了解一元二次方程?公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
5. 解：A、这个方程是一元二次方程，正确；B、方程的解是??=±
2
，错误；C、这个方程可以化成一元二次方程的一般形式，正确；D、这个方程可以用公式法求解，正确；故选：B．根据一元二次方程的定义、解法、一般式逐一判断即可．本题主要考查一元二次方程的定义和解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．
6. 解：∵3
??
2
?6??+4=0，∴△=(?6
)
2
?4×3×4=36?48=?12<0，∴该方程无实数根，故选：C．直接计算方程根的判别式进行判断即可．本题主要考查根的判别式，掌握方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．
7. 试题分析：利用公式法即可求解．由题意得，??=1，??=?1，??=?6，∵△=1+24=25>0，即方程有两个不相等的实数根，∴??=
1±
25
2
=
1±5
2
，∴
??
1
=?2，
??
2
=3；故答案为：?2或3．
8. 解：由一元二次方程??
??
2
+????+??=0，移项，得??
??
2
+????=??? 化系数为1，得
??
2
+
??
??
??=?
??
??
配方，得
??
2
+
??
??
??+(
??
2??
)
2
=?
??
??
+(
??
2??
)
2
即：(??+
??
2??
)
2
=
??
2
?4????
4
??
2
当
??
2
?4????≥0时，开方，得??+
??
2??
=±
??
2
?4????
2??
解得：??=
???±
??
2
?4????
2??
．故答案为：
???±
??
2
?4????
2??
，
??
2
?4????≥0．可根据配方法解一元二次方程的一般方法，解一元二次方程??
??
2
+????+??=0．本题考查了用配方法推导公式法解一元二次方程的一般方法．
9. 解：方程(??+3)(???1)=??(1???)整理得：2
??
2
+???3=0，
??
2
?4????=25．故答案为：2
??
2
+???3=0；25．将方程整理为一般形式，计算出根的判别式的值即可．此题考查了解一元二次方程?公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
10. 解：在方程
??
2
+2???1=0中，△=
2
2
?4×1×(?1)=8>0．故答案为：>．根据方程的系数结合根的判别式即可得出△=8>0，此题得解．本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式为△=
??
2
?4????是解题的关键．
11. 解：∵一元二次方程
??
2
+2??+??=0无实数解，∴△<0，即
2
2
?4??<0，解得??>1，∴??的取值范围是??>1．故答案为??>1．根据一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)的根的判别式的意义得到△<0，即
2
2
?4??<0，然后解不等式即可．本题考查了一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)的根的判别式△=
??
2
?4????：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
12. 利用公式法解方程即可求解．此题这样考查了利用公式法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握求根公式即可解决问题．
13. 根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出k的范围即可．此题考查了根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式与方程解的关系是解本题的关键．
14. (1)根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=
??
2
+8>0，由此即可证出方程有两个不相等的实数根；(2)代入??=?1即可求出k值，再根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根．本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解以及根的判别式，解题的关键是：(1)牢记“当△>0时，方程有两个不相等的实数根”；(2)代入??=?1求出k值．
15. (1)若一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=
??
2
?4????>0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．(2)在K的取值范围内确定一个K的值，代入求得方程的解即可．本题考查了根的判别式及公式法解一元二次方程的知识，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)△>0?方程有两个不相等的实数根；(2)△=0?方程有两个相等的实数根；(3)△<0?方程没有实数根
《因式分解法》基础练习
一、选择题
一元二次方程
??
2
?2??=0的解是(　　)
A. ??=2 B.
??
1
=2，
??
2
=0 C. ??=0 D.
??
1
=2，
??
2
=1
一元二次方程??(???2)=2???的根是(　　)
A. ?1 B. 2 C. 1和2 D. ?1和2
一元二次方程(???3)(???5)=0的两根分别为(　　)
A. 3，?5 B. ?3，?5 C. ?3，5 D. 3，5
解方程
??
2
+2016??=0的最佳方案是(　　)
A. 配方法 B. 直接开平方法 C. 公式法 D. 因式分解法
方程
??
2
+2???3=0的解是(　　)
A. 1 B. 3 C. ?3 D. 1或?3
如果等腰三角形的两边长分别是方程
??
2
?10??+21=0的两根，那么它的周长为(　　)
A. 10 B. 13 C. 17 D. 21
二、填空题
方程
??
2
=2??的根为______．
方程(???2)(??+1)=??+1的解是______．
当x______时，代数式2
??
2
+2与
??
2
?2??+2的值相等．
若代数式(???3)(2??+1)的值是0，则符合题意的x的值是______．
三、计算题
用适当的方法解下列一元二次方程(1)4(???1
)
2
?36=0(直接开平方法) (2)
??
2
+2???3=0(配方法) (3)??(???4)=8?2??(因式分解法) (4)(??+1)(???2)=4?(公式法)
解下列方程．(1)
??
2
?2???3=0 (2)(??+3
)
2
=2(??+3)
四、解答题
用因式分解法解方程：
??
2
?10??+9=0．
(???3
)
2
+2??(???3)=0．
选用合适的方法解下列方程：(1)2
??
2
?5??=3；??????????????? (2)(??+3
)
2
=(1?3??
)
2
．
答案和解析
【答案】
1. B 2. D 3. D 4. D 5. D 6. C
7.
??
1
=0,
??
2
=2??
8.
??
1
=?1，
??
2
=3??
9. =0或?2??
10. 3或?
1
2
??
11. 解：(1)方程整理得：(???1
)
2
=9，开方得：???1=3或???1=?3，解得：
??
1
=4，
??
2
=?2；(2)方程整理得：
??
2
+2??=3，配方得：
??
2
+2??+1=4，即(??+1
)
2
=4，开方得：??+1=2或??+1=?2，解得：
??
1
=1，
??
2
=?3；(3)方程整理得：??(???4)+2(???4)=0，分解因式得：(???4)(??+2)=0，解得：
??
1
=4，
??
2
=?2；(4)方程整理得：
??
2
????6=0，这里??=1，??=?1，??=?6，∵△=1+24=25，∴??=
1±5
2
，解得：
??
1
=3，
??
2
=?2．??
12. 解：(1)(???3)(??+1)=0，???3=0或??+1=0，所以
??
1
=3，
??
2
=?1；(2)(??+3
)
2
?2(??+3)=0，(??+3)(??+3?2)=0，??+3=0或??+3?2=0，所以
??
1
=?3，
??
2
=?1．??
13. 解：(???1)(???9)=0，???1=0，???9=0，解得：
??
1
=1或
??
2
=9．??
14. 解：由原方程，得3(???3)(???1)=0，所以，???3=0或???1=0，解得，
??
1
=3，
??
2
=1．??
15. 解：(1)原方程整理得：2
??
2
?5???3=0，∵(???3)(2??+1)=0，∴???3=0或2??+1=0，解得：??=3或??=?0.5； (2)∵(??+3
)
2
=(1?3??
)
2
，∴??+3=1?3??或??+3=?1+3??，解得：??=?0.5或??=2．??
【解析】
1. 【分析】本题考查了解一元二次方程?因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．【解答】解：??(???2)=0，??=0或???2=0，所以
??
1
=0，
??
2
=2．故选B．
2. 解：，∴(???2)(??+1)=0，∴???2=0或??+1=0，∴
??
1
=2，
??
2
=?1．故选D．先移项得到，然后利用提公因式因式分解，最后转化为两个一元一次方程，解方程即可．本题考查了运用因式分解法解一元二次方程的方法：利用因式分解把一个一元二次方程化为两个一元一次方程．
3. 解：∵(???3)(???5)=0，∴???3=0或???5=0，解得
??
1
=3，
??
2
=5．故选D．由(???3)(???5)=0得，两个一元一次方程，从而得出x的值．本题考查了一元二次方程的解法.解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
4. 解：方程
??
2
+2016??=0可变形为??(??+2016)=0，则方程可化为??=0或??+2016=0，所以方程
??
2
+2016??=0的最佳方案是因式分解法．故选D．根据方程的特点可判断利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程?因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想).也考查了配方法和公式法解一元二次方程．
5. 解：
??
2
+2???3=0，(??+3)(???1)=0，??+3=0，???1=0，
??
1
=?3，
??
2
=1，故选D．先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程．
6. 解：∵
??
2
?10??+21=0，∴(???3)(???7)=0，∴
??
1
=3，
??
2
=7，当等腰三角形的边长是3、3、7时，3+3<7，不符合三角形的三边关系，应舍去；当等腰三角形的边长是7、7、3时，这个三角形的周长是7+7+3=17．故选C．先解方程
??
2
?10??+21=0求出x的值，即求出等腰三角形的边长，然后再求三角形的周长就容易了，注意要分两种情况讨论，以防漏解．本题考查了因式分解法解一元二次方程以及等腰三角形的性质，解题的关键是求出方程的两根，此题注意分类思想的运用．
7. 【分析】
本题考查了解一元二次方程?因式分解法，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】
解：
??
2
=2??，
??
2
?2??=0，??(???2)=0，??=0，或???2=0，
??
1
=0,
??
2
=2．故答案为
??
1
=0,
??
2
=2．
8. 解：(???2)(??+1)?(??+1)=0，(??+1)(???2?1)=0，??+1=0或???2?1=0，所以
??
1
=?1，
??
2
=3．故答案为
??
1
=?1，
??
2
=3．先移项得到(???2)(??+1)?(??+1)=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程?因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
9. 解：根据题意，得：2
??
2
+2=
??
2
?2??+2，整理，得：
??
2
+2??=0，即??(??+2)=0，则??=0或??+2=0，解得：??=0或??=?2，故答案为：或0或?2．根据题意列出关于x的方程，因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
10. 解：根据题意得(???3)(2??+1)=0，???3=0或2??+1=0，所以
??
1
=3，
??
2
=?
1
2
．故答案为3或?
1
2
．先得到方程(???3)(2??+1)=0，然后利用因式分解法解方程即可．本题考查了解一元二次方程?因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
11. 此题考查了解一元二次方程?因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．(1)方程整理后，利用直接开平方法求出解即可；(2)方程整理后，利用配方法求出解即可；(3)方程整理后，利用因式分解法求出解即可；(4)方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．
12. (1)利用因式分解法解方程；(2)先移项得到(??+3
)
2
?2(??+3)=0，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程?因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
13. 首先利用十字相乘法分解等号左边的因式，可得：(???1)(???9)=0，进而可得???1=0，???9=0，再解即可．此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是掌握因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．
14. 利用“提取公因式(???3)”对等式的左边进行因式分解，然后解方程．本题考查了解一元二次方程--因式分解法.因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了(数学转化思想)．
15. (1)整理成一般式后利用因式分解法求解可得；(2)直接开平方法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
《配方法》基础练习
（第1课时）
选择题
1． 一元二次方程4 x2= 5的解是（ ）
A．x = / B. x = ±/ C. x = / D. x = ±/
2．方程100x2－1＝0的解为( )
A．x1＝，x2＝－ B．x1＝10，x2＝－10
C．x1＝x2＝ D．x1＝x2＝－
3．方程2x2＋8＝0的根为( )
A．2 B．－2 C．±2 D．没有实数根
4．一元二次方程(x＋6)2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是( )
A．x－6＝4 B．x－6＝－4 C．x＋6＝4 D．x＋6＝－4
5.已知b＜0，关于x的一元二次方程(x－1)2＝b的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．有两个实数根
填空题
6.关于x的一元二次方程x2＋a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是________．
7．若代数式2x2+5的值与8+ x2的值相等，则x的值是_________ .
8．若: 4 x2= 9 ,则x =_________ .
9.若：（x – 2）2= 5, 则x = ________ .
10．对于方程x2＝p.(1)当p>0时，方程有__________的实数根，x1＝________，x2＝________；(2)当p＝0时，方程有________的实数根，x1＝x2＝________；
(3)当p<0时，方程__________．
三、解答题
11．/用直接开平方法解一元二次方程4（2x-1）2 = 25.
12．完成下面的解题过程：
解方程：2x2－8＝0；
解：原方程化成________．
开平方，得________．
则x1＝________，x2＝________；
完成下面的解题过程：
解方程：3(x－1)2－6＝0.
解：原方程化成____________．
开平方，得____________．
则x1＝__________，x2＝__________．
14.用直接开平方法解下列方程：
(1)x2－25＝0; (2)4x2＝1；
(3)3(x＋1)2＝； (4)(3x＋2)2＝25.
15.用直接开平方法解下列方程：
(1)(2x－3)2－＝0； (2)4(x－2)2－36＝0；
《配方法》基础练习
（第2课时）
一、选择题
用配方法解方程
??
2
+2???1=0时，配方结果正确的是(　　)
A. (??+2
)
2
=2 B. (??+1
)
2
=2 C. (??+2
)
2
=3 D. (??+1
)
2
=3
若
??
2
+????+9=(???3
)
2
，则a的值为(　　)
A. 3 B. ±3 C. ?6 D. ±6
用配方法解关于x的一元二次方程
??
2
?2???5=0，配方正确的是
A. (???1)2=4 B. (??+1)2=4 C. (??+1)2=6 D. (???1)2=6
用配方法解下列方程，其中应在两边都加上16的是(　　)
A.
??
2
?4??+2=0 B. 2
??
2
?8??+3=0 C.
??
2
?8??=2 D.
??
2
+4??=2
用配方法解关于x的方程
??
2
+????=??时，应在方程两边同时加上(　　)
A.
??
2
B.
??
2
C. (
??
2
)
2
D. (
??
2
)
2
一元二次方程
??
2
?2???1=0的解是(　　)
A.
??
1
=
??
2
=1 B.
??
1
=1+
2
，
??
2
=?1?
2
C.
??
1
=1+
2
，
??
2
=1?
2
D.
??
1
=?1+
2
，
??
2
=?1?
2
用配方法将二次三项式
??
2
?4??+5变形，结果是(　　)
A. (???2
)
2
+1 B. (??+2
)
2
?1 C. (??+2
)
2
+1 D. (???2
)
2
?1
二、填空题
用配方法将方程
??
2
+6???7=0化为(??+??
)
2
=??的形式为______ ．
若
??
2
?4??+3=(???2
)
2
+??，则??=______．
当??= ______ 时，多项式
??
2
+4??+6取得最小值．
三、计算题
用配方法解方程：2
??
2
+2???1=0．
解方程：
??
2
?6=?2(??+1)
解方程：??(???4)=1．
四、解答题
解方程：
??
2
?10??+8=0．
用适当方法解下列方程：(1)
1
4
(??+1
)
2
=25；(2)
??
2
+2???1=0．
《配方法》基础练习
（第1课时）答案
D
2．A
3．D
4．D
5.C
6. a＞0.
7.
8.
9.
10. （1）两个不相等，，；（2）两个相等，0；（3）无实数根.
11． 解：直接开平方得2（2x-1）= ±5 ，即2（2x-1）=5，或2（2x-1）= -5.∴x1= /，x2= - /.
12．x2=4，x=±2,2，-2
13．（x-1）2=2，x-1=,,
14.（1）x1=5，x2=-5；（2）x=±；（3）x1=，x2=；（4）x1=1，x2=
15． （1）x1=，x2=；（2）x1=-1，x2=5
《配方法》基础练习
（第2课时）答案和解析
【答案】
1. B 2. C 3. D 4. C 5. C 6. C 7. A
8. (???3
)
2
=17??
9. ?1??
10. ?2??
11. 解：方程变形得：
??
2
+??=
1
2
，配方得：
??
2
+??+
1
4
=
3
4
，即(??+
1
2
)
2
=
3
4
，开方得：??+
1
2
=±
3
2
，解得：
??
1
=?
1
2
+
3
2
，
??
2
=?
1
2
?
3
2
．??
12. 解：方程整理得：
??
2
+2??=4，配方得：
??
2
+2??+1=5，即(??+1
)
2
=5，开方得：??+1=±
5
，解得：
??
1
=?1+
5
，
??
2
=?1?
5
．??
13. 解：
??
2
?4??=1，?
??
2
?4??+4=5，(????2
)
2
=5，???2=±
5
，所以
??
1
=2+
5
，
??
2
=2?
5
．??
14. 解：由原方程，得
??
2
?10??=?8，配方，得
??
2
?10??+25=?8+25，整理，得(???5
)
2
=17，解得
??
1
=5+
17
，
??
2
=5?
17
．??
15. 解：(1)∵(??+1
)
2
=100，∴??+1=10或??+1=?10，解得：??=9或??=?11； (2)∵
??
2
+2??=1，∴
??
2
+2??+1=1+1，即(??+1
)
2
=2，则??+1=±
2
，∴??=?1±
2
??
【解析】
1. 解：∵
??
2
+2???1=0，∴
??
2
+2???1=0，∴(??+1
)
2
=2．故选：B．把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可．此题主要考查了配方法在解一元二次方程中的应用，要熟练掌握．
2. 解：∵
??
2
+????+9=(???3
)
2
，而(???3
)
2
=
??
2
?6??+9；即
??
2
+????+9=
??
2
?6??+9，∴??=?6．故选C．根据题意可知：将(???3
)
2
展开，再根据对应项系数相等求解．本题主要考查完全平方公式的应用，利用对应项系数相等求解是解题的关键．
3. 【分析】
本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方，先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案.?
【解答】
解：移项得：
??
2
?2??=5，配方得：
??
2
?2??+
1
2
=5+
1
2
，?
???1
2
=6，故选D．
4. 解：A、∵
??
2
?4??+2=0 ∴
??
2
?4??=?2 ∴
??
2
?4??+4=?2+4 B、∵2
??
2
?8??+3=0 ∴2
??
2
?8??=?3 ∴
??
2
?4??=?
3
2
∴
??
2
?4??+4=?
3
2
+4 C、∵
??
2
?8??=2 ∴
??
2
?8??+16=2+16 D、∵
??
2
+4??=2 ∴
??
2
+4??+4=2+4 故选C．首先进行移项，二次项系数化为1，再在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形为左边是完全平方式，右边是常数的形式．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5. 解：∵
??
2
+????=??，∴
??
2
+????+(
??
2
)
2
=??+(
??
2
)
2
，即(??+
??
2
)
2
=??+(
??
2
)
2
，∴配方法解关于x的方程
??
2
+????=??时，应在方程两边同时加上(
??
2
)
2
．故选C．等式两边同时加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式进行配方．此题考查配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
6. 解：方程
??
2
?2???1=0，变形得：
??
2
?2??=1，配方得：
??
2
?2??+1=2，即(???1
)
2
=2，开方得：???1=±
2
，解得：
??
1
=1+
2
，
??
2
=1?
2
．故选：C．方程变形后，配方得到结果，开方即可求出值．此题考查了解一元二次方程?配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7. 解：∵
??
2
?4??+5=
??
2
?4??+4?4+5，∴
??
2
?4??+5=(???2
)
2
+1．故选A．此题考查了配方法，解题时要注意常数项的确定方法，若二次项系数为1，则二次项与一次项再加上一次项系数的一半的平方即构成完全平方式，若二次项系数不为1，则可提取二次项系数，将其化为1．此题考查了学生学以致用的能力，解题时要注意常数项的求解方法，在变形的过程中注意检查不要改变式子的值．
8. 解：移项，得
??
2
?6??=?7，在方程两边加上一次项系数一半的平方得，
??
2
?6??+9=?7+9，(???3
)
2
=2．故答案为：(???3
)
2
=2．先将常数项移到等号的右边为：
??
2
?6??=?7，再配方得(???3
)
2
=2，故可以得出结果．本题考查解一元二次方程的配方法的适用，涉及了完全平方公式的运用．
9. 解：∵
??
2
?4??+3=(???2
)
2
?1，∴(???2
)
2
+??=(???2
)
2
?1，∴??=?1．故答案为?1．利用配方法将
??
2
?4??+3变形为(???2
)
2
?1，即可求出m的值．本题考查了配方法的应用，配方法的理论依据是公式
??
2
±2????+
??
2
=(??±??
)
2
.配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方．
10. 解：设
??
2
+4??+6=(??+2
)
2
+2；∴当??=?2时，多项式
??
2
+4??+6取得最小值2；故答案为：?2．将
??
2
+4??+6利用配方法转化为(??+2
)
2
+2，然后根据(??+2
)
2
≥0可得多项式
??
2
+4??+6的最小值．本题考查了配方法的应用.解答该题时，利用了配方法求多项式或二次函数的最值是常用方法．
11. 方程整理后，利用完全平方公式变形，开方即可求出解．此题考查了解一元二次方程?配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12. 方程变形后，配方为完全平方式，开方即可求出解．此题考查了解一元二次方程?配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
13. 先把方程化为
??
2
?4??=1，再利用配方法得到(????2
)
2
=5，然后利用直接开平方法解方程．本题考查了解一元二次方程?配方法：将一元二次方程配成(??+??
)
2
=??的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
14. 把常数项8移项后，在左右两边同时加上一次项系数?10的一半的平方．此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用.选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
15. (1)利用直接开平方法求解可得；(2)配方法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
《一元二次方程的根与系数的关系》提高练习
一、选择题
若??、??为方程2
??
2
?5???1=0的两个实数根，则2
??
2
+3????+5??的值为(　　)
A. ?13 B. 12 C. 14 D. 15
若a，b是方程
??
2
+2???2016=0的两根，则
??
2
+3??+??=(　　)
A. 2016 B. 2015 C. 2014 D. 2012
已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2
??
2
?8??+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是(　　)
A.
3
B. 3 C. 6 D. 9
两个不等的实数a、b满足
??
2
+???1=0，
??
2
+???1=0，则ab的值为(　　)
A. 1 B. ?1 C.
?1±
5
2
D.
2
二、填空题
一元二次方程的两个根是2+
6
，2?
6
.那么这个一元二次方程为______ ．
若
??
1
，
??
2
是一元二次方程
??
2
+3???5=0的两个根，则
??
1
2
??
2
+
??
1
??
2
2
的值是______ ．
甲乙同时解方程
??
2
+????+??=0，甲抄错了一次项系数，得两根为2﹑7，乙抄错了常数项，得两根为3﹑?10.则??=______，??=______．
三、计算题
关于x的一元二次方程
??
2
?????+2???1=0的两个实数根分别是
??
1
、
??
2
，且
??
1
2
+
??
2
2
=7.求(
??
1
?
??
2
)
2
的值．
已知
??
1
，
??
2
是方程2
??
2
?6??+3=0的两根，求下列各式的值：(1)
??
1
+
??
2
(2)
??
1
?
??
2
(3)
??
1
2
+
??
2
2
．
已知关于x的方程(
??
2
?1)
??
2
?3(3???1)??+18=0有两个正整数根(??是正整数).△??????的三边a、b、c满足??=2
3
，
??
2
+
??
2
???8??=0，
??
2
+
??
2
???8??=0．求：(1)??的值；(2)△??????的面积．
答案和解析
【答案】
1. B 2. C 3. B 4. B
5.
??
2
?4???2=0??
6. 15??
7. 7? 14??
8. 解：∵
??
1
+
??
2
=??，
??
1
??
2
=2???1，∴
??
1
2
+
??
2
2
=(
??
1
+
??
2
)
2
?2
??
1
??
2
=
??
2
?2(2???1)=7；解可得??=?1或5；当??=5时，原方程即为
??
2
?5??+9=0的△=?11<0无实根，当??=?1时，原方程即为
??
2
+???3=0的△=1+12=13>0，有两根，则有(
??
1
?
??
2
)
2
=(
??
1
+
??
2
)
2
?4
??
1
??
2
=13．答：(
??
1
?
??
2
)
2
的值为13．??
9. 解：(1)
??
1
+
??
2
=?
?6
2
=3；(2)
??
1
?
??
2
=
3
2
；(3)
??
1
2
+
??
2
2
=(
??
1
+
??
2
)
2
?2
??
1
??
2
=
3
2
?2×
3
2
=6．??
10. 解：(1)∵关于x的方程(
??
2
?1)
??
2
?3(3???1)??+18=0有两个正整数根(??是整数)．∵??=
??
2
?1，??=?9??+3，??=18，∴
??
2
?4????=(9???3
)
2
?72(
??
2
?1)=9(???3
)
2
≥0，设
??
1
，
??
2
是此方程的两个根，∴
??
1
?
??
2
=
??
??
=
18
??
2
?1
，∴
18
??
2
?1
也是正整数，即
??
2
?1=1或2或3或6或9或18，又m为正整数，∴??=2； (2)把??=2代入两等式，化简得
??
2
?4??+2=0，
??
2
?4??+2=0 当??=??时，??=??=2±
2
当??≠??时，a、b是方程
??
2
?4??+2=0的两根，而△>0，由韦达定理得??+??=4>0，????=2>0，则??>0、??>0．①??≠??，??=2
3
时，由于
??
2
+
??
2
=(??+??
)
2
?2????=16?4=12=
??
2
故△??????为直角三角形，且∠??=
90
°
，
??
△??????
=
1
2
????=1．②??=??=2?
2
，??=2
3
时，因2(2?
2
)<2
3
，故不能构成三角形，不合题意，舍去．③??=??=2+
2
，??=2
3
时，因2(2+
2
)>2
3
，故能构成三角形．
??
△??????
=
1
2
×(2
3
)×
3+4
2
=
9+12
2
综上，△??????的面积为1或
9+12
2
．??
【解析】
1. 解：∵??为2
??
2
?5???1=0的实数根，∴2
??
2
?5???1=0，即2
??
2
=5??+1，∴2
??
2
+3????+5??=5??+1+3????+5??=5(??+??)+3????+1，∵??、??为方程2
??
2
?5???1=0的两个实数根，∴??+??=
5
2
，????=?
1
2
，∴2
??
2
+3????+5??=5×
5
2
+3×(?
1
2
)+1=12．故选：B．根据一元二次方程解的定义得到2
??
2
?5???1=0，即2
??
2
=5??+1，则2
??
2
+3????+5??可表示为5(??+??)+3????+1，再根据根与系数的关系得到??+??=
5
2
，????=?
1
2
，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若
??
1
，
??
2
是一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)的两根时，
??
1
+
??
2
=?
??
??
，
??
1
??
2
=
??
??
.也考查了一元二次方程解的定义．
2. 解：∵??是方程
??
2
+2???2016=0的实数根，∴
??
2
+2???2016=0，∴
??
2
=?2??+2016，∴
??
2
+3??+??=?2??+2016+3??+??=??+??+2016，∵??、b是方程
??
2
+2???2016=0的两个实数根，∴??+??=?2，∴
??
2
+3??+??=?2+2016=2014．故选：C．先根据一元二次方程的解的定义得到
??
2
+2???2016=0，即
??
2
=?2??+2016，则
??
2
+3??+??可化简为??+??+2016，再根据根与系数的关系得??+??=?2，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若
??
1
，
??
2
是一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)的两根时，
??
1
+
??
2
=?
??
??
，
??
1
·
??
2
=
??
??
.也考查了一元二次方程的解．
3. 解：设直角三角形的斜边为c，两直角边分别为a与b．∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程2
??
2
?8??+7=0的两个根，∴??+??=4，????=3.5；根据勾股定理可得：
??
2
=
??
2
+
??
2
=(??+??
)
2
?2????=16?7=9，∴??=3，故选B．根据根与系数的关系，求出两根之积与两根之和的值，再根据勾股定理列出直角三角形三边之间的关系式，然后将此式化简为两根之积与两根之和的形式，最后代入两根之积与两根之和的值进行计算．此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
4. 解：∵两个不等的实数a、b满足
??
2
+???1=0，
??
2
+???1=0，∴??、b可看做方程
??
2
+???1=0的两个不相等的实数根，∴????=?1，故选：B．由两个不等的实数a、b满足
??
2
+???1=0，
??
2
+???1=0知a、b可看做方程
??
2
+???1=0的两个不相等的实数根，由韦达定理可得答案．本题主要考查根与系数的关系，根据题意得出a、b可看做方程
??
2
+???1=0的两个不相等的实数根是解题的关键．
5. 解：∵2+
6
+2?
6
=4，(2+
6
)(2?
6
)=4?6=?2，∴以2+
6
，2?
6
为根的一元二次方程可为：
??
2
?4???2=0．故答案为
??
2
?4???2=0．先根据2+
6
和2?
6
的和与积，然后根据根与系数的关系求解．本题考查了根与系数的关系：若
??
1
，
??
2
是一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)的两根时，
??
1
+
??
2
=?
??
??
，
??
1
??
2
=
??
??
．
6. 解：∵
??
1
，
??
2
是一元二次方程
??
2
+3???5=0的两个根，∴
??
1
+
??
2
=?3，
??
1
??
2
=?5，∴
??
1
2
??
2
+
??
1
??
2
2
=
??
1
??
2
(
??
1
+
??
2
)=?5×(?3)=15，故答案为：15．由根与系数的关系可求得(
??
1
+
??
2
)与
??
1
??
2
的值，代入计算即可．本题主要考查根与系数的关系，由根与系数的关系求得(
??
1
+
??
2
)与
??
1
??
2
的值是解题的关键．
7. 【分析】本题考查了根与系数的关系：若
??
1
，
??
2
是一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)的两根时，
??
1
+
??
2
=?
??
??
，
??
1
??
2
=
??
??
．根据根与系数的关系得到2×7=??，3+(?10)=???，然后解两个方程即可得到p和q的值．【解答】解：根据题意得2×7=??，3+(?10)=???，所以??=7，??=14．故答案为7，14．
8. 根据一元二次方程根与系数的关系，可得
??
1
+
??
2
=??，
??
1
??
2
=2???1，根据
??
1
2
+
??
2
2
=(
??
1
+
??
2
)
2
?2
??
1
??
2
代入可得关于m的方程，求得m的值.再根据(
??
1
?
??
2
)
2
=(
??
1
+
??
2
)
2
?4
??
1
??
2
代入m的值，计算可得答案．主要考查了根的判别式和根与系数的关系.要掌握根与系数的关系式：
??
1
+
??
2
=?
??
??
，
??
1
??
2
=
??
??
.把所求的代数式变形成
??
1
+
??
2
，
??
1
??
2
的形式再整体代入是常用的方法之一．
9. (1)、(2)直接根据根与系数的关系求解；(3)先利用完全平方公式变形得到
??
1
2
+
??
2
2
=(
??
1
+
??
2
)
2
?2
??
1
??
2
，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若
??
1
，
??
2
是一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)的两根时，
??
1
+
??
2
=?
??
??
，
??
1
??
2
=
??
??
．
10. (1)本题可先求出方程(
??
2
?1)
??
2
?3(3???1)??+18=0的两个根，然后根据这两个根都是正整数求出m的值．(2)由(1)得出的m的值，然后将
??
2
+
??
2
???8??=0，
??
2
+
??
2
???8??=0.进行化简，得出a，b的值.然后再根据三角形三边的关系来确定符合条件的a，b的值，进而得出三角形的面积．本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及勾股定理等知识点，本题中分类对a，b的值进行讨论，并通过计算得出三角形的形状是解题的关键．
《公式法》提高练习
一、选择题
下列说法正确的是(　　)
A. 一元二次方程的一般形式是??
??
2
+????+??=0B. 方程
??
2
=??的解是??=1C. 一元二次方程的一般形式是??
??
2
+????+??=0?的根是??=
???±
??
2
?4????
2??
D. 方程??(??+2)(???3)=0的实数根有三个
用公式解方程?3
??
2
+5???1=0，正确的是(　　)
A. ??=
?5±
13
6
B. ??=
?5±
13
3
C. ??=
5±
13
6
D. ??=
5±
13
3
若关于x的一元二次方程(??+1)
??
2
+2(??+1)??+???2=0有实数根，则k的取值范围在数轴上表示正确的是(　　)
A. B. C. D.
关于x的一元二次方程(???1)
??
2
?2??+3=0没有实数根，则整数a的最小值是(　　)
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
利用求根公式求5
??
2
+
1
2
=6??的根时，a，b，c的值分别是(　　)
A. 5，
1
2
，6 B. 5，6，
1
2
C. 5，?6，
1
2
D. 5，?6，?
1
2
二、计算题
解方程：2
??
2
+3???1=0．
对于解一元二次方程：
??
2
?2??=???2．A同学说，可以先将方程化为
??
2
?3??=?2.利用配方法去求解；B同学说，可以直接套用求根公式．请你用以上两种方法中的一种或者是你认为更简便的其他方法解这个方程．
三、解答题
已知关于x的一元二次方程?(??+1)
??
2
+2????+???3=0?有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)当m取满足条件的最小奇数时，求方程的根．
已知关于x的一元二次方程
??
2
?2??+???1=0有两个实数根
??
1
，
??
2
．(1)求m的取值范围；(2)当
??
1
2
+
??
2
2
=6
??
1
??
2
时，求m的值．
关于x的一元二次方程
??
2
?(??+3)??+2??+2=0．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
答案和解析
【答案】
1. D 2. C 3. A 4. C 5. C
6. 解：这里??=2，??=3，??=?1，∵△=9+8=17，∴??=
?3±
17
4
．??
7. 解：A与B同学的方法都不简便，我采用因式分解法更简便，方程整理得：??(???2)=???2，即??(???2)?(???2)=0，分解因式得：(???2)(???1)=0，解得：
??
1
=2，
??
2
=1．??
8. 解：(1)∵关于x的一元二次方程(??+1)
??
2
+2????+???3=0?有两个不相等的实数根，∴??+1≠0且△>0．∵△=(2??
)
2
?4(??+1)(???3)=4(2??+3)，∴2??+3>0．解得???>?
3
2
.??∴??的取值范围是???>?
3
2
且??≠?1． (2)在??>?
3
2
且??≠?1的范围内，最小奇数m为1．此时，方程化为
??
2
+???1=0．∵△=
??
2
?4????=
1
2
?4×1×(?1)=5，∴??=
?1±
5
2×1
=
?1±
5
2
．∴方程的根为?
??
1
=
?1+
5
2
，
??
2
=
?1?
5
2
．??
9. 解：(1)∵原方程有两个实数根，∴△=(?2
)
2
?4(???1)≥0，整理得：4?4??+4≥0，解得：??≤2；(2)∵
??
1
+
??
2
=2，
??
1
?
??
2
=???1，
??
1
2
+
??
2
2
=6
??
1
??
2
，∴(
??
1
+
??
2
)
2
?2
??
1
?
??
2
=6
??
1
?
??
2
，即4=8(???1)，解得：??=
3
2
．∵??=
3
2
<2，∴符合条件的m的值为
3
2
．??
10. (1)证明：∵在方程
??
2
?(??+3)??+2??+2=0中，△=[?(??+3)
]
2
?4×1×(2??+2)=
??
2
?2??+1=(???1
)
2
≥0，∴方程总有两个实数根．(2)解：∵
??
2
?(??+3)??+2??+2=(???2)(??????1)=0，∴
??
1
=2，
??
2
=??+1．∵方程有一根小于1，∴??+1<1，解得：??<0，∴??的取值范围为??<0．??
【解析】
1. 解：A、当??
??
2
+????+??=0中的??=0时，该方程不是一元二次方程.故本选项错误；B、方程
??
2
=??的解是??=1或??=0.故本选项错误；C、一元二次方程的一般形式是??
??
2
+????+??=0，且??≠0.故本选项错误；D、方程??(??+2)(???3)=0的实数根是??=0或??=?2或??=3，共3个.故本选项正确；故选：D．根据一元二次方程的定义，因式分解法解方程，求根公式进行判断．本题考查了解一元二次方程的方法，一元二次方程的一般形式．一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式??
??
2
+????+??=0(??≠0).这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中??
??
2
叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项.一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当??=0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
2. 解：?3
??
2
+5???1=0，
??
2
?4????=
5
2
?4×(?3)×(?1)=13，??=
?5±
13
2×(?3)
=
5±
13
6
，故选C．求出
??
2
?4????的值，再代入公式求出即可．本题考查了解一元二次方程的应用，能正确利用公式解一元二次方程是解此题的关键．
3. 解：∵关于x的一元二次方程(??+1)
??
2
+2(??+1)??+???2=0有实数根，∴
△=[2(??+1)
]
2
?4(??+1)(???2)≥0
??+1≠0
，解得：??>?1．故选：A．根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围，将其表示在数轴上即可得出结论．本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及在数轴上表示不等式的解集，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．
4. 解：∵关于x的一元二次方程(???1)
??
2
?2??+3=0没有实数根，∴???1≠0且△<0，∴??≠1且△=4?4×3×(???1)<0，∴??>
4
3
且??≠1，∴整数a的最小值是2．故选：C．要使方程没有实根，只需二次项系数不等于0且根的判别式小于0，由此可求出a的范围，就可解决问题．本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的构成条件、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程??
??
2
+????+??=0(??≠0)，则有
??
2
?4????≥0?方程有两实根，
??
2
?4????>0?方程有两不等实根，
??
2
?4????=0?方程有两相等实根，
??
2
?4????<0?方程没有实根，需要注意的是运用根的判别式，首先要保证二次项系数不等于0．
5. 解：由原方程，得5
??
2
?6??+
1
2
=0，根据一元二次方程的定义，知二次项系数??=5，一次项系数??=?6，常数项??=
1
2
；故选C．根据一元二次方程的定义来解答：二次项系数是a、一次项系数是b、常数项是c．本题是一道易错题，学生在作答时往往把一次项系数?6误认为6，所以，在解答时要注意这一点．
6. 找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出解．此题考查了解一元二次方程?公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．
7. 两名同学的方法都不简便，采用因式分解法更简便．此题考查了解一元二次方程?因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
8. (1)一元二次方程有两不等实数根，则根的判别式△=
??
2
?4????>0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围.还要注意二次项系数不为0；(2)在m的范围内，找到最小奇数，然后把m的值代入一元二次方程?(??+1)
??
2
+2????+???3=0中，再解出方程的解即可．此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系，以及一元二次方程的解法，关键是掌握(1)△>0?方程有两个不相等的实数根；(2)△=0?方程有两个相等的实数根；(3)△<0?方程没有实数根．
9. (1)根据一元二次方程
??
2
?2??+???1=0有两个实数根，可得△≥0，据此求出m的取值范围；(2)根据根与系数的关系求出
??
1
+
??
2
，
??
1
?
??
2
的值，代入
??
1
2
+
??
2
2
=6
??
1
??
2
求解即可．本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答本题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式．
10. (1)根据方程的系数结合根的判别式，可得△=(???1
)
2
≥0，由此可证出方程总有两个实数根；(2)利用分解因式法解一元二次方程，可得出
??
1
=2、
??
2
=??+1，根据方程有一根小于1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：(1)牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；(2)利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于1，找出关于k的一元一次不等式．
《配方法》提高练习
（第1课时）
一、填空题
1．已知方程x2-x-m=0有整数根，则整数m=________．（填上一个你认为正确的答案）
2．已知是关于的方程的一个解，则的值是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题
3.若关于x的方程（k2-4）x2+/x+5=0是一元二次方程，求k的取值范围．
4．若α是方程x2-5x+1=0的一个根，求α2+/的值．
如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为/，求道路的宽．（部分参考数据：/，/，/）
/
《配方法》提高练习
（第2课时）
一、选择题
对式子2
??
2
?4???1进行配方变形，正确的是(　　)
A. 2(??+1
)
2
?3 B. (???1
)
2
?
3
2
C. 2(???1
)
2
?1 D. 2(???1
)
2
?3
已知x为任意有理数，则多项式?
1
4
??
2
+???1的值一定是(　　)
A. 正数 B. 负数 C. 非正数 D. 非负数
若??=2
??
2
?12??+15，??=
??
2
?8??+11，则M与N的大小关系为(　　)
A. ??≥?? B. ??>?? C. ??≤?? D. ??二、解答题
阅读材料：把形如??
??
2
+????+??的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即
??
2
±2????+
??
2
=(??±??
)
2
，例如二次三项式
??
2
?2??+9的配方过程如下：
??
2
?2??+9=
??
2
?2??+1?1+9=(???1
)
2
+8．请根据阅读材料解决下列问题：(1)比照上面的例子，将下面的两个二次三项式分别配方：①
??
2
?4??+1=______；②3
??
2
+6???9=3(
??
2
+2??)?9=______；(2)已知
??
2
+
??
2
?6??+10??+34=0，求3???2??的值；(3)已知
??
2
+
??
2
+
??
2
+?????3??+2??+4=0，求??+??+??的值．
(1)将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法.这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一．例如，求
??
2
+4??+5的最小值．解：原式=
??
2
+4??+4+1=(??+2
)
2
+1 ∵(??+2
)
2
≥0 ∴(??+2
)
2
+1≥1 ∴当??=?2时，原式取得最小值是1 请求出
??
2
+6???4的最小值．(2)非负性的含义是指大于或等于零.在现初中阶段，我们主要学习了绝对值的非负性与平方的非负性，几个非负算式的和等于0，只能是这几个式子的值均为0．请根据非负算式的性质解答下题：已知△??????的三边a，b，c满足
??
2
?6??+
??
2
?8??+25+|???5|=0，求△??????的周长．(3)已知△??????的三边a，b，c满足
??
2
+
??
2
+
??
2
=????+????+????.试判断△??????的形状．
《配方法》提高练习
（第1课时）解析和答案
一、
1．【答案】0.（此题答案不唯一）
解：解：当m=0时，原方程为x2-x=0，有0和1两个整数根，符合题意.
故答案为0.（此题答案不唯一）
【答案】C
解：把x=2代入方程得，
∴a=3.
∴2a-1=2×3-1=5.
故选C.
二、
3．．解：依题意/，解得x≥1且k≠2．
点拨：根据题意，二次项系数（k2-4）应不为零，且题中的二次根式中被开方数应为非负数，综合考虑以上两个条件即可解决问题，由k2-4≠0可知k≠±2．但-2已被k≥1排除在外．
4．解：依题意，α2-5α+1=0，则α≠0．方程两边同时除以α，得α-5+/=0，
所以α+/=5，两边同时平方，得（α+/）2=25，α2+/+2=25，所以α2+/=23．
点拨：依据方程的根的定义，可以得到关于a的等式．
5．解法（1）：由题意转化为右图，设道路宽为/m.
根据题意，
可列出方程为/
整理得/
解得/（舍去），/
答：道路宽为/m
解法（2）：由题意转化为右图，设道路宽为/m，根据题意列方程得：
/
整理得：/
解得：/，/（舍去）
答：道路宽应是/m

《配方法》提高练习
（第2课时）解析和答案
【答案】
1. D 2. C 3. A
4. (???2
)
2
?3；3(??+1
)
2
?12??
5. 解：(1)
??
2
+6???4 =
??
2
+6??+9?9?4 =(??+3
)
2
?13，∵(??+3
)
2
≥0 ∴(??+3
)
2
?13≥?13 ∴当??=?3时，原式取得最小值是?13．(2)∵
??
2
?6??+
??
2
?8??+25+|???5|=0，∴(???3
)
2
+(???4
)
2
+|???5|=0，∴???3=0，???4=0，???5=0，∴??=3，??=4.??=5，∴△??????的周长=3+4+5=12．(3)△??????为等边三角形.理由如下：∵
??
2
+
??
2
+
??
2
=????+????+????，∴
??
2
+
??
2
+
??
2
???????????????=0，∴2
??
2
+2
??
2
+2
??
2
?2?????2?????2????=0，即
??
2
+
??
2
?2????+
??
2
+
??
2
?2????+
??
2
+
??
2
?2????=0，∴(?????
)
2
+(?????
)
2
+(?????
)
2
=0，∴?????=0，?????=0，?????=0，∴??=??=??，∴△??????为等边三角形．??
【解析】
1. 解：2
??
2
?4???1，=2(
??
2
?2??+1)?3，=2(???1
)
2
?3．故选：D．利用完全平方公式进行变形即可．本题考查了配方法的应用.配方法的理论依据是公式
??
2
±2????+
??
2
=(??±??
)
2
．
2. 解：?1+???
1
4
??
2
=?(
1
2
???1
)
2
．∵(
1
2
???1
)
2
≥0，∴?(
1
2
???1
)
2
≤0，即?1+???
1
4
??
2
≤0，故选C．把多项式变形为?(
1
2
???1
)
2
后，再根据平方数非负数，所以原多项式小于等于0，即不可能为正数．本题考查了配方法的应用，利用完全平方公式变形就可以很直观明了地得到答案．
3. 解：?????=(2
??
2
?12??+15)?(
??
2
?8??+11)，=
??
2
?4??+4，=(???2
)
2
．∵(???2
)
2
≥0，∴??≥??．故选：A．利用求差法判定两式的大小，将M与N代入?????中，去括号合并得到最简结果，根据结果的正负即可做出判断．本题考查了配方法的应用和非负数的性质.解题时要注意配方法的步骤.注意在变形的过程中不要改变式子的值．
4. 解：(1)①
??
2
?4??+1=(???2
)
2
?3；②3
??
2
+6???9=3(
??
2
+2??)?9=3(??+1
)
2
?12；故答案为：(???2
)
2
?3，3(??+1
)
2
?12；(2)∵
??
2
+
??
2
?6??+10??+34=0，∴
??
2
?6??+9+
??
2
+10??+25=0，∴(???3
)
2
+(??+5
)
2
=0，∴??=3，??=?5，∴3???2??=3×3?2×(?5)=19；(3)
??
2
+
??
2
+
??
2
+?????3??+2??+4=0 ∴
??
2
+????+
1
4
??
2
+
3
4
??
2
?3??+3+
??
2
+2??+1=0，∴(??+
1
2
??
)
2
+
3
4
(???2
)
2
+(??+1
)
2
=0，∴??=?
1
2
??，??=2，??=?1，∴??=?1，∴??+??+??=?1+2+(?1)=0．(1)由题中所给的已知材料可得
??
2
?4??+1和
??
2
+????+
??
2
的配方后的形式；(2)通过配方后，求得x，y的值，再代入代数式求值；(3)通过配方后，求得a，b，c的值，再代入代数式求值．本题考查了根据完全平方公式：
??
2
±2????+
??
2
=(??±??
)
2
进行配方的能力．
5. (1)利用配方法得出最小值即可；(2)利用非负数的性质得出a、b、c的值，进一步求得周长即可；(3)整理得(?????
)
2
+(?????
)
2
+(?????
)
2
=0，由非负数的性质求得三边相等，所以这是一个等边三角形此题考查了配方法的运用，非负数的性质，完全平方公式，等边三角形的判断.解题的关键是构建完全平方式，根据非负数的性质解题．
《一元二次方程的根与系数关系》教学设计
教材分析:
本课是在学生已经学习了一元二次方程求根公式的基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系进行再探究，通过本课的学习，使学生进一步了解一元二次方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间的关系．
教学目标：
【知识与能力目标】
1.掌握一元二次方程根与系数的关系；
2.能运用根与系数的关系解决具体问题.
【过程与方法】
经历探索一元二次方程根与系数的关系的过程,体验观察→发现→猜想→验证的思维转化过程，培养学生分析问题和解决问题的能力.
【情感态度与价值观】
通过观察、归纳获得数学猜想，体验数学活动充满着探索性和创造性，理解事物间相互联系、相互制约的辩证唯物主义观点，掌握由“特殊——一般——特殊”的数学思想方法，培养学生勇于探索的精神.
教学重难点：
【教学重点】一元二次方程根与系数的关系及其应用.
【教学难点】探索一元二次方程根与系数的关系.
课前准备：
多媒体
教学过程：
问题1：（1）一元二次方程的一般形式是什么？
（2）一元二次方程有实数根的条件是什么？
（3）当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程根的情况如何？
（4）一元二次方程的求根公式是什么？
[师生活动]教师指导学生回忆知识，学生进行口答，教师指出重点．
[答]（1）一元二次方程一般形式为ax2+bx+c=0(a≠0)；
当△≥0时，一元二次方程有两个实数根；
当△＞0时，一元二次方程有两个不等实根；当△=0时，一元二次方程有两个相等实根；当△＜0时，一元二次方程没有实根；
方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为（△≥0）.
【设计意图】通过对一元二次方程相关知识的复习巩固旧知识，并为新知识的学习做铺垫。
问题2：请完成下面的表格
/
观察、思考表格中方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？你有什么发现？
【设计意图】学生通过计算、观察、分析，发现一元二次方程中根与系数的关系，发展学生的感性认识，体会由特殊到一般的认识过程。
问题3：（1）填写上表后思考：
①运用你所发现的规律，你能解答下列问题吗？
已知方程x2-4x-7=0的根为x1,x2，则x1+x2= , x1·x2= ;
已知方程x2+3x-5=0的两根为x1,x2，则x1+x2= , x1·x2= .
已知方程2x2－3x－2＝0的两根分别是x1和x2，则x1+x2= , x1·x2= .
[答案]4，-7；-3，-5；，-1.
②如果方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,你知道x1+x2和x1·x2与方程系数之间的关系吗？
[回答]若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1和x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
③如何证明以上发现的规律呢？
[论证结论]教师与学生共同整理证明过程：
证明：当Δ>0时，由求根公式得
x1＝，x2＝，
所以x1＋x2＝＋＝－＝－，
x1x2＝·＝＝；
当Δ＝0时，x1＝x2＝－.
所以x1＋x2＝－，x1x2＝.
[归纳并板书]根与系数关系：若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根分别为x1和x2，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
[文字表达]一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.
【设计意图】　①进一步分析、验证所发现的根与系数的关系，为从感性到理性打好基础．②通过设置问题2使学生明确利用一元二次方程根与系数的关系进行计算需要满足Δ≥0.③探究根与系数关系的结论，培养学生严谨的学习态度。
问题4：例1　根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两个根x1，x2的和与积．
(1)x2－6x－15＝0；(2)3x2＋7x－9＝0；(3)5x－1＝4x2.
[师生活动]学生自主进行解答，教师做好评价和总结．
[注意]把一元二次方程整理为一般形式，确定a，b，c的值，比较b2－4ac与0的大小，然后利用根与系数的关系代入求值．
[解]（1）x1+x2=6，x1·x2=-15；
x1+x2=，x1·x2=；
方程化为4x2-5x+1=0，
∴x1+x2=，x1·x2=.
变式练习1　已知x1，x2是一元二次方程x2－4x＋1＝0的两个实数根，则x1x2等于(C)
－4　　　B．－1　　　C．1　　　D．4
变式练习2　若x1，x2为方程x2－2x－1＝0的两个实数根，求x1＋x2－x1x2的值．
[解]由根与系数关系得，x1+x2=2，x1·x2=-1，
∴x1＋x2－x1x2=2-（-1）=3.
【设计意图】问题的设置是针对本课时的重点所学进行及时巩固，也是培养学生计算能力和熟记公式的关键。
问题5：例2 已知方程x2-x+c=0的一根为3,求方程的另一根及c的值.
[分析]设方程的另一根为x1，可通过求两根之和求出x1的值；再用两根之积求c，也可将x=3代入方程求出c值.再利用根与系数关系求x1值.
[解]设方程另一根为x1，
由x1+3=1,∴x1=-2.
又x1·3=-2×3=c,
∴c=-6.
例3已知方程x2-5x-7=0的两根分别为x1,x2，求下列式子的值：
（1）x12+x22; （2） .
[分析]将所求代数式分别化为只含有x1+x2和x1·x2的式子后，用根与系数的关系，可求其值.
[解]∵方程x2-5x-7=0的两根为x1,x2,
∴x1+x2=5,x1·x2=-7.
(1)x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=52-2×(-7)=25+14=39;
(2) =
【设计意图】例2侧重于逆用根与系数关系，应注意引导学生进行正确思考；而例3侧重于利用根与系数的关系，进行代数式求值，这里将代数式转化为只含有x1+x2及x1·x2的式子是解决问题的关键，应引导学生关注这类变形方法.教学过程中仍应让学生先自主探究，独立完成，最后教师再予以评讲，让学生理解并掌握根与系数的关系；对于学生在探索过程中的成绩和问题也给予评析，进行反思。
问题6：例4已知x1，x2是方程x2-6x+k=0的两个实数根，且x12·x22-x1-x2=115，
（1）求k的取值；（2）求x12+x22-8的值.
[分析]将x1+x2=6，x1·x2=k，代入x12·x22-x1-x2=115可求出k值.此时需用Δ=b2-4ac来判断k的取值，这是本例的关键.
[解]（1）由题意有x1+x2=6,x1·x2=k.
∴x12·x22-x1-x2=(x1·x2)2-(x1+x2)=k2-6=115,
∴k=11或k=-11.
又∵方程x2-6x+k=0有实数解，
∴Δ=(-6)2-4k≥0,
∴k≤9.
∴k=11不合题意应舍去，
故k的值为-11;
(2)由(1)知，x1+x2=6,x1·x2=-11,
∴x12+x22-8=(x1+x2)2-2x1x2-8=36+22-8=50.
【设计意图】设置本例的目的在于引导学生正确认识根与系数的关系和根的判别式之间的不可分割的特征.教学时应予以强调。
问题6 . 1课堂总结：
(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！
2．布置作业：教材第17页习题21.2第7题．
3.知识结构图：
/
教学反思：
1.从熟知的解法解一元二次方程的过程中探索根与系数的关系，并发现可用系数表示的求根公式来证明这个关系，再通过问题探讨帮助学生运用这个关系解决问题，注重了知识产生、发展和出现的过程，注重了知识的应用.
2.教学过程贯穿以旧引新，从具体到抽象，从特殊到一般，从简单到复杂，从猜想到论证，使学生在体验知识发生、发展和应用的过程中理解和掌握推理的数学思想与化归思想.
3.教材把本节作为了解的内容，但本节知识在中考试题填空题、选择题、解答题中均有出现，为了让学生能适应平时的试题，把本节内容进行了一定的延伸，同时也可以激发同学们学习的兴趣.
《公式法》
在用公式法解一元二次方程，是在学生已经学习直接开平方法、因式分解法和配方法解解一元二次方程后的又一次学习。对于系数不特殊的一元二次方程用前面的几种方法解起来不方便。而用求根公式解较复杂的一元二次方程显得就很方便了。因此，要学习用公式法解一元二次方程。公式法是所有一元二次方程通用的解法，它为进一步学习一元二次方程的简单应用起到铺垫作用。
【知识与能力目标】
能够用配方法推导出一元二次方程的求根公式，能熟练的使用求根公式解一元二次方程。
【过程与方法目标】
在教师的指导下，经历观察、推导、交流归纳等活动导出一元二次方程的求根公式，培养学生的合情推理与归纳总结的能力。
【情感态度价值观目标】
培养学生的独立思考的习惯和与大家的合作交流意识。
【教学重点】
正确、熟练地使用一元二次方程的求根公式解一元二次方程，提高学生的综合运算能力。
【教学难点】
正确地推导出一元二次方程的求根公式，理解 b2-4ac对一元二次方程根的影响。

多媒体课件
一．复习引入
总结用配方法解一元二次方程的步骤(学生总结，老师点评)。
(1)现将已知方程化为一般形式；
(2)化二次项系数为1；
(3)常数项移到右边；
(4)方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；
(5)变形为(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0，方程无实根。
二、探索新知
用配方法解方程
如果一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，你能否用配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题。
问题：已知ax2+bx+c=0(a≠0)，试推导它的两个根x1=/，x2=/(这个方程一定有解吗？什么情况下有解？)
分析：因为前面具体数字已做得很多，我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去。
解：移项，得：ax2+bx=-c
二次项系数化为1，得x2+/x=-/
配方，得：x2+/x+(/)2=-/+(/)2
即(x+/)2=/
∵4a2>0，4a2＞0， 当b2-4ac≥0时/≥0
∴(x+/)2=(/)2
直接开平方，得：x+/=±/ 即x=/
∴x1=/，x2=/
由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0，当b2-4ac≥0时，将a、b、c代入式子x=/就得到方程的根。(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这体现了公式的统一性与和谐性)
(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式。
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。
公式的理解
(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根。
例1．用公式法解下列方程
(1)2x2-x-1=0 (2)x2+1.5=-3x (3) x2-/x+ /=0 (4)4x2-3x+2=0
分析：用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可。
补:(5)(x-2)(3x-5)=0
三、巩固练习
教材P42 练习1．(1)、(3)、(5)或(2) 、(4) 、(6)
四、应用拓展
例2．某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)/+(m-2)x-1=0提出了下列问题。
(1)若使方程为一元二次方程，m是否存在？若存在，求出m并解此方程。
(2)若使方程为一元一次方程m是否存在？若存在，请求出。
你能解决这个问题吗？
分析：能。(1)要使它为一元二次方程，必须满足m2+1=2，同时还要满足(m+1)≠0。
(2)要使它为一元一次方程，必须满足:
①/或②/或③/
五、归纳小结
本节课应掌握：
(1)求根公式的概念及其推导过程；
(2)应用公式法解一元二次方程的步骤:1)将所给的方程变成一般形式，注意移项要变号，尽量让a>0.2)找出系数a，b，c，注意各项的系数包括符号。3)计算b2-4ac，若结果为负数，方程无解，4)若结果为非负数，代入求根公式，算出结果。
(3)初步了解一元二次方程根的情况。
略。
《因式分解法》教学设计
教材分析:
本课是在学习配方法、公式法的基础上，进一步学习解一类特殊的一元二次方程的方法——因式分解法．
教学目标：
【知识与能力目标】
1.会用因式分解法（提公因式法、运用公式）解一元二次方程.
2.能根据方程的具体特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.
【过程与方法】
在经历探索用因式分解法解一元二次方程及依据方程特征选择恰当方法解一元二次方程的过程中,进一步锻炼学生的观察能力，分析能力和解决问题能力.【情感态度与价值观】
通过因式分解法解一元二次方程的探究活动，培养学生勇于探索的良好习惯，感受数学的严谨性及教学方法的多样性.
教学重难点：
【教学重点】会用因式分解法解一元二次方程.
【教学难点】理解并应用因式分解法解一元二次方程.
课前准备：
多媒体
教学过程：
问题1：(1)在新城区规划建设过程中，测量土地时，发现了一块正方形土地和一块矩形土地，矩形土地的宽和正方形土地的边长相等，矩形土地的长为80 m，测量人员说：“正方形土地面积是矩形土地面积的一半.”你能帮助工作人员计算一下正方形土地的面积吗？
[分析] 设正方形土地的边长为x m.根据题意，得2x2＝80x.在解此方程时，我们可以通过直接开平方法或配方法或公式法来解决.那么，一元二次方程除了上述解法外，还有其他解法吗？
[解]设正方形土地的边长为x m，依题意得，
2x2＝80x
移项，2x2-80x=0
因式分解，2x（x-40）=0
∴2x=0或x-40=0
∴x1=0（舍去），x2=40.
∴x2=402=1600 m2.
答：正方形土地的面积为1600平方米.
【设计意图】 说明：回顾已学过的一元二次方程的解法，在这一问题情境中，让学生根据已有的知识经验设未知数，寻找等量关系列方程，通过解方程获得实际问题的解决方法，老师通过学生得到的方程讲解不同的解法，在此基础之上，加以引导，来探求更简便的解法，自然而然地就引入了本节课的课题.建议：利用具体问题列出了一元二次方程后，教师可以让学生去思考怎样解答，进而引导学生的思维.
追问：解方程2x2-80x=0时，二次方程时如何将为一次的？
通过因式分解，将方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于零，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
板书课题：因式分解法.
问题2:利用“如果a·b=0，那么a=0或b=0”，填空：
（1）若（x＋1）（x－2）＝0，则x1＝　－1　，x2＝　2　；
（2）若（2x－1）（3x＋5）＝0，则x1＝　　，x2＝　－　；
（3）解方程x2－x＝0时，方程可以变形为　x（x－1）　＝0，则x1＝　0　，x2＝　1　；
（4）解方程4x（x＋3）＋3（x＋3）＝0时，方程可以变形为　（4x＋3）（x＋3）　＝0，则x1＝　－　，x2＝　－3　.
[总结]利用因式分解法解一元二次方程的步骤：
①将方程的右边化为0；
②将方程的左边进行因式分解；
③令每个因式为0，得到两个一元一次方程；
④解一元一次方程，得到方程的解.
【设计意图】1.设置ab=0的探讨，培养学生分析问题、归纳问题的能力及勇于探索的精神，主要为因式分解法提供依据.2.通过环节2为理解因式分解法打好基础，循序渐进，使学生易于接受新知。
问题3：例1 解下列方程：（1）x(x-2)+x-2=0; (2)5x2-2x-=x2-2x+.
[解]：（1）因式分解，得(x-2)(x+1)=0.
故有x-2=0或x+1=0.
∴x1=2,x2=-1;
原方程整理为4x2-1=0.
因式分解，得(2x+1)(2x-1)=0.
∴2x+1=0或2x-1=0.
∴x1=-,x2=.
[变式练习]用因式分解法解下列方程：
（x＋4）（x－5）＝0.
（2）x（2x－3）＝（3x＋2）（2x－3）
[答案]（1）x1=-4，x2=5；（2）x1=，x2=-1.
【设计意图】通过利用因式分解法解两道一元二次方程问题的教学，可以巩固所学新知，同时培养学生良好的观察能力和分析解决问题的能力。
问题4：例2　选择合适的方法解下列方程：
（1）x2＋3x＝0；（2）5x2－4x－1＝0；（3）x2＋2x－3＝0.
[师生活动]学生自主进行解答，选三名学生进行板演，然后教师引导学生进行对比，总结出较为简便的方法.
[解]（1）x（x+3）=0
∴x=0或x+3=0,
∴x1=0，x2=-3.
∵a=5，b=-4，c=-1，
∴△=b2-4ac=(-4)2-4×5×（-1）=36＞0.
∴x==，
∴x1=1，x2=.
解法1：（x+3）(x-1)=0
∴x+3=0，x-1=0
∴x1=-3，x2=1.
解法2：x2+2x+1=1+3
∴（x+1）2=4
∴x+1=±2.
∴x1=-3，x2=1.
【设计意图】解一元二次方程的方法主要有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，其中直接开平方法和因式分解法较为简便，但是不适用于所有方程，配方法和公式法可适用于所有方程，所以先考虑直接开平方法和因式分解法，再考虑配方法和公式法。
问题5：例3．用因式分解法解下列方程：
（1）（x-1）2-2（x2-1）=0； （2）2（t-1）2+t=1.
[解]（1）（x-1）2-2(x+1)(x-1)=0
∴（x-1）[(x-1)-2(x+1)]=0
即（x-1）(-x-3)=0.
∴x-1=0或-x-3=0.
∴x1=1，x2=-3.
(2)2（t-1）2+(t-1)=0
∴（t-1）[2(t-1)+1]=0
即（t-1）(2t-1)=0
∴t-1=0，2t-1=0
∴t1=1，t2=.
【设计意图】通过拓展练习，及时反馈学生的学习情况，及时地查缺补漏，进一步提升教学效果。
问题5：1.课堂总结：
（1）本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
（2）本节课还有哪些疑惑？说一说！
教师总结用因式分解法解一元二次方程的步骤：①将方程右边化为0，左边因式分解；②根据“若a·b＝0，则a＝0或b＝0”，得到两个一元一次方程；③两个一元一次方程的根就是原方程的根.
布置作业：教材第17页习题21.2第6，10题.
知识网络图：
【设计意图】指导学生养成系统整理知识的好习惯，加强教学反思，进一步提高教学效果。
教学反思：
1.本节课围绕利用因式分解法解一元二次方程这一重点内容，教师通过问题情境以及学生的合作交流，使学生的问题凸现出来，让学生迅速掌握解题技能，并探讨出解题的一般步骤，使学生知道因式分解法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，提高解题速度.
2.学生已经学过多项式的因式分解，所以对本课内容并不陌生，通过本课学习，让学生更能领会因式分解在数学领域的广泛应用.
3.本节课有大量的基础计算问题，也有符合不同学生层次的问题，力争让所有学生学有所得，提高课堂效率.
《21.2.1配方法》教学设计
教材分析:
本节仍然结合实际问题展开，重点讨论用配方法解一元二次方程.首先课本先讨论了直接开平方法，直接开平方法的依据是求一个数的平方根，另外循序渐进地安排了两类方程：x2=p和(x+n)2=p，后者可以看成是前者的推广.学习完直接开平方法后介绍了配方法，利用配方将一般式转换为可进行直接开平方法的形式，配方法也为后面推到公式法提供了方法依据.
教学目标：
【知识与能力目标】
1.使学生知道形如x2＝a(a≥0)的一元二次方程可以用直接开平方法求解；
2.使学生知道直接开平方法求一元二次方程的解的依据是数的开平方；
3.使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解；
【过程与方法】
在学习与探究中使学生体会“化归”“换元”与“分类讨论”的数学思想及运用类比进行学习的方法．
2.通过利用数的平方根得到用直接开平方法解一元二次方程，使学生能够解答符合条件的一元二次方程，同时为配方法的学习打好基础．
【情感态度与价值观】
通过利用直接开平方法解一元二次方程使学生在学习中体会成功感，感受数学学习的价值．
教学重难点：
【教学重点】
使学生能够熟练而准确的运用直接开平方法求一元二次方程的解.
【教学难点】
探究一元二次方程(x－m)2＝a的解的情况，培养分类讨论的意识
课前准备：
多媒体
教学过程：
问题1：在运动场正中间搭建一个面积为144平方米的正方形舞台，那么这个正方形舞台的边长是多少米呢？（请设未知数列方程解决）
【解】 设这个正方形舞台的边长是x米．列方程，得x2＝144.
根据平方根的意义，得x＝±＝±12，
∴原方程的解是x1＝12，x2＝－12.
∵边长不能为负数，
∴x＝12.
即这个正方形舞台的边长是12米．
【设计意图】 用学生身边的实际问题引入新课，激发学生的积极性，同时体现数学来源于生活并用之于生活．
问题2：（1）将下列各数的平方根写在旁边的括号里．
A：9(　±3　)，5(　±　)，49(　±7　)；
B：8(　±2 　)，24(　±2 　)，14(　±　)；
C：3(　±　)，1.2(　±　)，2(　±　)．
(2)．若x2＝4，则x＝__±2__．
【设计意图】通过对平方根的复习为本节课做准备，同时对平方根概念的掌握情况进行教学诊断，起到承上启下的作用．建议：在做第1小题时最好先让学生回顾平方根和算术平方根的概念．对于第2题，根据平方根的概念求解，从而导出新课．
追问：什么叫做平方根？平方根具有哪些性质？
【结论】一个数x的平方等于a，则这个数叫做a的平方根.
性质：正数的平方根有两个，它们是互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根.
【设计意图】通过回顾平方根的概念及性质和开平方的意义，有助于学生理解利用直接开平方法解一元二次方程，为学习新知打下基础.
问题3：(1)如何解一元二次方程x2＝5，m2＝16，x2－121＝0?
(2)你能求出一元二次方程－x2＋3＝0和x2＋1＝0的解吗？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由．
【解】（1）∵x2=5，∴x=.
∵m2=16，∴m=±4.
∵x2-121=0，即x2=121，∴x=±11.
（2）∵-x2+3=0即x2=3，∴x=.
∵x2+1=0即x2=-1，
由负数没有平方根，故方程无实数根.
【结论】一般地，对于方程x2=p（※），
当p＞0时，根据平方根的意义，方程（※）有两个不等的实数根x1=，x2==；
当p=0时，方程（※）有两个相等的实数根x1=x2=0；
当p＜0时，因为对于任意实数x，都有x2≥0，所以方程（※）无实数根.
这种解方程的方法叫做直接开平方法.
板书课题：直接开平方法解一元二次方程
【设计意图】设置问题（1），使学生进一步体验直接开平方法适用的一元二次方程的形式；设置问题（2），通过对一些复杂问题的探究帮助学生更加深入而准确地理解直接开平方法适用的一元二次方程.并为总结出一般的情况作出铺垫.
问题4：例1解方程：(x＋3)2＝5.
【解】x+3=
∴x1=,x2=.
[变式练习]解一元二次方程：
(1)2(x－8)2＝50；(2)(2x－1)2－32＝0.
【解】(1)原方程可化为（x-8）2=25
∴x-8=±5，
∴x1=13，x2=3.
（2）原方程可化为（2x-1）2=32
∴2x-1=.
∴x1=，x2=.
例2　已知x1，x2是一元二次方程3(x－1)2＝15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是( A )
A．x1小于－1，x2大于3 B．x1小于－2，x2大于3
C．x1，x2在－1和3之间 D．x1，x2都小于3
【解】原方程化为（x-1）2=5
∴x=1±
即x1=1-≈-1.236，x2=1+≈3.236
故选A.
若一元二次方程ax2＝b(ab＞0)的两个根分别是m＋1与2m－4，则= .
【解】：方程的解为，
∴m+1和2m-4是互为相反数，
即(m+1)+(2m-4)=0.
解得，m=1.
∴方程的两个根为2和-2.
即
∴.
故答案为4.
【设计意图】题目的设置采用逐步递进、提升的方式，既巩固了直接开平方法，为学习配方法做好铺垫，又使学生体验到类比、转化、降次的数学思想方法. 通过拓展练习，及时地反馈学生的学习情况，及时地查漏补缺，进一步提升教学效果.
问题5：1.课堂总结：
(1)本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
(2)本节课还有哪些疑惑？说一说！
2．布置作业：
(1)教材第6页练习；
(2)教材第16页习题21.2第1题．
3.知识结构图：
/
【设计意图】注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.通过构建知识结构图使提纲挈领，重点突出.
教学反思：
1.在复习回顾环节中，教师应给予充分的时间让学生交流、讨论，平方根是直接开平方运算的依据，所以必须使学生清楚平方根的意义；在课堂训练中，教师点名让学生回答问题，从多个角度进行多人次的提问．
2.对于难点问题，教师引导学生注意以下几点：(1)正数的平方根有两个，它们互为相反数，这时方程有两个实根；(2)若一个数的平方为负数，则方程无实根．
3.本课时难度较小，重视学生自学能力的提高，教师起到引导、点拨、评价的作用．
第2课时
教材分析:
本节课结合具体方程，通过将方程ax2+bx+c=0(a≠0)配方成为能运用开平方法求解方程的形式，进而求出方程的解.配方法不仅为下节课推导一元二次方程的求根公式做好了知识上的准备，而且也是后续学习二次函数等知识的基础.
教学目标：
【知识与能力目标】
探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程．
【过程与方法】
通过用配方法将一元二次方程变形的过程，让学生进一步体会转化的思想方法，并增强他们的数学应用意识和能力．
通过配方将其转化为可利用直接开平方法解的一元二次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知(新知识)向已知(旧知识)转化，这是研究数学问题常用的方法：化未知为已知．
【情感态度与价值观】
通过学生间的交流、探索，进一步激发学生的学习热情和求知欲望，同时提高小组合作意识和一丝不苟的精神．
教学重难点：
【教学重点】会用配方法解一元二次方程；
【教学难点】能够熟练地进行配方；
课前准备：
多媒体
教学过程：
问题1：(1)回顾用直接开平方法解一元二次方程的步骤，解下列方程：
①x2＝3；②(x＋3)2＝5；③x2＋6x＋9＝7.
(2)图21－2－1中的两个图形各验证了什么公式呢？与同伴交流一下．
/
图21－2－1
(3)将下列各式填上适当的项，配成完全平方式(口头回答)．
①x2＋2x＋__1__＝(x＋__1__)2；②x2－4x＋__4__＝(x－__2__)2；
③x2＋__12x__＋36＝(x＋6)2；④x2＋10x＋__25__＝(x＋__5__)2.
【解】（1）①x=，∴x1=,x2=.
②x+3=,∴x1=,x2=.
③（x+3）2=7,∴x+3=,∴x1=,x2=.
完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2.
见题目.
追问：要把一个二次项系数为1的二次三项式变成一个完全平方式，常数项该如何变化？
学生讨论，发现规律：常数项是一次项系数一半的平方．
填空：x2＋x＋____＝.
【设计意图】1.巩固直接开平方法解方程，为配方法打下基础； 2.学会利用完全平方的知识填空，感受配方，为课题的学习做好铺垫.
问题2：思考：（1）你会解一元二次方程x2+4x＋4＝0吗？（2）会解x2+6x＋4＝0吗？
提示：能否将方程x2+6x＋4＝0转换为直接开平方法的形式再求解？
【解】（1）（x+2）2=0，∴x+2=0，∴x1=x2=-2.
移项，x2+6x=-4
两边加9，x2+6x+9=5
∴（x+3）2=5.
∴x+3=
∴x1=,x2=.
板书课题：配方法解一元二次方程
【设计意图】1.体现启发式教学，每位学生都能参与课堂，循序渐进，充分调动学生的积极性和充满探索的精神；
2．学生通过经历观察、思考、讨论、分析的过程，形成把一元二次方程配成完全平方形式来解方程的思想.
问题3：例1　解方程：(1)x2－8x＋1＝0；(2)3x2－6x＋4＝0.
【师生活动】教师指导学生观察方程的特点，指导学生阐述做题的思路，然后学生给予书写解题过程，教师做好评价和辅导．
解：（1）移项，x2-8x=-1
∴配方，x2-8x+16=16-1
∴（x-4）2=15
∴x=
∴x1=,x2=.
（2）移项，3x2-6x=-4
系数化为1，x2-2x=-
配方，x2-2x+1=1-
∴（x-1）2=-
∴方程无实数根.
变式练习：(1)x2－10x＋9＝0；(2)2x2＋1＝3x.
答案：（1）x1=9,x2=1；（2）x1=1,x2=.
【设计意图】1.此题的设置存在梯度，给予学生层次递进的学习过程；
2.学生不断质疑、解惑，不但完善了思维也锻炼了能力，使学生形成对知识的总体把握.
问题4：例2　用配方法求2x2－7x＋2的最小值；
解：2x2－7x＋2=2（(x2-x）+2
=2(x2-x+)-+2
=2(x-)2-
∴当x=时，代数式最小值-.
变式练习：求－3x2＋5x＋1的最大值．
答案：最大值为.
【设计意图】学生对已解问题与未解问题的对比分析能力；给予学生一定的时间去思考，充分讨论，争取让学生自己得到解答方法；鼓励学生大胆猜想，发表见解．这里求二次三项式的最值为后续学习二次函数打下基础.
问题5：1.课堂总结：
（1）本节课主要学习了哪些知识？学习了哪些数学思想和方法？
（2）本节课还有哪些疑惑？说一说！
师生总结：①移项；②二次项系数化为1；③配方；④开方；⑤得解。
2.布置作业：教材第9页，练习第1.2题.
知识网络图：
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【设计意图】注重课堂小结，激发学生参与的主动性，为每一个学生的发展与表现创造机会.
教学反思：
1.本节课，重在学生的自主参与，进而获得成功的体验，在数学方法上，仍突出数学研究中转化的思想，激发学生产生合理的认识冲突，激发兴趣，建立自信心.
2.在练习内容上，有所改进，加强了核心知识的理解与巩固，提高自己解决问题的能力，感受数学创造的乐趣，提高教学效果.
3.用配方法解一元二次方程是学习解一元二次方程的基本方法，后面的求根公式是在配方法的基础上推出的，配方法在使用时又与原来学习的完全平方式联系密切，用配方法解一元二次方程既是对原来知识的巩固，又是对后面学习内容的铺垫.在二次函数顶点坐标的求解中也同样使用的是配方法，因此配方法是一种基本的数学解题方法.