A级 基础巩固
一、选择题
1．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：( )
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间单调递增
③f(x)在[－π，π]有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是( )
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
答案：C
2．下列函数中既是偶函数又在(0，＋∞)上是增函数的是( )
A．y＝x3 B．y＝|x|＋1
C．y＝－x2＋1 D．y＝2x＋1
解析：四个选项中的函数的定义域都是R.对于选项A，y＝x3是奇函数；对于选项B，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数；对于选项C，y＝－x2＋1是偶函数，但是它在(0，＋∞)上是减函数；对于选项D，y＝2x＋1是非奇非偶函数．
答案：B
3．已知y＝f(x)，x∈(－a，a)，F(x)＝f(x)＋f(－x)，则F(x)是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数
解析：F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)．又因为x∈(－a，a)关于原点对称，所以F(x)是偶函数．
答案：B
4．设函数f(x)＝且f(x)为偶函数，则g(－2)＝( )
A．6 B．－6 C．2 D．－2
解析：因为f(x)为偶函数，所以f(－2)＝g(－2)＝f(2)＝22＋2＝6.
答案：A
5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)在[0，＋∞)上为增函数，且f(－3)＝0，则不等式f(2x－1)<0的解集为( )
A．(－1，2) B．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
C．(－∞，2) D．(－1，＋∞)
解析：因为f(－3)＝0，且该函数为偶函数，所以f(3)＝f(－3)＝0，所以不等式f(2x－1)<0等价于f(2x－1)答案：A
二、填空题
6．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x，则f(x)在R上的解析式为_______________________________．
解析：设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝(－x)2－2·(－x)＝x2＋2x.
又因为y＝f(x)是R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x，
所以f(x)＝
答案：f(x)＝
7．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(－1)＝2，则f(0)＋f(1)＝________．
解析：因为f(x)为R上的奇函数，
所以f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)＝－2，
所以f(0)＋f(1)＝0－2＝－2.
答案：－2
8．(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax.若f(ln 2)＝8，则a＝________．
答案：－3
三、解答题
9．已知函数f(x)，x∈R，若对任意实数a，b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求证：f(x)为奇函数．
证明：设a＝0，则f(b)＝f(0)＋f(b)，
所以f(0)＝0.
又设a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x)．
所以f(－x)＝－f(x)．
所以f(x)为奇函数．
10．已知f(x)＝是定义在(－∞，b－3]∪[b－1，＋∞)上的奇函数．
(1)若f(2)＝3，求a，b的值；
(2)若f(－1)＝0，求函数f(x)在区间[2，4]上的值域．
解：(1)由题意得，b－3＋b－1＝0，所以b＝2，
所以f(x)＝，因为f(2)＝3，所以＝3，
所以a＝1.
(2)因为f(－1)＝0，所以a＝－2，
所以f(x)＝＝－2x＋.
因为函数y＝－2x和y＝在区间[2，4]上都单调递减，
所以函数f(x)在区间[2，4]上单调递减，
所以在区间[2，4]上，f(x)max＝f(2)＝－3，
f(x)min＝f(4)＝－，所以函数f(x)在区间[2，4]上的值域为.
B级 能力提升
1．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是减函数，若f(a)≥f(－2)，则a的取值范围是( )
A．a≤－2 B．a≥2
C．a≤－2或a≥2 D．－2≤a≤2
解析：由已知，得函数y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，若a<0，由f(a)≥f(－2)得a≥－2；若a≥0，由已知可得f(a)≥f(－2)＝f(2)，a≤2.综上知－2≤a≤2.
答案：D
2.已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3，3]，且它们在[0，3]上的图象如图所示，则不等式<0的解集是____________________________．
解析：由题知，y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数．
根据函数图象的对称性画出y＝f(x)，y＝g(x)在[－3，0]上的图象如图所示．由图可知f(x)>0?00?1<0?或
可求得其解集是{x|－2答案：{x|－23．设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝，求f(x)，g(x)的解析式．
解：因为f(x)＋g(x)＝，①
所以f(－x)＋g(－x)＝.②
因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，
所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．
所以②式可变为f(x)－g(x)＝.③
联立①③，解方程组得f(x)＝，g(x)＝.
所以f(x)＝(x≠±1)，g(x)＝(x≠±1)．
课件30张PPT。第一章 集合与函数概念
