A级 基础巩固
一、选择题
1．下列函数中，在(0，2)上为增函数的是( )
A．y＝－3x＋2 B．y＝
C．y＝x2－4x＋5 D．y＝3x2＋8x－10
解析：显然A、B两项在(0，2)上为减函数，排除；对C项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D项，函数在上为增函数，所以在(0，2)上也为增函数．
答案：D
2．在下列函数f(x)中，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1
f(x2)的是( )
A．f(x)＝x2 B．f(x)＝
C．f(x)＝|x| D．f(x)＝2x＋1
解析：因为对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A，C，D在(0，＋∞)上都为增函数，B在(0，＋∞)上为减函数．
答案：B
3．若函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析：函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)>f(－m＋9)，
所以2m>－m＋9，解得m>3.
答案：C
4．设函数f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，若a∈R，则( )
A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a)
C．f(a2＋a)＜f(a) D．f(a2＋1)＜f(a)
解析：选项D中，因为a2＋1＞a，f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，所以f(a2＋1)＜f(a)．而其他选项中，当a＝0时，自变量均是0，应取等号．
答案：D
5．定义在R上的函数，对任意的x1，x2∈R(x1≠x2)，有＜0，则( )
A．f(3)＜f(2)＜f(1) B．f(1)＜f(2)＜f(3)
C．f(2)＜f(1)＜f(3) D．f(3)＜f(1)＜f(2)
解析：对任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有＜0，则x2－x1与f(x2)－f(x1)异号，则f(x)在R上是减函数．又3＞2＞1，则f(3)＜f(2)＜f(1)．
答案：A
二、填空题
6．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)________．
解析：由y＝f(x)的对称轴是直线x＝，可知f(x)在上递增，由题设知≤－2，解得m≤－16，
所以f(1)＝9－m≥25.
答案：≥25
7．已知函数f(x)在定义域[－2，3]上单调递增，则满足f(2x－1)>f(x)的x的取值范围是__________．
解析：依题意有－2≤x<2x－1≤3，解得1答案：(1，2]
8．设x1，x2为y＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题：
①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0.
②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0.
③>0.
④<0.
其中能推出函数y＝f(x)为增函数的命题为________(填序号)．
解析：依据增函数的定义可知，对于①③，当自变量增大时，相对应的函数值也增大，因此从①③可推出函数y＝f(x)为增函数．
答案：①③
三、解答题
9．已知函数f(x)＝
(1)若f(2)＝f(1)，求a的值；
(2)若f(x)是R上的增函数，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(2)＝f(1)，所以22＝4－－1，
所以a＝－2.
(2)因为f(x)是R上的增函数，所以
解得4≤a<8.
故实数a的取值范围为4≤a＜8.
10．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并用单调性的定义加以证明．
解：(1)由x2－1≠0，得x≠±1，所以函数f(x)＝的定义域为{x|x∈R，且x≠±1}．
(2)函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x1>1，所以x－1>0，x－1>0，x2－x1>0，x2＋x1>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)＝在(1，＋∞)上是减函数．
B级 能力提升
1．设(a，b)，(c，d)都是f(x)的单调递增区间，且x1∈(a，b)，x2∈(c，d)，x1A．f(x1)f(x2)
C．f(x1)＝f(x2) D．不能确定
解析：根据函数单调性的定义知，所取两个自变量必须是同一单调区间内的值，才能由该区间上函数的单调性来比较函数值的大小，而本题中的x1，x2不在同一单调区间内，故f(x1)与f(x2)的大小不能确定．
答案：D
2．如图所示的两图分别为函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象，则函数y＝f(x)和y＝g(x)的单调递增区间分别为______________________．
解析：由题图①可知，在区间[1，4]和区间(4，6]内，函数y＝f(x)是增函数，由题图②可知，在区间[－1，0]和[1，2]内，y＝g(x)是增函数．故y＝f(x)的单调递增区间是[1，4]和(4，6]，函数y＝g(x)的单调递增区间是[－1，0]和[1，2]．
答案：[1，4]和(4，6]，[－1，0]和[1，2]
3．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x，y∈(0，＋∞)，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)－1，且f(4)＝5.
(1)求f(2)的值；
(2)解不等式f(m－2)≤3.
解：(1)因为f(4)＝f(2＋2)＝2f(2)－1＝5，
所以f(2)＝3.
(2)由f(m－2)≤3，得f(m－2)≤f(2)．
因为f(x)是(0，＋∞)上的减函数，
所以解得m≥4.
所以不等式的解集为{m|m≥4}．
课件29张PPT。第一章 集合与函数概念
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知函数f(x)＝(x∈[2，6])，则函数的最大值为( )
A．0.4 B．1 C．2 D．2.5
解析：因为函数f(x)＝在[2，6]上是单调递减函数，所以f(x)max＝f(2)＝＝2.
答案：C
2．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．8，4 B．8，6 C．6，4 D．以上都不对
解析：f(x)在[－1，2]上单调递增，所以最大值为f(2)＝8，最小值为f(－1)＝4.
答案：A
3．定义域为R的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为( )
A．[a，b] B．[2a，a＋b]
C．[0，b－a] D．[－a，a＋b]
解析：函数y＝f(x)的图象向左平移|a|个单位长度后得y＝f(x＋a)的图象，因此它们的值域是相同的．
答案：A
4．若函数y＝ax＋1在[1，2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是( )
A．2 B．－2 C．2或－2 D．0
解析：a＝0时，y＝1不符合题意；a>0时，由题意得2a＋1－(a＋1)＝2，即a＝2；a<0时，a＋1－(2a＋1)＝2，所以a＝－2，综上，a＝±2.
答案：C
5．已知函数f(x)＝x2－2x＋2，f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N*，则f2 018(x)在[1，2]上的最小值和最大值分别是( )
A．0，1 B．0，2 C．1，2 D．1，4
解析：由题意得，f1(x)＝(x－1)2＋1，所以f1(x)在[1，2]上的最小值为1，最大值为2.令t＝f1(x)，所以f2(x)＝f(t)在t∈[1，2]上的最小值为1，最大值为2.以此类推，得到f2 018(x)在[1，2]上的最小值为1，最大值为2.
答案：C
二、填空题
6．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0，1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为________．
解析：函数f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0，1]，且函数有最小值－2，故当x＝0时函数有最小值，当x＝1时函数有最大值．因为当x＝0时，f(0)＝a＝－2，所以f(1)＝－12＋4×1－2＝1.
答案：1
7．已知函数f(x)＝－(a>0，x>0)，若f(x)在上的值域为，则a＝________．
解析：由反比例函数的性质知函数f(x)＝－(a>0，x>0)在上单调递增，所以
即解得a＝.
答案：
8.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.
解析：设矩形花园的宽为y，则＝，即y＝40－x，矩形花园的面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400，当x＝20 m时，面积最大．
答案：20
三、解答题
9．已知函数f(x)＝.
(1)证明：函数在区间(1，＋∞)上为减函数；
(2)求函数在区间[2，4]上的最值．
(1)证明：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1则f(x1)－f(x2)＝－＝.
由于10，x1－1>0，x2－1>0，
则f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，
所以函数f(x)在区间(1，＋∞)上为减函数．
(2)解：由(1)可知，f(x)在区间[2，4]上递减，则最大值为f(2)＝2，最小值为f(4)＝.
10．设f(x)是定义在R上的函数，且对任意实数x，有f(1－x)＝x2－3x＋3.
(1)求函数f(x)的解析式．
(2)若函数g(x)＝f(x)－5x＋1在[m，m＋1]上的最小值为－2，求实数m的取值范围．
解：(1)令1－x＝t，则x＝1－t，
得f(t)＝(1－t)2－3(1－t)＋3，
化简得f(t)＝t2＋t＋1，
即f(x)＝x2＋x＋1，x∈R.
(2)由(1)知g(x)＝x2－4x＋2＝(x－2)2－2(m∈R)，
因为g(x)min＝－2，且在[m，m＋1]上取得最小值，
所以m≤2≤m＋1，
所以1≤m≤2.
B级 能力提升
1．用长度为24 m的材料围成一个中间加两道隔墙的矩形场地，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3 m B．4 m C. m D. m
解析：设隔墙的长度为x m，场地面积为S m2，
则S＝x·＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18，
所以当x＝3时，S有最大值，为18.
答案：A
2．函数y＝－x2＋6x＋9在区间[a，b](a解析：y＝－(x－3)2＋18，因为a解得
答案：－2 0
3．已知函数f(x)＝ax＋(1－x)(a>0)，且f(x)在[0，1]上的最小值为g(a)，求g(a)的最大值．
解：f(x)＝x＋，
当a>1时，a－>0，此时f(x)在[0，1]上为增函数，
因此g(a)＝f(0)＝；
当0此时f(x)在[0，1]上为减函数，因此g(a)＝f(1)＝a；
当a＝1时，f(x)＝1，此时g(a)＝1.
因此g(a)＝
因为g(a)在(0，1)上为增函数，在[1，＋∞)上为减函数，
又a＝1时，有a＝＝1，
因此当a＝1时，g(a)取最大值1.
课件37张PPT。第一章 集合与函数概念 