第二章 圆锥曲线与方程
2.1 椭圆
2.1.1 椭圆及其标准方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
解析：因为|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，所以点M的轨迹是线段F1F2，故选D.
答案：D
2．椭圆x225＋y2169＝1的焦点坐标是( )
A．(±5，0) B．(0，±5)
C．(0，±12) D．(±12，0)
解析：因为c2＝a2－b2＝169－25＝122，所以 c＝12.又焦点在y轴上，故焦点坐标为(0，±12)，
答案：C
3．已知椭圆x2m＋y216＝1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3，到另一个焦点的距离为7，则m＝( )
A．10 B．5 C．15 D．25
解析：设椭圆的焦点分别为F1，F2，则由椭圆的定义，知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以 a＝5，所以 a2＝25，所以 椭圆的焦点在x轴上，m＝25.
答案：D
4．已知椭圆过点P35，－4和点Q－45，3，则此椭圆的标准方程是( )
A.y225＋x2＝1 B.x225＋y2＝1或x2＋y225＝1
C.x225＋y2＝1 D．以上都不对
解析：设椭圆方程为：Ax2＋By2＝1(A≠B，A>0，B>0)，
由题意得925A＋16B＝1，1625A＋9B＝1，解得A＝1，B＝125.
答案：A
5．若方程x2m＋9＋y225－m＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是( )
A．－9C．168
解析：依题意有25－m>0，m＋9>0，m＋9>25－m，解得8答案：B
二、填空题
6．已知椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是(0，2)，则k＝________．
解析：易知k≠0，椭圆方程可化为x2＋y2－5k＝1，
所以 a2＝－5k，b2＝1.又c＝2，所以 －5k－1＝4，
所以 k＝－1.
答案：－1
7．已知椭圆的焦点是F1(－1，0)，F2(1，0)，P是椭圆上的一点，则|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项，则该椭圆的方程是___________．
解析：由题意得2|F1F2|＝|PF1|＋|PF2|，
所以 4c＝2a＝4，所以 a＝2.
又c＝1，所以 b2＝a2－c2＝3，
故椭圆方程为x24＋y23＝1.
答案：x24＋y23＝1
8．若椭圆x249＋y224＝1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为________．
解析：设|PF1|＝x，则|PF2|＝14－x，又2c＝10，
根据勾股定理，得x2＋(14－x)2＝100，
解得x＝8或x＝6，所以S＝12×8×6＝24.
答案：24
三、解答题
9．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0，2)，并且椭圆经过点－32，52；
(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；
(3)经过点P(－23，1)，Q(3，－2)．
解：(1)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．
由椭圆的定义知，
2a＝－322＋52＋22＋－322＋52－22＝210，
即a＝10.又c＝2，
所以b2＝a2－c2＝6.
所以所求椭圆的标准方程为y210＋x26＝1.
(2)因为椭圆的焦点在y轴上，
所以设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．
又椭圆经过点(0，2)和(1，0)，
所以4a2＋0b2＝1，0a2＋1b2＝1，
所以a2＝4，b2＝1.
所以所求椭圆的标准方程为y24＋x2＝1.
(3)设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，
因为点P(－23，1)，Q(3，－2)在椭圆上，
代入椭圆方程得12m＋n＝1，3m＋4n＝1，
所以m＝115，n＝15.
所以所求椭圆的标准方程为x215＋y25＝1.
10．一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．
解：由题意知两定圆的圆心与半径分别为O1(－3，0)，r1＝1；O2(3，0)，r2＝9.
设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，
则由题设条件可得|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R，
所以|MO1|＋|MO2|＝10.
由椭圆的定义知，
点M在以O1，O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.
故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.
B级 能力提升
1．平面内有两个定点A，B及动点P，设甲：|PA|＋|PB|是定值，乙：点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，则甲是乙的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，则|PA|＋|PB|是定值，由椭圆的定义，知反之不一定成立．
答案：B
2．(2014?安徽卷)设F1，F2分别是椭圆E：x2＋y2b2＝1(0解析：过B作x轴的垂线，垂足为M.
因为AF2⊥x轴，所以|AF2|＝|yA|＝b2.
因为|AF1|＝3|BF1|，
所以|BM|＝b23，|MF1|＝2c3，
所以|MO|＝5c3，所以B－5c3，－b23或－5c3，b23，
则25（1－b2）9＋b29＝1，
故b2＝23，则椭圆E的方程为x2＋3y22＝1.
答案：x2＋3y22＝1
3．已知P是椭圆x24＋y2＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点．
(1)当∠F1PF2＝60°时，求△F1PF2的面积；
(2)当∠F1PF2为钝角时，求点P横坐标的取值范围．
解：(1)由椭圆的定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，①且F1(－3，0)，F2(3.0)．在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|?|PF2|cos 60°.②由①②得|PF1|?|PF2|＝43.
所以S△F1PF2＝12|PF1|?|PF2|sin ∠F1PF2＝33.
(2)设点P(x，y)，由已知∠F1PF2为钝角，得F1P→?F2P→＜0，即(x＋3，y)?(x－3，y)＜0，
又y2＝1－x24，所以34x2＜2，解得－263＜x＜263，
所以点P横坐标的取值范围是－263＜x＜263.
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