第二章 圆锥曲线与方程
2.1 椭圆
2.1.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
A级 基础巩固
一、选择题
1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是( )
A．5，3，0.8 B．10，6，0.8
C．5，3，0.6 D．10，6，0.6
解析：将方程25x2＋9y2＝225化为椭圆的标准方程为＋＝1，所以a＝5，b＝3，c＝4，所以e＝＝＝0.8，长轴长2a＝10，短轴长2b＝6.故选B.
答案：B
2．曲线＋＝1与曲线＋＝1(k＜9)的( )
A．长轴长相等 B．短轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
解析：两方程都表示椭圆，由方程可知c2都为16，所以焦距2c相等．
答案：D
3．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为( )
A．(±13，0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
解析：由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，
则c＝＝，故焦点坐标为(0，±)．
答案：D
4．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方程是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，
则c＝1，e＝＝，所以 a＝2，b＝，
所以 椭圆C的方程是＋＝1.
答案：D
5．(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
解析：以线段A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点O(0，0)，半径为a.由题意，圆心到直线bx－ay＋2ab＝0的距离为d＝＝a，则a2＝3b2.
又e2＝1－＝，所以e＝，故选A.
答案：A
二、填空题
6．已知椭圆C：x2＋3y2＝3，则椭圆C的离心率为______．
解析：椭圆C的标准方程为＋y2＝1，所以a＝，b＝1，
c＝，故e＝＝＝.
答案：
7．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0＜e≤.则长轴长的取值范围为________．
解析：因为0＜e≤，所以 0＜e2≤.
又因为e2＝1－，b＝1，而0＜1－≤，
所以 －≤－1＜0，
所以 ≤＜1，
所以 1＜a2≤4，而1＜a≤2
所以 长轴长2a∈(2，4]．
答案：(2，4]
8．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则k的值等于____．
解析：分两种情况进行讨论：
当焦点在x轴上时，a2＝k＋8，b2＝9，得c2＝k－1，
又因为e＝，所以 ＝，解得k＝4。
当焦点在y轴上时，a2＝9，b2＝k＋8，得c2＝1－k，
又因为e＝，所以 ＝，解得k＝－.
所以 k＝4或k＝－
答案：4或－
三、解答题
9．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)离心率是，长轴长是6；
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
解：(1)设椭圆的方程为
＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)．
由已知得2a＝6，e＝＝，所以 a＝3，c＝2.
所以 b2＝a2－c2＝9－4＝5.
所以 椭圆方程为＋＝1或＋＝1.
(2)设椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)．
如图所示，△A1FA2为一等腰直角三角形，OF为斜边A1A2上的中线(高)，且|OF|＝c，|A1A2|＝2b，所以 c＝b＝3所以 a2＝b2＋c2＝18，故所求椭圆的方程为＋＝1.
10.如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，求此椭圆的离心率．
解：由题意可设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)．如题图所示，则有F1(－c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a，0)，直线PF1的方程为x＝－c，代入方程＋＝1，得y＝±，所以P.
又PF2∥AB，所以△PF1F2∽△AOB.
所以＝，所以＝，所以b＝2c.
所以b2＝4c2，所以a2－c2＝4c2，
所以＝.
所以e＝＝.
B级 能力提升
1．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A. B.
C．2－ D.－1
解析：因为|F1F2|＝2c，|PF2|＝2c，
所以|PF1|＝|F1F2|＝2c.
所以|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c.
又|PF1|＋|PF2|＝2a，所以2c＋2c＝2a.
所以＝－1，即e＝－1.
答案：D
2．已知AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则△AFB面积的最大值为( )
A．b2 B．ab C．ac D．bc
解析：设A的坐标为(x，y)，则根据对称性得B(－x，－y)
则△AFB面积S＝·|OF|·|2 y|＝c|y|
由椭圆图象知，当A点在椭圆的顶点时，其△AFB面积最大值为bc.
答案：D
3.如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题意知A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)．
其中c＝，设B(x，y).
因为＝2即(c，－b)＝2(x－c，y)，
所以
解得x＝，y＝－，
即B.
将B点坐标代入＋＝1，
得＋＝1，
即＋＝1，
解得a2＝3c2.①
又由·＝(－c，－b)·＝
得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1.②
由①②解得c2＝1，a2＝3，
从而有b2＝2.
所以椭圆方程为＋＝1.
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