第二章 圆锥曲线与方程
2.1 椭圆
2.1.2 椭圆的简单几何性质
第2课时 直线与椭圆的位置关系
A级 基础巩固
一、选择题
1．已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：x225＋y236＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )
A．1 B．1或2 C．2 D．0
解析：因为直线过定点(3，－1)且3225＋（－1）236<1，
所以点(3，－1)在椭圆的内部，故直线l与椭圆有2个公共点．
答案：C
2．若直线y＝kx＋1与椭圆x25＋y2m＝1总有公共点，则m的取值范围是( )
A．m>1 B．m>0
C．0解析：法一 由于直线y＝kx＋1恒过点(0，1)，
所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，
则0<1m≤1且m≠5，
故m≥1且m≠5.
法二 由y＝kx＋1，mx2＋5y2－5m＝0，
消去y整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
由题意知Δ＝100k2－20(1－m)(5k2＋m)≥0对一切k∈R恒成立，即5mk2＋m2－m≥0对一切k∈R恒成立，
由于m>0且m≠5，所以m≥1且m≠5.
答案：D
3．点A(a，1)在椭圆x24＋y22＝1的内部， 则a的取值范围是( )
A．－2＜a＜2 B．a＜－2或a＞2
C．－2＜a＜2 D．－1＜a＜1
解析：由A(a，1)在椭圆内部，则a24＋122＜1，即a2＜2，则－2＜a＜2.
答案：A
4．过椭圆x26＋y25＝1内的一点P(2，－1)的弦，恰好被点P平分，则这条弦所在的直线方程是( )
A．5x－3y－13＝0 B．5x＋3y－13＝0
C．5x－3y＋13＝0 D．5x＋3y＋13＝0
解析：设弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
x216＋y215＝1，x226＋y215＝1，故16×x1＋x2y1＋y2＋15×y1－y2x1－x2＝0，
又x1＋x2＝4，y1＋y2＝－2，故斜率k＝53.
故直线方程为y＋1＝53(x－2)，即5x－3y－13＝0.
答案：A
5．已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为( )
A.x245＋y236＝1 B.x236＋y227＝1
C.x227＋y218＝1 D.x218＋y29＝1
解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程，
有x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，
两式相减得y1－y2x1－x2＝－b2a2?x1＋x2y1＋y2＝12，
因为线段AB的中点坐标为(1，－1)，
所以b2a2＝12.
因为右焦点为F(3，0)，c＝3，
所以a2＝18，b2＝9，所以椭圆E的方程为x218＋y29＝1.
答案：D
二、填空题
6．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝12 x＋1截得的弦长为________．
解析：由x2＋4y2＝16，y＝12 x＋1，
消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
所以 弦长|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝
54[（x1＋x2）2－4x1x2]＝ 54（4＋24）＝35.
答案：35
7．若A为椭圆x2＋4y2＝4的右顶点，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，则该三角形的面积为________．
解析：由题意得，该三角形的两直角边关于x轴对称，且其中一边在过点A(2，0)，斜率为1的直线上，此直线的方程为y＝x－2，将y＝x－2代入x2＋4y2＝4，得5x2－16x＋12＝0，解得x1＝2，x2＝65.把x＝65代入椭圆方程得y＝±45，所以三角形的面积S＝12×85×2－65＝1625.
答案：1625
8．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，原点O与线段MN的中点P连线的斜率为22，则mn的值是________．
解析：由y＝1－x，mx2＋ny2＝1，消去y，
得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.
则MN的中点P的坐标为nm＋n，mm＋n.
所以kOP＝mn＝22.
答案：22
三、解答题
9．判断直线kx－y＋3＝0与椭圆x216＋y24＝1的位置关系．
解：由y＝kx＋3，x216＋y24＝1可得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，
所以 Δ＝16(16k2－5)．
(1)当Δ＝16(16k2－5)＞0，即k＞54或k＜－54时，
直线kx－y＋3＝0与椭圆x216＋y24＝1相交．
(2)当Δ＝16(16k2－5)＝0，即k＝54或k＝－54 时，
直线kx－y＋3＝0与椭圆x216＋y24＝1相切．
(3)当Δ＝16(16k2－5)＜0，即－54＜k＜54时，
直线kx－y＋3＝0与椭圆x216＋y24＝1相离．
10．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)过点(0，4)，离心率为35.
(1)求C的方程；
(2)求过点(3，0)且斜率为45的直线被C所截线段的中点坐标．
解：(1)将(0，4)代入C的方程得16b2＝1，所以 b＝4.
又e＝ca＝35，得a2－b2a2＝925，
则1－16a2＝925，所以 a＝5，
所以 C的方程为x225＋y216＝1.
(2)过点(3，0)且斜率为45的直线方程为y＝45(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝45(x－3)代入C的方程，
得x225＋（x－3）225＝1，即x2－3x－8＝0，解得x1＋x2＝3，
所以 AB的中点坐标x—＝x1＋x22＝32，y—＝y1＋y22＝25(x1＋x2－6)＝－65，即中点坐标为32，－65.
B级 能力提升
1．若直线y＝x＋t与椭圆x24＋y2＝1相交于A，B两点，当t变化时，|AB|的最大值为( )
A．2 B.455
C.4105 D.8105
解析：将y＝x＋t代入x24＋y2＝1，得5x2＋8tx＋4t2－4＝0，则x1＋x2＝－8t5，x1x2＝4t2－45.
由|AB|＝1＋12×（x1＋x2）2－4x1x2＝2 80－16t225，当t＝0时|AB|最大，最大为2×455＝4105.
答案：C
2．若倾斜角为π4的直线交椭圆x24＋y2＝1于A、B两点，则线段AB的中点的轨迹方程是________．
解析：设中点坐标为(x，y)，直线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程得5x2＋8bx＋4(b2－1)＝0，由根与系数的关系及中点的定义，可得x＋4y＝0，
由Δ>0，得－5答案：x＋4y＝0－4553．已知椭圆G：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为(22，0)．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3，2)．
(1)求椭圆G的方程；
(2)求△PAB的面积．
解：(1)由已知得c＝22，ca＝63.
解得a＝23.
又b2＝a2－c2＝4，所以椭圆G的方程为x212＋y24＝1.
(2)设直线l的方程为y＝x＋m.
由y＝x＋m，x212＋y24＝1得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①
设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1因为AB是等腰△PAB的底边，E为中点，所以PE⊥AB.
所以PE的斜率k＝2－m4－3＋3m4＝－1.
解得m＝2.
所以直线l的方程为y＝x＋2.
此时方程①为4x2＋12x＝0.
解得x1＝－3，x2＝0.
所以y1＝－1，y2＝2.所以|AB|＝32.
此时，点P(－3，2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝|－3－2＋2|2＝322，所以△PAB的面积S＝12|AB|?d＝92.
课件33张PPT。第二章 圆锥曲线与方程
