第二章 圆锥曲线与方程
2.2 双曲线
2.2.1 双曲线及其标准方程
A级 基础巩固
一、选择题
1．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A. B.
C. D．(，0)
解析：将双曲线方程化成标准方程为－＝1，
所以a2＝1，b2＝，所以c＝＝，故其右焦点坐标为.
答案：C
2．若方程＋＝1表示双曲线，则k的取值范围是( )
A．(5，10) B．(－∞，5)
C．(10，＋∞) D．(－∞，5)∪(10，＋∞)
解析：由题意得(10－k)(5－k)<0，解得5答案：A
3．已知双曲线C：－＝1中＝，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：由题意得c＝5，＝，所以a＝4，则b2＝c2－a2＝25－16＝9.所以双曲线的标准方程为－＝1.
答案：C
4．已知双曲线的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0，2)，则此双曲线的方程是( )
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：据已知条件得焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＋b2＝5.①
因为线段PF1的中点坐标为(0，2)，
所以点P的坐标为(，4)，将其代入双曲线的方程，
得－＝1.②
由①②解得a2＝1，b2＝4，
所以所求双曲线的方程为x2－＝1.
答案：B
5．已知F是双曲线－＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为( )
A．5 B．5＋4
C．7 D．9
解析：如图所示，设双曲线的右焦点为E，则E(4，0)．
由双曲线的定义及标准方程，得
|PF|－|PE|＝4，
则|PF|＋|PA|＝4＋|PE|＋|PA|.
由图可得，当A，P，E三点共线时，
(|PE|＋|PA|)min＝|AE|＝5，
从而|PF|＋|PA|的最小值为9.
答案：D
二、填空题
6．设m是大于0的常数，若点F(0，5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________．
解析：由题意可知m＋9＝25，所以m＝16.
答案：16
7．双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P到F1的距离为12，则点P到F2的距离为________．
解析：因为||PF2|－12|＝2a＝10，
所以|PF2|＝12±10，即|PF2|＝2或|PF2|＝22.
答案：2或22
8．若双曲线x2－4y2＝4的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交右支于A、B两点，若|AB|＝5，则△AF1B的周长为________．
解析：由双曲线定义可知|AF1|＝2a＋|AF2|＝4＋|AF2|；|BF1|＝2a＋|BF2|＝4＋|BF2|，
所以 |AF1|＋|BF1|＝8＋|AF2|＋|BF2|＝8＋|AB|＝13.
△AF1B的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝18.
答案：18
三、解答题
9．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)a＝2，经过点A(2，－5)，焦点在y轴上；
(2)经过两点(3，－4)，；
(3)与椭圆＋＝1有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为4.
解：(1)由题意得双曲线的焦点在y轴上，
所以可设双曲线的标准方程为
－＝1(a>0，b>0)．
因为a＝2，且点A(2，－5)在双曲线上，
代入方程得，
所以b2＝16.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(2)设所求双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，
把(3，－4)，代入得
解得
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
(3)椭圆＋＝1的两个焦点坐标分别为F1(0，－3)，F2(0，3)．
由已知得双曲线与椭圆的交点坐标为(±，4)，
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则
解得a2＝4，b2＝5.
所以所求双曲线的标准方程为－＝1.
10．已知k为实常数，命题p：方程(k－1)x2＋(2k－1)y2＝(2k－1)(k－1)表示椭圆，命题q：方程(k－3)x2＋4y2＝4(k－3)表示双曲线．
(1)若命题p为真命题，求实数k的取值范围；
(2)若命题p，q中恰有一个为真命题，求实数k的取值范围．
解：(1)若命题p为真命题，则解得k＞1，即实数k的取值范围是(1，＋∞)．
(2)当p真q假时，解得k≥3，
当p假q真时，解得k≤1，
故实数k的取值范围是(－∞，1]∪[3，＋∞)．
B级 能力提升
1．k＜2是方程＋＝1表示双曲线的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：k＜2?方程＋＝1表示双曲线，而方程＋＝1表示双曲线?(4－k)(k－2)＜0?k＜2或k＞4，故k＜2是方程＋＝1表示双曲线的充分不必要条件．
答案：A
2．已知双曲线－＝1上一点P到F(3，0)的距离为6，O为坐标原点，若＝(＋)，则||的值为________．
解析：由题意得Q为PF的中点，
设左焦点为F′，其坐标为(－3，0)，
所以|OQ|＝|PF′|.
若P在双曲线的左支上，
则|OQ|＝|PF′|＝(|PF|－2a)＝×(6－2×2)＝1；
若P在双曲线的右支上，
则|OQ|＝|PF′|
＝(|PF|＋2a)
＝×(6＋2×2)＝5.
综上，||＝1或5.
答案：1或5
3．已知双曲线－＝1的两焦点为F1、F2.
(1)若点M在双曲线上，且1·2＝0，求M点到x轴的距离；
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点(3，2)，求双曲线C的方程．
解：(1)如图所示，不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，
·＝0，
则MF1⊥MF2，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由双曲线定义知，m－n＝2a＝8，①
又m2＋n2＝(2c)2＝80，②
由①②得m·n＝8，
所以mn＝4＝|F1F2|·h，
所以h＝.即M点到x轴的距离为.
(2)设所求双曲线C的方程为
－＝1(－4<λ<16)．
因为双曲线C过点(3，2)，
所以－＝1，
解得λ＝4或λ＝－14(舍去)．
所以所求双曲线C的方程为－＝1.
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